Class 10 Mathematics Notes Chapter 13 (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित के एक महत्वपूर्ण अध्याय - 'पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन' (Chapter 13: Surface Areas and Volumes) का गहराई से अध्ययन करेंगे। यह अध्याय न केवल आपकी बोर्ड परीक्षा के लिए बल्कि विभिन्न सरकारी प्रतियोगी परीक्षाओं के दृष्टिकोण से भी अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसमें ठोस आकृतियों (3D shapes) के क्षेत्रफल और आयतन की गणना करना सिखाया जाता है।

अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन - विस्तृत नोट्स

इस अध्याय में हम विभिन्न ठोस आकृतियों और उनके संयोजनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना करना सीखेंगे।

1. ठोस आकृतियाँ (Solid Shapes) - पुनरावलोकन (Recap)

सबसे पहले, उन मूल ठोस आकृतियों के सूत्रों को याद करते हैं जिन्हें आपने पिछली कक्षाओं में पढ़ा है:

• घन (Cube): एक ऐसी आकृति जिसकी सभी भुजाएँ (किनारे) बराबर होती हैं (मान लीजिए 'a')।

  • पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area - LSA) = 4a² (चार दीवारों का क्षेत्रफल)
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area - TSA) = 6a² (सभी छः फलकों का क्षेत्रफल)
  • आयतन (Volume) = a³

• घनाभ (Cuboid): एक ऐसी आकृति जिसकी लंबाई (l), चौड़ाई (b), और ऊँचाई (h) होती है।

  • पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) = 2(l + b)h (चार दीवारों का क्षेत्रफल)
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2(lb + bh + hl) (सभी छः फलकों का क्षेत्रफल)
  • आयतन (Volume) = l × b × h

• लम्ब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder): एक ठोस जिसके दो वृत्ताकार आधार होते हैं और एक वक्र पृष्ठ होता है। आधार की त्रिज्या 'r' और ऊँचाई 'h' है।

  • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area - CSA) = 2πrh
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = CSA + दोनों आधारों का क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
  • आयतन (Volume) = πr²h

• लम्ब वृत्तीय शंकु (Right Circular Cone): एक ठोस जिसका एक वृत्ताकार आधार, एक शीर्ष और एक वक्र पृष्ठ होता है। आधार की त्रिज्या 'r', ऊँचाई 'h', और तिर्यक ऊँचाई (Slant Height) 'l' है।

  • तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²)
  • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = πrl
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = CSA + आधार का क्षेत्रफल = πrl + πr² = πr(l + r)
  • आयतन (Volume) = (1/3)πr²h

• गोला (Sphere): एक पूर्ण रूप से गोल ठोस आकृति जिसकी त्रिज्या 'r' है।

  • पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area - SA) = 4πr²
  • आयतन (Volume) = (4/3)πr³

• अर्धगोला (Hemisphere): गोले का आधा भाग, जिसकी त्रिज्या 'r' है।

  • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πr²
  • कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = CSA + आधार का क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²
  • आयतन (Volume) = (2/3)πr³

2. ठोसों का संयोजन (Combination of Solids)

इस अध्याय का मुख्य भाग विभिन्न ठोसों को मिलाकर बनी नई आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करना है।

• संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल:

  • जब दो ठोसों को जोड़ा जाता है, तो उनके जुड़ने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में शामिल नहीं किया जाता है, क्योंकि वह पृष्ठ अब दिखाई नहीं देता।
  • हम केवल उन पृष्ठों का क्षेत्रफल जोड़ते हैं जो संयुक्त ठोस के बाहरी हिस्से में दिखाई देते हैं।
  • उदाहरण:
    • एक खिलौना जो एक अर्धगोले पर रखे शंकु जैसा है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA.
    • एक कैप्सूल जो एक बेलन के दोनों सिरों पर अर्धगोले लगे होने जैसा है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का CSA + 2 × अर्धगोले का CSA.
    • एक तम्बू जो एक बेलन पर रखे शंकु जैसा है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का CSA + शंकु का CSA.

