Class 10 Mathematics Notes Chapter 13 (Chapter 13) – Examplar Problems (Hindi) Book

नमस्कार विद्यार्थियों!

आज हम कक्षा 10 गणित एक्सेम्प्लर के अध्याय 13 - 'पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं के दृष्टिकोण से अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसमें ठोस आकृतियों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना, विशेषकर संयुक्त ठोसों और ठोसों के रूपांतरण से संबंधित प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। आइए, इसके मुख्य बिंदुओं और सूत्रों को विस्तार से समझें।

अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

1. मूलभूत ठोस आकृतियाँ और उनके सूत्र:

सबसे पहले, हमें कुछ बुनियादी त्रिविमीय (3D) आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों को याद रखना होगा:

• घन (Cube):

  • यदि भुजा की लम्बाई = a
  • पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area - LSA) = 4a²
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area - TSA) = 6a²
  • आयतन (Volume) = a³

• घनाभ (Cuboid):

  • यदि लम्बाई = l, चौड़ाई = b, ऊंचाई = h
  • पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) = 2(l + b)h
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2(lb + bh + hl)
  • आयतन (Volume) = l × b × h

• लम्ब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder):

  • यदि आधार की त्रिज्या = r, ऊंचाई = h
  • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area - CSA) = 2πrh
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(r + h)
  • आयतन (Volume) = πr²h

• लम्ब वृत्तीय शंकु (Right Circular Cone):

  • यदि आधार की त्रिज्या = r, ऊंचाई = h, तिर्यक ऊंचाई (Slant Height) = l
  • तिर्यक ऊंचाई, l = √(h² + r²)
  • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = πrl
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = πr(r + l)
  • आयतन (Volume) = (1/3)πr²h

• गोला (Sphere):

  • यदि त्रिज्या = r
  • पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area - SA) = 4πr² (गोले का केवल कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है)
  • आयतन (Volume) = (4/3)πr³

• अर्धगोला (Hemisphere):

  • यदि त्रिज्या = r
  • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πr²
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 3πr²
  • आयतन (Volume) = (2/3)πr³

2. ठोसों का संयोजन (Combination of Solids):

अक्सर हमें ऐसी वस्तुओं का पृष्ठीय क्षेत्रफल या आयतन ज्ञात करना होता है जो दो या दो से अधिक मूल ठोसों से मिलकर बनी होती हैं (जैसे - एक कैप्सूल, एक तम्बू, एक आइसक्रीम कोन)।

• आयतन: संयुक्त ठोस का आयतन उसके घटक ठोसों के आयतनों का योग होता है।
  • उदाहरण: एक खिलौना जो शंकु और अर्धगोले से बना है, उसका आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
• पृष्ठीय क्षेत्रफल: संयुक्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, हमें केवल वही सतहें लेनी होती हैं जो बाहर से दिखाई देती हैं। जिन सतहों पर ठोस जुड़ते हैं, उनका क्षेत्रफल शामिल नहीं किया जाता है।
  • उदाहरण: यदि एक बेलन के ऊपर एक शंकु रखा है, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का CSA + शंकु का CSA + बेलन के आधार का क्षेत्रफल (यदि वह खुला नहीं है)। इसमें बेलन का ऊपरी वृत्ताकार भाग और शंकु का आधार शामिल नहीं होगा क्योंकि वे जुड़ गए हैं।

3. ठोसों का एक आकार से दूसरे आकार में रूपांतरण (Conversion of Solid from One Shape to Another):

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर या रूप बदलकर किसी दूसरी ठोस वस्तु में परिवर्तित किया जाता है (जैसे - मिट्टी के गोले को शंकु में बदलना, धातु के गोले को पिघलाकर तार बनाना), तो पदार्थ की मात्रा समान रहती है, अर्थात् आयतन अपरिवर्तित रहता है।

• इस स्थिति में, प्रारंभिक ठोस का आयतन = अंतिम ठोस का आयतन।
  • आयतन₁ = आयतन₂
  • इस सिद्धांत का उपयोग अज्ञात विमाओं (जैसे त्रिज्या, ऊंचाई) को ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

4. शंकु का छिन्नक (Frustum of a Cone):

जब एक लम्ब वृत्तीय शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटा जाता है और ऊपरी छोटे शंकु को हटा दिया जाता है, तो शेष भाग शंकु का छिन्नक कहलाता है (जैसे - बाल्टी, गिलास)।

• यदि छिन्नक की ऊंचाई = h, तिर्यक ऊंचाई = l, तथा वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं (r₁ > r₂)
• तिर्यक ऊंचाई, l = √[h² + (r₁ - r₂)²]
• छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = π(r₁ + r₂)l
• छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = π(r₁ + r₂)l + πr₁² + πr₂²
• छिन्नक का आयतन (Volume) = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

