Class 10 Mathematics Notes Chapter 10 (Chapter 10) – Examplar Problems (Hindi) Book

नमस्ते विद्यार्थियों!

आज हम कक्षा 10 के गणित के अध्याय 10 'वृत्त' (Circles) का अध्ययन करेंगे, विशेष रूप से सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के दृष्टिकोण से। यह अध्याय ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है और इससे संबंधित प्रश्न अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं। हम NCERT Exemplar में दिए गए अवधारणाओं और प्रश्नों के प्रकारों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

अध्याय 10: वृत्त (Circles) - विस्तृत नोट्स

1. परिचय (Introduction)

• वृत्त: एक तल पर उन सभी बिंदुओं का समूह जो तल के एक स्थिर बिंदु से एक स्थिर दूरी पर स्थित हों, वृत्त कहलाता है।
• केंद्र (Center): स्थिर बिंदु को वृत्त का केंद्र कहते हैं।
• त्रिज्या (Radius): स्थिर दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहते हैं। यह केंद्र को वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड होता है।
• व्यास (Diameter): वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली जीवा वृत्त का व्यास कहलाती है। व्यास = 2 × त्रिज्या।
• जीवा (Chord): वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है। व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।
• छेदक रेखा (Secant): वह रेखा जो किसी वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, छेदक रेखा कहलाती है।
• स्पर्श रेखा (Tangent): वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श (या प्रतिच्छेद) करती है, स्पर्श रेखा कहलाती है।
• स्पर्श बिंदु (Point of Contact): वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु कहलाता है।

2. स्पर्श रेखा से संबंधित महत्वपूर्ण प्रमेय और गुणधर्म

• प्रमेय 10.1: वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

  • व्याख्या: यदि 'O' केंद्र वाला एक वृत्त है, 'P' वृत्त पर एक बिंदु है, और XY बिंदु P पर स्पर्श रेखा है, तो त्रिज्या OP, स्पर्श रेखा XY पर लंब होगी (OP ⊥ XY)।
  • अनुप्रयोग: इस प्रमेय का उपयोग समकोण त्रिभुजों से संबंधित समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जहाँ त्रिज्या, स्पर्श रेखा और केंद्र से बाहरी बिंदु तक की दूरी समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं। पाइथागोरस प्रमेय का अक्सर उपयोग होता है।

• एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या:

  • वृत्त के अंदर स्थित बिंदु: कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
  • वृत्त पर स्थित बिंदु: केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
  • वृत्त के बाहर स्थित बिंदु: ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

• प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

  • व्याख्या: यदि P एक बाह्य बिंदु है और PA तथा PB वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं (A और B स्पर्श बिंदु हैं), तो PA = PB.
  • उपपत्ति (संक्षेप में): केंद्र O को P, A और B से मिलाएं। ΔOPA और ΔOPB में, OA = OB (त्रिज्याएँ), OP = OP (उभयनिष्ठ), ∠OAP = ∠OBP = 90° (प्रमेय 10.1)। अतः RHS सर्वांगसमता नियम से, ΔOPA ≅ ΔOPB. इसलिए, PA = PB (CPCT).
  • महत्वपूर्ण परिणाम:
    • बाह्य बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं (∠POA = ∠POB)।
    • स्पर्श रेखाएँ बाह्य बिंदु P को केंद्र से मिलाने वाले रेखाखंड (OP) पर समान रूप से झुकी होती हैं (∠APO = ∠BPO)।

3. Exemplar आधारित महत्वपूर्ण अवधारणाएँ और परिणाम

• केंद्र पर कोण और स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण (∠APB) तथा स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (∠AOB) संपूरक होते हैं। अर्थात्, ∠APB + ∠AOB = 180°.

  • उपयोग: यदि एक कोण ज्ञात हो, तो दूसरा ज्ञात किया जा सकता है।

• वृत्त के परिगत चतुर्भुज: यदि कोई चतुर्भुज ABCD किसी वृत्त के परिगत इस प्रकार खींचा गया है कि उसकी भुजाएँ वृत्त को स्पर्श करती हैं, तो उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है। अर्थात्, AB + CD = AD + BC.