• संयोजन का आयतन:

  • ठोसों के संयोजन का आयतन ज्ञात करना अपेक्षाकृत सरल है।
  • संयुक्त ठोस का कुल आयतन, उसे बनाने वाले अलग-अलग ठोसों के आयतनों के योग के बराबर होता है।
  • उदाहरण:
    • एक खिलौना (अर्धगोले पर शंकु): कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
    • एक आइसक्रीम कोन (शंकु + अर्धगोला): कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।

3. एक ठोस का दूसरे ठोस में रूपांतरण (Conversion of Solid from One Shape to Another)

• जब किसी ठोस (जैसे मोम या धातु) को पिघलाकर किसी दूसरी आकृति का ठोस बनाया जाता है, तो उसका आकार और पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल सकता है, लेकिन उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है।
• इस सिद्धांत का उपयोग करके हम रूपांतरण संबंधी समस्याओं को हल करते हैं।
• उदाहरण:
  • एक गोले को पिघलाकर एक तार (बेलन) बनाया गया। गोले का आयतन = बने हुए तार (बेलन) का आयतन।
  • एक बड़े शंकु को पिघलाकर छोटे-छोटे गोले बनाए गए। शंकु का आयतन = सभी छोटे गोलों के आयतनों का योग।

4. शंकु का छिन्नक (Frustum of a Cone)

• जब एक लम्ब वृत्तीय शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल द्वारा काटा जाता है और ऊपर वाले छोटे शंकु को हटा दिया जाता है, तो शेष बचे ठोस भाग को शंकु का छिन्नक कहते हैं।
• इसके दो वृत्ताकार सिरे होते हैं जिनकी त्रिज्याएँ भिन्न होती हैं (मान लीजिए R और r, जहाँ R > r)। इसकी ऊँचाई 'h' और तिर्यक ऊँचाई 'l' होती है।
  • तिर्यक ऊँचाई (l) = √[h² + (R - r)²]
  • छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = π(R + r)l
  • छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = CSA + दोनों सिरों का क्षेत्रफल = π(R + r)l + πR² + πr²
  • छिन्नक का आयतन (Volume) = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

1. सभी सूत्रों को अच्छी तरह याद करें।
2. पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय ध्यान दें कि कौन से पृष्ठ दिखाई दे रहे हैं और कौन से नहीं।
3. आयतन की गणना में, आयतन हमेशा जुड़ते हैं (संयोजन में) या बराबर रहते हैं (रूपांतरण में)।
4. इकाइयों (units) का विशेष ध्यान रखें (cm², cm³, m², m³)। गणना करते समय इकाइयाँ समान होनी चाहिए।
5. शंकु के छिन्नक के सूत्र विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं।
6. प्रश्नों को ध्यानपूर्वक पढ़ें और समझें कि क्या पूछा गया है - CSA, TSA या आयतन।
7. चित्र बनाकर प्रश्न को समझने का प्रयास करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

निर्देश: प्रत्येक प्रश्न के लिए सही विकल्प चुनें।

प्रश्न 1: एक घन का आयतन 64 cm³ है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
(A) 64 cm²
(B) 96 cm²
(C) 128 cm²
(D) 80 cm²

प्रश्न 2: एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 5 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(A) 110 cm²
(B) 220 cm²
(C) 330 cm²
(D) 440 cm²

प्रश्न 3: 3 cm त्रिज्या वाले एक गोले का आयतन कितना होगा?
(A) 18π cm³
(B) 36π cm³
(C) 72π cm³
(D) 9π cm³

प्रश्न 4: एक शंकु की ऊँचाई 4 cm और आधार की त्रिज्या 3 cm है। इसकी तिर्यक ऊँचाई क्या है?
(A) 7 cm
(B) 5 cm
(C) √7 cm
(D) 25 cm

प्रश्न 5: एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है, यदि उसकी त्रिज्या 'r' है?
(A) 2πr²
(B) 4πr²
(C) 3πr²
(D) πr²

प्रश्न 6: यदि दो घनों के आयतनों का अनुपात 8:27 है, तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
(A) 2:3
(B) 4:9
(C) 8:27
(D) 1:3

प्रश्न 7: एक खिलौना अर्धगोले पर अध्यारोपित शंकु के आकार का है। यदि अर्धगोले और शंकु दोनों की त्रिज्या 7 cm है और शंकु की ऊँचाई 24 cm है, तो खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(A) 550 cm²
(B) 308 cm²
(C) 704 cm²
(D) 858 cm²

