Class 10 Mathematics Notes Chapter 12 (वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय - 'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' (Chapter 12) का गहन अध्ययन करेंगे। यह अध्याय न केवल आपकी बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि विभिन्न सरकारी प्रतियोगी परीक्षाओं, जैसे SSC, रेलवे, बैंकिंग आदि में भी इससे अक्सर प्रश्न पूछे जाते हैं। इसलिए, इसके सूत्रों और अवधारणाओं को अच्छी तरह समझना आपके लिए बहुत लाभदायक होगा।

अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) - विस्तृत नोट्स

1. वृत्त की मूल बातें (Basics of Circle):

• परिभाषा: एक वृत्त किसी तल पर उन सभी बिंदुओं का समूह होता है जो तल के एक स्थिर बिंदु (केंद्र) से एक स्थिर दूरी (त्रिज्या) पर स्थित होते हैं।

• त्रिज्या (Radius - r): वृत्त के केंद्र से परिधि पर स्थित किसी भी बिंदु तक की दूरी।

• व्यास (Diameter - d): वह रेखाखंड जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और जिसके दोनों सिरे वृत्त की परिधि पर होते हैं। व्यास, त्रिज्या का दोगुना होता है (d = 2r)।

• परिधि (Circumference - C): वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी या लंबाई।

  • सूत्र: C = 2πr या C = πd

• क्षेत्रफल (Area - A): वृत्त द्वारा घेरा गया कुल तल।

  • सूत्र: A = πr²

  (यहाँ π (पाई) एक स्थिरांक है, जिसका मान सामान्यतः 22/7 या 3.14 लिया जाता है, जब तक कि प्रश्न में कोई विशिष्ट मान न दिया गया हो।)

2. त्रिज्यखंड (Sector):

• परिभाषा: वृत्त का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप (Arc) से घिरा होता है।
• केंद्रीय कोण (Central Angle - θ): त्रिज्यखंड बनाने वाली दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण (केंद्र पर बना कोण)। कोण को सामान्यतः डिग्री में मापा जाता है।
• त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of Sector):
  • सूत्र: (θ / 360°) × πr²
  • यह सूत्र बताता है कि त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का (θ / 360°) वां भाग होता है।
• त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई (Length of Arc of Sector):
  • सूत्र: (θ / 360°) × 2πr
  • यह सूत्र बताता है कि चाप की लंबाई पूरी परिधि का (θ / 360°) वां भाग होती है।
• लघु त्रिज्यखंड (Minor Sector): जब केंद्रीय कोण θ < 180° हो।
• दीर्घ त्रिज्यखंड (Major Sector): जब केंद्रीय कोण (360° - θ) > 180° हो। दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।

3. वृत्तखंड (Segment):

• परिभाषा: वृत्त का वह भाग जो एक जीवा (Chord) और उसके संगत चाप के बीच घिरा होता है।
• जीवा (Chord): एक रेखाखंड जिसके दोनों सिरे वृत्त की परिधि पर स्थित हों।
• वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of Segment):
  • सूत्र: वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
  • यहाँ 'संगत त्रिज्यखंड' वह त्रिज्यखंड है जिसकी त्रिज्याएँ जीवा के सिरों को केंद्र से मिलाती हैं, और 'संगत त्रिभुज' वही त्रिभुज है जो इन दो त्रिज्याओं और जीवा से बनता है।
  • त्रिभुज का क्षेत्रफल: यदि केंद्र पर बनने वाला कोण θ है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए:
    • यदि त्रिभुज समकोण है (θ = 90°), क्षेत्रफल = (1/2) × r × r = (1/2)r²
    • यदि त्रिभुज समबाहु है (θ = 60°), क्षेत्रफल = (√3 / 4) × (भुजा)²। यहाँ भुजा जीवा की लम्बाई होगी, जिसे ज्ञात करना पड़ सकता है, या यदि त्रिभुज OAB है जहाँ OA और OB त्रिज्या हैं, तो क्षेत्रफल = (√3 / 4) × r² (क्योंकि OA=OB=AB=r)।
    • सामान्य सूत्र: त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × r² × sin(θ)
• लघु वृत्तखंड (Minor Segment): लघु चाप और जीवा के बीच का क्षेत्र।
• दीर्घ वृत्तखंड (Major Segment): दीर्घ चाप और जीवा के बीच का क्षेत्र। दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल।

4. समतलीय आकृतियों के संयोजनों के क्षेत्रफल (Areas of Combinations of Plane Figures):