  • कारण: बाह्य बिंदुओं (A, B, C, D) से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं (प्रमेय 10.2 का उपयोग करके)।

• समकोण त्रिभुज और अंतःवृत्त: एक समकोण त्रिभुज के अंदर बने अंतःवृत्त की त्रिज्या (r) ज्ञात करने के लिए सूत्र: r = (P + B - H) / 2, जहाँ P लंब, B आधार और H कर्ण है। या क्षेत्रफल (Δ) = r × s, जहाँ s अर्ध-परिमाप है।

• संकेंद्रीय वृत्त (Concentric Circles): एक ही केंद्र वाले वृत्त। बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।

• समस्या-समाधान तकनीक:

  • प्रश्नों को हल करने के लिए प्रमेय 10.1 और 10.2 का सही अनुप्रयोग आवश्यक है।
  • ज्यामिति आकृतियों (त्रिभुज, चतुर्भुज) के गुणों का उपयोग करें।
  • पाइथागोरस प्रमेय का अक्सर उपयोग होता है।
  • समरूपता और सर्वांगसमता की अवधारणाएँ भी उपयोगी हो सकती हैं।
  • प्रश्न को ध्यान से पढ़ें और दिए गए चित्र (यदि हो) का विश्लेषण करें या स्वयं एक स्पष्ट चित्र बनाएं।

परीक्षा के लिए विशेष ध्यान दें:

• Exemplar की समस्याओं में अक्सर प्रमेयों के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग के बजाय उनके परिणामों और संयोजन का उपयोग होता है।
• चित्र आधारित प्रश्नों का अभ्यास करें।
• सिद्ध करने वाले प्रश्नों के चरणों को समझें, क्योंकि वे अवधारणाओं को स्पष्ट करते हैं।
• विभिन्न प्रकार की समस्याओं, जैसे लंबाई ज्ञात करना, कोण ज्ञात करना, क्षेत्रफल ज्ञात करना, या गुणों को सिद्ध करना, का अभ्यास करें।

अभ्यास के लिए बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1: एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) अपरिमित रूप से अनेक

प्रश्न 2: किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) अपरिमित

प्रश्न 3: एक वृत्त और उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को क्या कहते हैं?
(A) केंद्र
(B) छेदक बिंदु
(C) स्पर्श बिंदु
(D) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 4: 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 13 सेमी। PQ की लंबाई है:
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी

प्रश्न 5: यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°

प्रश्न 6: बाह्य बिंदु P से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 15 सेमी है। यदि वृत्त की त्रिज्या 8 सेमी है, तो बिंदु P की वृत्त के केंद्र से दूरी कितनी है?
(A) 7 सेमी
(B) 17 सेमी
(C) 23 सेमी
(D) √161 सेमी

प्रश्न 7: दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
(A) 6 सेमी
(B) 7 सेमी
(C) 8 सेमी
(D) 10 सेमी

प्रश्न 8: एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। यदि AB = 6 सेमी, CD = 5 सेमी तथा AD = 7 सेमी हो, तो भुजा BC की लम्बाई क्या है?
(A) 4 सेमी
(B) 3 सेमी
(C) 3.5 सेमी
(D) 4.5 सेमी

प्रश्न 9: केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई हैं। यदि ∠POQ = 110° हो, तो ∠PTQ बराबर है:
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°

प्रश्न 10: किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ आपस में होती हैं:
(A) लंबवत
(B) समांतर
(C) प्रतिच्छेदी
(D) संपाती

उत्तरमाला (MCQs):

1. (D)
2. (B)
3. (C)
4. (A) (ΔOPQ में, ∠OPQ = 90°, पाइथागोरस प्रमेय से PQ² = OQ² - OP² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, PQ = 12)
5. (A) (∠APB = 80°, तो ∠APO = 40°. ΔOPA में, ∠OAP = 90°, ∠AOP + ∠APO + ∠OAP = 180°, ∠AOP + 40° + 90° = 180°, ∠AOP = 50°. इसे ∠POA भी लिखते हैं।)
6. (B) (माना स्पर्श बिंदु A है। ΔOAP में, ∠OAP = 90°, OP² = OA² + AP² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, OP = 17)
7. (C) (माना बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को P पर स्पर्श करती है। OP ⊥ AB और OP = 3 सेमी, OA = 5 सेमी। ΔOPA में, AP² = OA² - OP² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16, AP = 4 सेमी। जीवा AB = 2 × AP = 8 सेमी।)
8. (A) (वृत्त के परिगत चतुर्भुज में, AB + CD = AD + BC. 6 + 5 = 7 + BC. 11 = 7 + BC. BC = 4 सेमी।)
9. (B) (∠PTQ + ∠POQ = 180°. ∠PTQ + 110° = 180°. ∠PTQ = 70°.)
10. (B) (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है। व्यास के सिरों पर त्रिज्याएँ विपरीत दिशा में होती हैं, अतः दोनों स्पर्श रेखाएँ एक ही रेखा (व्यास) पर लंब होंगी, इसलिए वे समांतर होंगी।)

इन नोट्स का अच्छी तरह से अध्ययन करें और दिए गए प्रश्नों को हल करने का प्रयास करें। Exemplar पुस्तक से और अधिक प्रश्नों का अभ्यास आपकी तैयारी को और मजबूत करेगा। शुभकामनाएँ!