Class 10 Mathematics Notes Chapter 1 (वास्तविक संख्याएँ) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित के पहले अध्याय 'वास्तविक संख्याएँ' का गहन अध्ययन करते हैं। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के दृष्टिकोण से बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि संख्या पद्धति (Number System) से जुड़े प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।

अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) - विस्तृत नोट्स

1. भूमिका (Introduction)

• वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ शामिल हैं।
• प्राकृत संख्याएँ (N): 1, 2, 3, ...
• पूर्ण संख्याएँ (W): 0, 1, 2, 3, ...
• पूर्णांक (Z): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
• परिमेय संख्याएँ (Q): वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। उदाहरण: 1/2, -3/4, 5, 0, 0.333...
• अपरिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इनका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-repeating) होता है। उदाहरण: √2, √3, π, 0.101101110...

2. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid's Division Lemma)

• कथन: दो धनात्मक पूर्णांक 'a' और 'b' दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ 'q' और 'r' विद्यमान हैं कि:
  a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
• यहाँ, 'a' भाज्य (Dividend), 'b' भाजक (Divisor), 'q' भागफल (Quotient) और 'r' शेषफल (Remainder) है।
• महत्व: यह प्रमेयिका दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने की विधि का आधार है।

3. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid's Division Algorithm)

• यह यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पर आधारित एक तकनीक है जिसका प्रयोग दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
• चरण:
  1. दो धनात्मक पूर्णांकों c और d (c > d) का HCF ज्ञात करने के लिए, c और d पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करें। हमें पूर्ण संख्याएँ q और r मिलती हैं जैसे c = dq + r, 0 ≤ r < d।
  2. यदि r = 0 है, तो d ही c और d का HCF है।
  3. यदि r ≠ 0 है, तो d और r पर पुनः यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करें।
  4. इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। इस स्थिति में प्राप्त भाजक ही अभीष्ट HCF होगा।
• उदाहरण: 135 और 225 का HCF ज्ञात करें।
  • 225 = 135 × 1 + 90 (r ≠ 0)
  • 135 = 90 × 1 + 45 (r ≠ 0)
  • 90 = 45 × 2 + 0 (r = 0)
  • यहाँ शेषफल शून्य है और भाजक 45 है। अतः, HCF(225, 135) = 45.

4. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)

• कथन: प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है, तथा यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है।
• उदाहरण: 30 = 2 × 3 × 5; 98 = 2 × 7 × 7 = 2 × 7²
• अनुप्रयोग:
  • HCF और LCM ज्ञात करना:
    • HCF: संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
    • LCM: संख्याओं में सम्मिलित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।
  • सूत्र: किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए,
    HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
  • उदाहरण: 6 और 20 का HCF और LCM ज्ञात करें।
    • 6 = 2¹ × 3¹
    • 20 = 2² × 5¹
    • HCF(6, 20) = 2¹ = 2 (उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 की सबसे छोटी घात)
    • LCM(6, 20) = 2² × 3¹ × 5¹ = 4 × 3 × 5 = 60 (सभी गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातें)
    • जाँच: HCF × LCM = 2 × 60 = 120; a × b = 6 × 20 = 120. अतः सत्यापित।
  • किसी संख्या के दशमलव प्रसार की प्रकृति का निर्धारण करना।
  • अपरिमेयता सिद्ध करना।

5. अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण (Revisiting Irrational Numbers)

• प्रमेय: यदि p एक अभाज्य संख्या है और p, a² को विभाजित करती है, तो p, a को भी विभाजित करेगी, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।
• इस प्रमेय का उपयोग √2, √3, √5 जैसी संख्याओं को अपरिमेय सिद्ध करने में किया जाता है (विरोधाभास विधि द्वारा - proof by contradiction)।
• परिणाम:
  • एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर अपरिमेय होता है। (जैसे: 5 - √3)
  • एक शून्येतर परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय होता है। (जैसे: 3√2, √2 / 5)

6. परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण (Revisiting Rational Numbers and Their Decimal Expansions)

• प्रमेय 1: मान लीजिए x = p/q एक परिमेय संख्या है, जहाँ p और q सह-अभाज्य (coprime) हैं। यदि q का अभाज्य गुणनखंडन 2ⁿ5ᵐ के रूप का है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integers) हैं, तो x का दशमलव प्रसार सांत (terminating) होता है।
  • उदाहरण: 13/80 = 13 / (16 × 5) = 13 / (2⁴ × 5¹) = 13 / (2⁴ × 5¹) । यहाँ हर 2ⁿ5ᵐ के रूप का है (n=4, m=1), अतः दशमलव प्रसार सांत होगा। (13/80 = 0.1625)
• प्रमेय 2: मान लीजिए x = p/q एक परिमेय संख्या है, जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं। यदि q का अभाज्य गुणनखंडन 2ⁿ5ᵐ के रूप का नहीं है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक हैं, तो x का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) होता है।
  • उदाहरण: 1/7। यहाँ हर 7 है, जो 2ⁿ5ᵐ के रूप का नहीं है। अतः दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती होगा। (1/7 = 0.142857142857...)