• इस भाग में, वृत्त, वर्ग, आयत, त्रिभुज आदि जैसी विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के संयोजन से बनी आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करना होता है।
• अक्सर "छायांकित भाग (Shaded Region)" का क्षेत्रफल पूछा जाता है।
• रणनीति:
  1. आकृति में शामिल सभी मूल ज्यामितीय आकृतियों (वृत्त, त्रिज्यखंड, वर्ग, त्रिभुज आदि) को पहचानें।
  2. प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल अलग-अलग ज्ञात करें।
  3. प्रश्न के अनुसार, आवश्यक क्षेत्रफलों को जोड़ें या घटाएं ताकि वांछित (छायांकित) भाग का क्षेत्रफल प्राप्त हो सके।
  • उदाहरण: एक वर्ग के अंदर बने सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल, दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल (वलय - Ring), एक वर्ग के कोनों पर बने चतुर्थांशों (Quadrants) को काटकर शेष भाग का क्षेत्रफल, आदि।

सरकारी परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण बिंदु:

• सूत्र कंठस्थ करें: परिधि, क्षेत्रफल, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, चाप की लंबाई, वृत्तखंड का क्षेत्रफल - ये सभी सूत्र अच्छी तरह याद होने चाहिए।
• π का मान: प्रश्न में दिए गए π के मान का ही प्रयोग करें (22/7 या 3.14)। यदि नहीं दिया है, तो गणना की सुविधानुसार कोई भी मान ले सकते हैं, लेकिन उत्तर विकल्पों के अनुसार समायोजन करना पड़ सकता है।
• इकाइयाँ (Units): क्षेत्रफल की इकाई हमेशा वर्ग इकाई (जैसे cm², m²) और लंबाई/परिधि की इकाई रैखिक इकाई (जैसे cm, m) होती है। इनका ध्यान रखें।
• गणना गति: प्रतियोगी परीक्षाओं में समय सीमित होता है, इसलिए गणना तेजी से और सटीकता से करने का अभ्यास करें। वर्ग, वर्गमूल, और सामान्य गुणा-भाग में तेज होना आवश्यक है।
• मानक कोण: θ = 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180° के लिए sin(θ) के मान याद रखें, क्योंकि ये वृत्तखंड के क्षेत्रफल की गणना में उपयोगी होते हैं।
• समस्या समाधान: मिश्रित आकृतियों वाले प्रश्नों को हल करने के लिए आकृति को ध्यान से समझना और सही रणनीति बनाना महत्वपूर्ण है।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: यदि एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो उसकी परिधि क्या होगी? (π = 22/7 लें)
(a) 22 सेमी
(b) 44 सेमी
(c) 154 सेमी
(d) 88 सेमी

प्रश्न 2: एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है। इसकी त्रिज्या क्या है? (π = 22/7 लें)
(a) 14 सेमी
(b) 7 सेमी
(c) 21 सेमी
(d) 3.5 सेमी

प्रश्न 3: 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या होगा जिसका केंद्रीय कोण 90° है? (π = 22/7 लें)
(a) 77 वर्ग सेमी
(b) 154 वर्ग सेमी
(c) 308 वर्ग सेमी
(d) 616 वर्ग सेमी

प्रश्न 4: एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल कितना होगा? (π = 22/7 लें)
(a) 154/3 वर्ग सेमी
(b) 154 वर्ग सेमी
(c) 77 वर्ग सेमी
(d) 77/3 वर्ग सेमी

प्रश्न 5: 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर 60° का कोण बनता है। चाप की लंबाई क्या है? (π = 22/7 लें)
(a) 11 सेमी
(b) 22 सेमी
(c) 33 सेमी
(d) 44 सेमी

प्रश्न 6: 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर समकोण (90°) अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लें)
(a) 28.5 वर्ग सेमी
(b) 57 वर्ग सेमी
(c) 78.5 वर्ग सेमी
(d) 100 वर्ग सेमी

प्रश्न 7: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
(a) 14 सेमी
(b) 10 सेमी
(c) 12 सेमी
(d) 15 सेमी

प्रश्न 8: एक वृत्ताकार खेत पर ₹24 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ₹5280 है। खेत का क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(a) 220 वर्ग मीटर
(b) 770 वर्ग मीटर
(c) 3850 वर्ग मीटर
(d) 1925 वर्ग मीटर