प्रश्न 8: 6 cm त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या वाली कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?
(A) 9
(B) 18
(C) 27
(D) 36

प्रश्न 9: एक बाल्टी शंकु के छिन्नक के आकार की है। इसके वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 14 cm और 7 cm हैं तथा ऊँचाई 30 cm है। बाल्टी का आयतन क्या होगा? (π = 22/7 लें)
(A) 8080 cm³
(B) 10780 cm³
(C) 21560 cm³
(D) 15400 cm³

प्रश्न 10: एक बेलनाकार पेंसिल को छीलकर उसे एक शंक्वाकार सिरा दिया जाता है। पेंसिल का संयोजन है:
(A) एक शंकु और एक बेलन
(B) शंकु का छिन्नक और एक बेलन
(C) दो बेलन
(D) एक अर्धगोला और एक बेलन

उत्तर कुंजी (Answer Key):

1. (B) (a³ = 64 => a = 4 cm. TSA = 6a² = 6 × 4² = 96 cm²)
2. (B) (CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 5 = 220 cm²)
3. (B) (Volume = (4/3)πr³ = (4/3)π(3)³ = 36π cm³)
4. (B) (l = √(r² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm)
5. (C) (TSA of Hemisphere = 3πr²)
6. (B) (V₁/V₂ = a₁³/a₂³ = 8/27 => a₁/a₂ = 2/3. SA₁/SA₂ = 6a₁²/6a₂² = (a₁/a₂)² = (2/3)² = 4/9)
7. (C) (l = √(7² + 24²) = √49 + 576 = √625 = 25 cm. TSA = CSA शंकु + CSA अर्धगोला = πrl + 2πr² = πr(l + 2r) = (22/7) × 7 × (25 + 2×7) = 22 × (25 + 14) = 22 × 39 = 858 cm². Correction: Calculation mistake in initial thought, let's recheck. πrl = (22/7)725 = 550. 2πr² = 2(22/7)77 = 308. Total = 550+308 = 858 cm². The option D is correct, not C as initially thought.* Let me re-evaluate the options provided or the question itself. Ah, the question asks for Total Surface Area. Let's re-read. "खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल". Yes, it should be CSA of cone + CSA of hemisphere. My calculation 858 cm² is correct. Let's assume option D is 858 cm² and correct the option list or the answer key. Let's stick to the calculation: 858 cm². If the options are fixed, there might be an error in the options provided in the prompt simulation. Let's assume option (D) is 858 cm².) Self-correction: Let's re-read the standard interpretation. A toy usually means the base is covered. So it's CSA cone + CSA hemisphere. Calculation: πrl + 2πr² = (22/7)725 + 2(22/7)77 = 550 + 308 = 858 cm². OK, option D is indeed 858 cm². My initial thought process had a typo.*
8. (C) (बड़े गोले का आयतन = n × छोटी गोली का आयतन. (4/3)π(6)³ = n × (4/3)π(2)³. 216 = n × 8 => n = 216 / 8 = 27)
9. (C) (Volume = (1/3)πh(R² + r² + Rr) = (1/3) × (22/7) × 30 × (14² + 7² + 14×7) = (10 × 22/7) × (196 + 49 + 98) = (220/7) × 343 = 220 × 49 = 10780 cm³. Re-calculation: (1/3)(22/7)30(196+49+98) = 10*(22/7)343 = 102249 = 22049 = 10780 cm³. Option (B) is correct.* Let me re-evaluate the options again. (1/3) * (22/7) * 30 * (14^2 + 7^2 + 14*7) = 10 * (22/7) * (196 + 49 + 98) = 10 * (22/7) * 343. Since 343 / 7 = 49. Volume = 10 * 22 * 49 = 220 * 49 = 10780 cm³. Yes, option (B) 10780 cm³ is correct. The provided option C seems incorrect based on calculation.) Self-correction: Let's assume option B is correct.
10. (A) (छीलने के बाद पेंसिल में एक बेलनाकार भाग और एक शंक्वाकार सिरा होता है।)

Revised Answer Key (Post verification):

1. B
2. B
3. B
4. B
5. C
6. B
7. D (Assuming option D is 858 cm²)
8. C
9. B (10780 cm³)
10. A

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। सूत्रों को समझने और उन्हें सही तरीके से लागू करने पर ध्यान केंद्रित करें। शुभकामनाएँ!