• सभी सूत्रों को अच्छी तरह याद करें।
• इकाइयों (cm, m, cm², m², cm³, m³) का विशेष ध्यान रखें और उत्तर सही इकाई में दें।
• संयुक्त ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय सावधानी बरतें कि कौन सा भाग जुड़ रहा है और कौन सा बाहरी है।
• ठोसों के रूपांतरण वाले प्रश्नों में आयतन की समानता का उपयोग करें।
• π का मान (22/7 या 3.14) प्रश्न के निर्देशानुसार प्रयोग करें। यदि निर्देश न हो, तो सामान्यतः 22/7 का प्रयोग करें।
• गणनाओं को ध्यानपूर्वक करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: यदि एक घन का आयतन 125 cm³ है, तो उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 100 cm²
(b) 150 cm²
(c) 200 cm²
(d) 125 cm²

प्रश्न 2: 7 cm त्रिज्या और 10 cm ऊंचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है: (π = 22/7 लें)
(a) 440 cm²
(b) 220 cm²
(c) 880 cm²
(d) 1540 cm²

प्रश्न 3: एक शंकु की ऊंचाई 24 cm और आधार की त्रिज्या 7 cm है। उसकी तिर्यक ऊंचाई क्या होगी?
(a) 25 cm
(b) 30 cm
(c) 31 cm
(d) 28 cm

प्रश्न 4: 21 cm व्यास वाले एक गोले का आयतन क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(a) 4851 cm³
(b) 38808 cm³
(c) 9702 cm³
(d) 19404 cm³

प्रश्न 5: 7 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: (π = 22/7 लें)
(a) 308 cm²
(b) 462 cm²
(c) 154 cm²
(d) 616 cm²

प्रश्न 6: एक खिलौना अर्धगोले पर अध्यारोपित शंकु के आकार का है। यदि अर्धगोले और शंकु के आधार की त्रिज्या 3 cm है और शंकु की ऊंचाई 4 cm है, तो खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग है: (π = 3.14 लें)
(a) 103.62 cm²
(b) 131.88 cm²
(c) 84.78 cm²
(d) 150.72 cm²

प्रश्न 7: 6 cm त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 0.2 cm त्रिज्या का एक तार (बेलनाकार) बनाया जाता है। तार की लम्बाई क्या होगी?
(a) 72 m
(b) 36 m
(c) 18 m
(d) 9 m

प्रश्न 8: एक दवा का कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और कैप्सूल का व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है: (π = 22/7 लें)
(a) 220 mm²
(b) 210 mm²
(c) 440 mm²
(d) 110 mm²

प्रश्न 9: एक शंकु के छिन्नक की ऊंचाई 8 cm है तथा उसके वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ 9 cm और 3 cm हैं। छिन्नक का आयतन है: (π = 22/7 लें)
(a) 924 cm³
(b) 1056 cm³
(c) 308 cm³
(d) 616 cm³

प्रश्न 10: एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों की परिधियाँ 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:
(a) 48 cm²
(b) 96 cm²
(c) 72 cm²
(d) 24 cm²

उत्तरमाला (MCQs):

1. (b) [हल: a³=125 => a=5 cm. TSA = 6a² = 6(5)² = 150 cm²]
2. (a) [हल: CSA = 2πrh = 2 * (22/7) * 7 * 10 = 440 cm²]
3. (a) [हल: l = √(h²+r²) = √(24²+7²) = √(576+49) = √625 = 25 cm]
4. (a) [हल: त्रिज्या r = 21/2 cm. आयतन = (4/3)πr³ = (4/3)(22/7)(21/2)³ = 4851 cm³]
5. (b) [हल: TSA = 3πr² = 3 * (22/7) * 7² = 3 * 22 * 7 = 462 cm²]
6. (a) [हल: शंकु की तिर्यक ऊंचाई l = √(4²+3²) = 5 cm. खिलौने का TSA = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA = πrl + 2πr² = πr(l+2r) = 3.14 * 3 * (5 + 2*3) = 3.14 * 3 * 11 = 103.62 cm²]
7. (a) [हल: गोले का आयतन = तार का आयतन. (4/3)π(6)³ = π(0.2)² * h. (4/3)*216 = 0.04 * h. 288 = 0.04 * h. h = 288 / 0.04 = 7200 cm = 72 m]
8. (a) [हल: अर्धगोलों की त्रिज्या r = 5/2 = 2.5 mm. बेलनाकार भाग की ऊंचाई h = 14 - 22.5 = 9 mm. कैप्सूल का SA = बेलन का CSA + 2 * अर्धगोले का CSA = 2πrh + 2(2πr²) = 2πr(h+2r) = 2*(22/7)2.5(9+22.5) = 2(22/7)2.514 = 2222.5*2 = 220 mm²]
9. (b) [हल: आयतन = (1/3)πh(r₁²+r₂²+r₁r₂) = (1/3)(22/7)8(9²+3²+93) = (1/3)(22/7)8(81+9+27) = (1/3)(22/7)8117 = (22/7)839 = 1056 cm³ (लगभग, यदि π=3.14 लें तो भिन्न हो सकता है, पर विकल्प 22/7 के अनुसार है)]
10. (a) [हल: परिधि₁ = 2πr₁ = 18 => πr₁ = 9. परिधि₂ = 2πr₂ = 6 => πr₂ = 3. CSA = π(r₁+r₂)l = (πr₁ + πr₂)l = (9+3)4 = 124 = 48 cm²]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!