महत्वपूर्ण बिंदु (परीक्षा के लिए):

• यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से HCF ज्ञात करना।
• अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का उपयोग करके HCF और LCM ज्ञात करना तथा संबंध HCF × LCM = a × b का सत्यापन/उपयोग।
• किसी परिमेय संख्या p/q के हर (q) के अभाज्य गुणनखंडन के आधार पर उसके दशमलव प्रसार (सांत या असांत आवर्ती) की प्रकृति बताना।
• अपरिमेय संख्याओं की पहचान और उनके गुणधर्म।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का HCF ज्ञात करने के लिए, यदि a = bq + r है, तो HCF(a, b) किसके बराबर होगा?
(a) HCF(b, q)
(b) HCF(q, r)
(c) HCF(b, r)
(d) HCF(a, q)

प्रश्न 2: यदि दो संख्याओं का HCF = 18 और उनका गुणनफल = 12960 है, तो उनका LCM क्या होगा?
(a) 420
(b) 600
(c) 720
(d) 800

प्रश्न 3: संख्या 140 का अभाज्य गुणनखंडन है:
(a) 2 × 7 × 5
(b) 2² × 5 × 7
(c) 2 × 5² × 7
(d) 2² × 5² × 7

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अपरिमेय है?
(a) √16
(b) √(12/3)
(c) √12
(d) 1.232323...

प्रश्न 5: एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है, यदि उसके हर के अभाज्य गुणनखंडन में केवल घातें हों:
(a) 2 की
(b) 5 की
(c) 2 और 5 दोनों की
(d) 2 या 5 या दोनों की

प्रश्न 6: परिमेय संख्या 77 / (2 × 3 × 5²) का दशमलव प्रसार होगा:
(a) सांत
(b) अनवसानी आवर्ती
(c) अनवसानी अनावर्ती
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 7: संख्या 23 / (2³ × 5²) का दशमलव प्रसार कितने स्थानों के बाद सांत होगा?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5

प्रश्न 8: संख्या 3.142857 है:
(a) एक पूर्णांक
(b) एक परिमेय संख्या
(c) एक अपरिमेय संख्या
(d) एक प्राकृत संख्या

प्रश्न 9: दो सह-अभाज्य संख्याओं का HCF होता है:
(a) 0
(b) 1
(c) उनका गुणनफल
(d) उनका योग

प्रश्न 10: वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं (दोनों सम्मिलित) से विभाज्य है?
(a) 10
(b) 100
(c) 504
(d) 2520

उत्तर कुंजी (MCQs):

1. (c) HCF(b, r)
2. (c) 720 (LCM = गुणनफल / HCF = 12960 / 18 = 720)
3. (b) 2² × 5 × 7 (140 = 2 × 70 = 2 × 2 × 35 = 2 × 2 × 5 × 7)
4. (c) √12 (√16=4, √(12/3)=√4=2, 1.23... परिमेय है)
5. (d) 2 या 5 या दोनों की (सही रूप 2ⁿ5ᵐ है)
6. (b) अनवसानी आवर्ती (हर में 3 का गुणनखंड है)
7. (b) 3 (हर में 2 और 5 की उच्चतम घात 3 है (2³), इसलिए 3 स्थानों के बाद सांत होगा)
8. (b) एक परिमेय संख्या (यह 22/7 का दशमलव प्रसार नहीं है, बल्कि एक सांत दशमलव है, जिसे p/q रूप में लिख सकते हैं 3142857/1000000) - ध्यान दें: यदि यह 3.142857... होता तो यह 22/7 का आवर्ती प्रसार होता और परिमेय होता। प्रश्न में बार (...) नहीं है, इसलिए इसे सांत माना जाएगा।
9. (b) 1
10. (d) 2520 (यह 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 का LCM है। LCM(1..10) = LCM(2³, 3², 5, 7) = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!