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Class 10 Mathematics Notes Chapter 11 (Chapter 11) – Examplar Problems (Hindi) Book

Philoid

Philoid

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Examplar Problems (Hindi)
चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित एक्सेम्प्लर के अध्याय 11 'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' का अध्ययन करते हैं। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसमें वृत्त, त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल तथा परिमाप से संबंधित प्रश्न पूछे जाते हैं।

अध्याय 11: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल - विस्तृत नोट्स

1. भूमिका (Introduction)

  • वृत्त (Circle): एक तल पर उन सभी बिंदुओं का समूह जो तल के एक स्थिर बिंदु से एक स्थिर दूरी पर स्थित हों, वृत्त कहलाता है।
  • केंद्र (Centre): वृत्त का स्थिर बिंदु।
  • त्रिज्या (Radius - r): केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी बिंदु तक की स्थिर दूरी।
  • व्यास (Diameter - d): वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली जीवा। यह त्रिज्या का दोगुना होता है (d = 2r)।
  • परिधि (Circumference - C): वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी या उसका परिमाप।
  • क्षेत्रफल (Area - A): वृत्त द्वारा घेरा गया तल का भाग।

2. वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल (Circumference and Area of a Circle)

  • परिधि (C):
    • सूत्र: C = 2πr या C = πd
    • यहाँ π (पाई) एक अपरिमेय स्थिरांक है। गणना के लिए सामान्यतः π ≈ 22/7 या π ≈ 3.14 का प्रयोग किया जाता है (जब तक प्रश्न में अन्यथा न कहा गया हो)।
  • क्षेत्रफल (A):
    • सूत्र: A = πr²

3. त्रिज्यखंड और वृत्तखंड (Sector and Segment of a Circle)

  • त्रिज्यखंड (Sector):

    • परिभाषा: वृत्त के केंद्र को चाप के सिरों से मिलाने वाली त्रिज्याओं और चाप के बीच घिरे क्षेत्र को त्रिज्यखंड कहते हैं।
    • लघु त्रिज्यखंड (Minor Sector) और दीर्घ त्रिज्यखंड (Major Sector)।
    • केंद्रीय कोण (θ): त्रिज्यखंड बनाने वाली दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण (डिग्री में)।
    • त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई (Length of an arc of a sector - l):
      • सूत्र: l = (θ / 360°) × 2πr
    • त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of a sector):
      • सूत्र (जब कोण θ ज्ञात हो): Area = (θ / 360°) × πr²
      • सूत्र (जब चाप की लंबाई l ज्ञात हो): Area = (1/2) × l × r
    • दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: वृत्त का क्षेत्रफल - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² - (θ / 360°) × πr²

  • वृत्तखंड (Segment):

    • परिभाषा: एक जीवा और उसके संगत चाप के बीच घिरे वृत्तीय क्षेत्र को वृत्तखंड कहते हैं।
    • लघु वृत्तखंड (Minor Segment) और दीर्घ वृत्तखंड (Major Segment)।
    • वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of a segment):
      • सूत्र: Area = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
      • Area = [(θ / 360°) × πr²] - [Area of ΔOAB] (जहाँ O केंद्र है और AB जीवा है)
    • संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना:
      • यदि त्रिभुज OAB समकोण है (θ = 90°): क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × r × r = (1/2)r²
      • यदि त्रिभुज OAB समबाहु है (θ = 60°): क्षेत्रफल = (√3 / 4) × भुजा² = (√3 / 4) × r²
      • सामान्य सूत्र (त्रिकोणमिति का उपयोग करके): क्षेत्रफल = (1/2) × r² × sinθ
    • दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल: वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल।

4. समतल आकृतियों के संयोजनों के क्षेत्रफल (Areas of Combinations of Plane Figures)

  • इस भाग में ऐसी आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करना होता है जो वृत्त, त्रिज्यखंड, त्रिभुज, वर्ग, आयत आदि के संयोजन से बनी हों।
  • उदाहरण:
    • वलय (Ring) या दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल: यदि बाहरी त्रिज्या R और आंतरिक त्रिज्या r हो, तो क्षेत्रफल = πR² - πr² = π(R² - r²)
    • किसी वर्गाकार रुमाल पर बने वृत्ताकार डिज़ाइन का क्षेत्रफल।
    • किसी आयताकार मैदान के कोनों पर घोड़ों के चरने वाले भाग (त्रिज्यखंड) का क्षेत्रफल।
  • रणनीति:
    1. दी गई जटिल आकृति को सरल ज्ञात ज्यामितीय आकृतियों में विभाजित करें।
    2. प्रत्येक सरल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
    3. वांछित (छायांकित) भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन क्षेत्रफलों को आवश्यकतानुसार जोड़ें या घटाएँ।