प्रश्न 9: एक वर्ग ABCD की भुजा 14 सेमी है। भुजाओं AB और AD को केंद्र मानकर दो समान त्रिज्या (7 सेमी) के चतुर्थांश खींचे गए हैं। दोनों चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ (overlapping) क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (यह प्रश्न थोड़ा उन्नत है, सोचें!)
(a) 98 वर्ग सेमी
(b) 49 वर्ग सेमी
(c) 56 वर्ग सेमी
(d) 70 वर्ग सेमी
(संकेत: उभयनिष्ठ क्षेत्र = (चतुर्थांश 1 का क्षेत्रफल + चतुर्थांश 2 का क्षेत्रफल) - वर्ग का क्षेत्रफल) - यह संकेत गलत है, सही तरीका सोचें। सही तरीका: उभयनिष्ठ क्षेत्र = 2 * (त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल) - वर्ग का क्षेत्रफल जहाँ त्रिज्यखंड वर्ग के कोने पर है। या फिर, उभयनिष्ठ क्षेत्र = 2 * (सेक्टर का क्षेत्रफल) - वर्ग का क्षेत्रफल, नहीं यह भी गलत है। सही तरीका: उभयनिष्ठ क्षेत्र = (Area of Sector BAX) + (Area of Sector DAY') - Area of Square ABCD? नहीं। उभयनिष्ठ क्षेत्र = Area(Sector ABX) + Area(Sector ADY) - Area(Square AMNK) where X and Y are intersection points. This is getting complex. Let's rephrase the question or choose a simpler one. Let's ask for the area inside the square but outside two quadrants drawn from opposite vertices. Or maybe area of shaded region when quadrants are drawn from A and B. Let's rephrase: एक वर्ग ABCD की भुजा 14 सेमी है। A और B को केंद्र मानकर तथा 14 सेमी त्रिज्या लेकर दो चाप खींचे जाते हैं जो वर्ग के अंदर एक दूसरे को काटते हैं। वर्ग के अंदर इन चापों के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें। यह भी कठिन है। Let's stick to simpler combined figures.*

प्रश्न 9 (संशोधित): 14 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के अंतर्गत खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(a) 154 वर्ग सेमी
(b) 77 वर्ग सेमी
(c) 308 वर्ग सेमी
(d) 616 वर्ग सेमी

प्रश्न 10: 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में, एक चाप केंद्र पर 60° का कोण बनाता है। संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(a) 154 वर्ग सेमी
(b) 128.33 वर्ग सेमी (लगभग)
(c) 25.67 वर्ग सेमी (लगभग)
(d) 132 वर्ग सेमी

उत्तर कुंजी (MCQs):

1. (b) 44 सेमी (C = 2 * (22/7) * 7 = 44)
2. (b) 7 सेमी (πr² = 154 => (22/7) * r² = 154 => r² = (154 * 7) / 22 = 7 * 7 => r = 7)
3. (b) 154 वर्ग सेमी (Area = (90/360) * (22/7) * 14 * 14 = (1/4) * 22 * 2 * 14 = 154)
4. (a) 154/3 वर्ग सेमी (5 मिनट में कोण = (360°/60 min) * 5 min = 30°. Area = (30/360) * (22/7) * 14 * 14 = (1/12) * 22 * 2 * 14 = 154/3)
5. (b) 22 सेमी (Length = (60/360) * 2 * (22/7) * 21 = (1/6) * 2 * 22 * 3 = 22)
6. (a) 28.5 वर्ग सेमी (Area of Sector = (90/360) * 3.14 * 10 * 10 = (1/4) * 314 = 78.5. Area of Triangle = (1/2) * base * height = (1/2) * 10 * 10 = 50. Area of Segment = 78.5 - 50 = 28.5)
7. (b) 10 सेमी (πR² = π(8)² + π(6)² => πR² = π(64 + 36) => R² = 100 => R = 10)
8. (c) 3850 वर्ग मीटर (परिधि = कुल व्यय / दर = 5280 / 24 = 220 मीटर. 2πr = 220 => 2 * (22/7) * r = 220 => r = (220 * 7) / (2 * 22) = 35 मीटर. क्षेत्रफल = πr² = (22/7) * 35 * 35 = 22 * 5 * 35 = 3850)
9. (a) 154 वर्ग सेमी (वर्ग के अंदर सबसे बड़े वृत्त का व्यास = वर्ग की भुजा = 14 सेमी. अतः त्रिज्या r = 14/2 = 7 सेमी. क्षेत्रफल = πr² = (22/7) * 7 * 7 = 154)
10. (b) 128.33 वर्ग सेमी (लगभग) (दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण = 360° - 60° = 300°. क्षेत्रफल = (300/360) * (22/7) * 7 * 7 = (5/6) * 22 * 7 = (5 * 154) / 6 = 770 / 6 = 128.33...)
    वैकल्पिक: लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60/360) * (22/7) * 7 * 7 = (1/6) * 154 = 77/3 ≈ 25.67.
    वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7) * 7 * 7 = 154.
    दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 154 - 77/3 = (462 - 77) / 3 = 385 / 3 ≈ 128.33.
    (Note: Option (b) seems the closest approximation. Let's recheck calculation 770/6 = 385/3 = 128.333... Option (b) is correct.)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। यदि कोई शंका हो तो पूछने में संकोच न करें। शुभकामनाएँ!