Class 10 Mathematics Notes Chapter 2 (बहुपद) – Ganit Book

नमस्ते विद्यार्थियों! आज हम कक्षा 10 गणित के अध्याय 2, 'बहुपद' (Polynomials) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है। आइए, इसके मुख्य बिंदुओं को विस्तार से समझें।

अध्याय 2: बहुपद (Polynomials) - विस्तृत नोट्स

1. बहुपद की परिभाषा (Definition of Polynomial):

   • चर (variable) 'x' में एक बहुपद, p(x), निम्न रूप का एक बीजीय व्यंजक होता है:
     p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
   • यहाँ a₀, a₁, ..., aₙ वास्तविक संख्याएँ हैं (जिन्हें बहुपद के गुणांक कहते हैं) और 'n' एक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integer) है, यानी n = 0, 1, 2, 3,...
   • महत्वपूर्ण: चर की घात ऋणात्मक या भिन्न (fraction) नहीं हो सकती। उदाहरण के लिए, x² + 2√x + 3 या x + 1/x बहुपद नहीं हैं।
   • यदि aₙ ≠ 0, तो aₙxⁿ को बहुपद का अग्रग पद (leading term) कहते हैं।

2. बहुपद की घात (Degree of a Polynomial):

   • चर 'x' की उच्चतम घात (highest power) को बहुपद की घात कहते हैं।
   • उदाहरण:
     • p(x) = 5x³ - 2x² + x - 8 की घात 3 है।
     • q(y) = 7y² - 1 की घात 2 है।
     • r(t) = 5t + 1 की घात 1 है।
     • s(x) = 9 (एक अचर बहुपद) की घात 0 है (क्योंकि 9 = 9x⁰)।
     • शून्य बहुपद (Zero polynomial, p(x) = 0) की घात परिभाषित नहीं है।

3. घात के आधार पर बहुपदों के प्रकार (Types based on Degree):

   • रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): घात 1 वाला बहुपद। मानक रूप: ax + b, जहाँ a ≠ 0। उदाहरण: 2x + 3.
   • द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाला बहुपद। मानक रूप: ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0। उदाहरण: x² - 5x + 6.
   • त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial): घात 3 वाला बहुपद। मानक रूप: ax³ + bx² + cx + d, जहाँ a ≠ 0। उदाहरण: x³ - 8.

4. बहुपद का मान (Value of a Polynomial):

   • किसी बहुपद p(x) में, चर x के स्थान पर कोई वास्तविक संख्या 'k' रखने पर प्राप्त मान p(k) कहलाता है।
   • उदाहरण: यदि p(x) = x² - 3x + 2, तो x = 1 पर मान p(1) = (1)² - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 होगा।

5. बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Polynomial):

   • एक वास्तविक संख्या 'k' बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है यदि p(k) = 0 हो।
   • सरल शब्दों में, चर का वह मान जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाए, उस बहुपद का शून्यक कहलाता है।
   • उदाहरण: ऊपर दिए गए उदाहरण में, p(1) = 0 है, इसलिए 1 बहुपद p(x) = x² - 3x + 2 का एक शून्यक है।

6. शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical Meaning of Zeroes):

   • किसी बहुपद p(x) के शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ y = p(x) का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
   • एक रैखिक बहुपद ax + b का ग्राफ एक सरल रेखा होती है जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु (-b/a, 0) पर काटती है। अतः, रैखिक बहुपद का केवल एक शून्यक -b/a होता है।
   • एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c का ग्राफ एक परवलय (Parabola) होता है। यह x-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काट सकता है। अतः, द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं।
     • यदि ग्राफ x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काटता है, तो दो भिन्न शून्यक होते हैं।
     • यदि ग्राफ x-अक्ष को केवल स्पर्श करता है (एक बिंदु पर काटता है), तो एक ही शून्यक होता है (या दो समान शून्यक)।
     • यदि ग्राफ x-अक्ष को बिल्कुल नहीं काटता है, तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता।
   • एक त्रिघात बहुपद के अधिकतम तीन शून्यक हो सकते हैं (ग्राफ x-अक्ष को अधिकतम तीन बार काट सकता है)।
   • सामान्यतः, घात 'n' वाले बहुपद के अधिकतम 'n' शून्यक हो सकते हैं।

7. किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध (Relationship between Zeroes and Coefficients):

   • रैखिक बहुपद (ax + b):
     • शून्यक = -b/a = -(अचर पद) / (x का गुणांक)
   • द्विघात बहुपद (ax² + bx + c):
     • मान लीजिए इसके शून्यक α (अल्फा) और β (बीटा) हैं।
     • शून्यकों का योग (Sum of zeroes): α + β = -b/a = -(x का गुणांक) / (x² का गुणांक)
     • शून्यकों का गुणनफल (Product of zeroes): αβ = c/a = (अचर पद) / (x² का गुणांक)
   • त्रिघात बहुपद (ax³ + bx² + cx + d): (यह भाग प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए अधिक महत्वपूर्ण है)
     • मान लीजिए इसके शून्यक α, β, और γ (गामा) हैं।
     • α + β + γ = -b/a = -(x² का गुणांक) / (x³ का गुणांक)
     • αβ + βγ + γα = c/a = (x का गुणांक) / (x³ का गुणांक)
     • αβγ = -d/a = -(अचर पद) / (x³ का गुणांक)

8. बहुपद बनाना जब शून्यक दिए हों (Forming a Polynomial with given Zeroes):

   • यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक α और β दिए गए हों, तो वह बहुपद निम्न रूप का होता है:
     p(x) = k [x² - (α + β)x + αβ]
     जहाँ k कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या (non-zero real number) हो सकती है।
   • सामान्यतः k = 1 लेकर बहुपद x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल) बनाया जाता है।

9. बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials):

   • यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं, जहाँ g(x) ≠ 0, तो हम ऐसे बहुपद q(x) (भागफल) और r(x) (शेषफल) प्राप्त कर सकते हैं कि:
     p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
   • यहाँ या तो r(x) = 0 होगा या शेषफल r(x) की घात < भाजक g(x) की घात होगी।
   • यह प्रक्रिया सामान्य लंबी भाग विधि (long division method) की तरह ही है।
     भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
   • उपयोग: यदि r(x) = 0 आता है, तो g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखंड होता है। इसका उपयोग बहुपद के अन्य शून्यक ज्ञात करने में किया जा सकता है यदि एक या अधिक शून्यक ज्ञात हों।

परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण बिंदु:

• बहुपद की पहचान करना (घात ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए)।
• बहुपद की घात ज्ञात करना।
• ग्राफ देखकर शून्यकों की संख्या बताना।
• द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात करना (गुणनखंड विधि या द्विघाती सूत्र से)।
• शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध (α + β = -b/a, αβ = c/a) का सत्यापन और उपयोग।
• दिए गए शून्यकों के योग और गुणनफल से द्विघात बहुपद बनाना।
• विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके भागफल और शेषफल ज्ञात करना।
• विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके जांचना कि एक बहुपद दूसरे का गुणनखंड है या नहीं।
• यदि किसी बहुपद के कुछ शून्यक दिए हों, तो शेष शून्यक ज्ञात करना (विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके)।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: निम्न में से कौन सा व्यंजक एक बहुपद है?
(a) x² + 1/x
(b) √x + 3
(c) x³ - 2x² + 5x - 1
(d) x²/³ + 7

प्रश्न 2: बहुपद p(x) = 4x³ - 5x⁴ + 3x - 9 की घात क्या है?
(a) 3
(b) 4
(c) 1
(d) 0

प्रश्न 3: यदि किसी बहुपद y = p(x) का ग्राफ x-अक्ष को 3 बिंदुओं पर काटता है, तो बहुपद के शून्यकों की संख्या कितनी है?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 0

प्रश्न 4: द्विघात बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक हैं:
(a) 2, -4
(b) 4, -2
(c) -2, -4
(d) 4, 2

प्रश्न 5: एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यकों का योग -3 और गुणनफल 2 है, वह है:
(a) x² - 3x + 2
(b) x² + 3x + 2
(c) x² - 3x - 2
(d) x² + 3x - 2

प्रश्न 6: यदि द्विघात बहुपद kx² + 2x + 3k के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो k का मान है:
(a) 2/3
(b) -2/3
(c) 1/3
(d) -1/3

प्रश्न 7: यदि बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 है, तो अन्य दो शून्यकों का गुणनफल है:
(a) b - a + 1
(b) b - a - 1
(c) a - b + 1
(d) a - b - 1

प्रश्न 8: बहुपद p(x) = x⁴ - 5x + 6 को g(x) = 2 - x² से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः हैं:
(a) भागफल = -x² - 2, शेषफल = -5x + 10
(b) भागफल = x² + 2, शेषफल = 5x + 10
(c) भागफल = -x² + 2, शेषफल = -5x - 10
(d) भागफल = x² - 2, शेषफल = 5x - 10

प्रश्न 9: यदि बहुपद x³ - 3x² + x + 2 के शून्यक a-b, a, a+b हैं, तो a का मान है:
(a) 1
(b) -1
(c) 3
(d) -3

प्रश्न 10: यदि बहुपद 2x² + 5x + k का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम (reciprocal) है, तो k का मान है:
(a) 1
(b) 2
(c) 1/2
(d) 5

उत्तरमाला (MCQs):

1. (c)
2. (b)
3. (c)
4. (b) (x² - 4x + 2x - 8 = x(x-4) + 2(x-4) = (x-4)(x+2), शून्यक 4, -2)
5. (b) (x² - (योग)x + (गुणनफल) = x² - (-3)x + 2 = x² + 3x + 2)
6. (b) (योग = -2/k, गुणनफल = 3k/k = 3. प्रश्नानुसार, -2/k = 3 => k = -2/3)
7. (a) (मान लीजिए शून्यक α, β, γ हैं। दिया है γ = -1. α + β + γ = -a, αβ + βγ + γα = b, αβγ = -c. αβ + γ(α+β) = b. α+β = -a - γ = -a - (-1) = 1-a. तो αβ + (-1)(1-a) = b => αβ - 1 + a = b => αβ = b - a + 1)
8. (a) (लंबी भाग विधि से भाग दें, भाजक को -x² + 2 लिखें)
9. (a) (शून्यकों का योग = (a-b) + a + (a+b) = 3a. सूत्र से, योग = -(-3)/1 = 3. अतः 3a = 3 => a = 1)
10. (b) (मान लीजिए शून्यक α और 1/α हैं। शून्यकों का गुणनफल = α * (1/α) = 1. सूत्र से, गुणनफल = c/a = k/2. अतः k/2 = 1 => k = 2)

इन नोट्स को ध्यान से पढ़ें और प्रश्नों का अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!