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

  • सभी सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
  • प्रश्न में दिए गए π के मान (22/7 या 3.14) का ही प्रयोग करें। यदि नहीं दिया है, तो गणना की सुविधानुसार कोई भी मान ले सकते हैं।
  • कोण (θ) का मान हमेशा डिग्री में रखें जब सूत्र (θ/360°) का प्रयोग कर रहे हों।
  • मात्रकों (जैसे cm², m²) का विशेष ध्यान रखें और अंतिम उत्तर सही मात्रक में लिखें।
  • वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालते समय संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल सही विधि से निकालें।
  • गणनाएँ ध्यानपूर्वक करें, खासकर दशमलव और भिन्न वाली।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: यदि एक वृत्त की परिधि 44 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(a) 77 सेमी²
(b) 154 सेमी²
(c) 44 सेमी²
(d) 308 सेमी²

प्रश्न 2: त्रिज्या R वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, जिसका कोण p (डिग्री में) है, निम्नलिखित है:
(a) (p/180) × 2πR
(b) (p/180) × πR²
(c) (p/360) × 2πR
(d) (p/360) × πR²

प्रश्न 3: त्रिज्या r वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई क्या है जिसका कोण θ (डिग्री में) है?
(a) (θ/180) × πr
(b) (θ/360) × πr²
(c) (θ/360) × 2πr
(d) (θ/180) × πr²

प्रश्न 4: 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 60° है।
(a) 132/7 सेमी²
(b) 144/7 सेमी²
(c) 66/7 सेमी²
(d) 18.86 सेमी² (लगभग)

प्रश्न 5: एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 सेमी है। इस सुई द्वारा 10 मिनट में रचित क्षेत्रफल है: (π = 22/7 लें)
(a) 154 सेमी²
(b) 308/3 सेमी²
(c) 154/3 सेमी²
(d) 77 सेमी²

प्रश्न 6: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
(a) 10 सेमी
(b) 28 सेमी
(c) 14 सेमी
(d) 38 सेमी

प्रश्न 7: 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लें)
(a) 28.5 सेमी²
(b) 38.5 सेमी²
(c) 50 सेमी²
(d) 78.5 सेमी²

प्रश्न 8: एक वृत्ताकार खेत पर ₹24 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ₹5280 है। इस खेत की ₹0.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से जुताई कराई जानी है। खेत की जुताई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लें)
(a) ₹1925
(b) ₹3850
(c) ₹1825
(d) ₹2050

प्रश्न 9: भुजा 4 सेमी वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 सेमी व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(a) (16 - 2π) सेमी²
(b) (16 - π) सेमी²
(c) (68/7) सेमी²
(d) (90/7) सेमी²

प्रश्न 10: त्रिज्या r वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण θ (डिग्री में) है, का परिमाप क्या है?
(a) 2r + (θ/360) × 2πr
(b) (θ/360) × πr²
(c) 2r + (θ/180) × πr
(d) 2πr

उत्तरमाला (MCQs):

  1. (b) 154 सेमी² (हल: 2πr = 44 => r = 7 सेमी, क्षेत्रफल = πr² = (22/7)×7×7 = 154)
  2. (d) (p/360) × πR² (सूत्र)
  3. (c) (θ/360) × 2πr (सूत्र)
  4. (a) 132/7 सेमी² (हल: (60/360) × (22/7) × 6 × 6 = (1/6) × (22/7) × 36 = 132/7)
  5. (c) 154/3 सेमी² (हल: 10 मिनट में कोण = (360/60) × 10 = 60°, क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 14 × 14 = (1/6) × 22 × 2 × 14 = 308/6 = 154/3)
  6. (b) 28 सेमी (हल: 2πR = 2π(19) + 2π(9) => R = 19 + 9 = 28)
  7. (a) 28.5 सेमी² (हल: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (90/360) × 3.14 × 10² = (1/4) × 314 = 78.5 सेमी²; त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × 10 × 10 = 50 सेमी²; वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 78.5 - 50 = 28.5)
  8. (a) ₹1925 (हल: परिधि = 5280/24 = 220 मी; 2πr = 220 => r = 35 मी; क्षेत्रफल = πr² = (22/7)×35×35 = 3850 मी²; जुताई का व्यय = 3850 × 0.50 = ₹1925)
  9. (c) (68/7) सेमी² (हल: वर्ग का क्षेत्रफल = 4² = 16; 4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = 4 × (1/4)π(1)² = π; बीच के वृत्त का क्षेत्रफल = π(1)² = π; शेष भाग = 16 - π - π = 16 - 2π = 16 - 2(22/7) = 16 - 44/7 = (112 - 44)/7 = 68/7)
  10. (a) 2r + (θ/360) × 2πr (परिमाप = दो त्रिज्याओं की लंबाई + चाप की लंबाई = r + r + l)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छे से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!

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