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Class 10 Mathematics Notes Chapter 3 (Chapter 3) – Examplar Problems (Hindi) Book

Philoid

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Examplar Problems (Hindi)
चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित विषय के अध्याय 3 - 'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' का अध्ययन करेंगे, जो आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

1. परिचय:

  • दो चर वाला रैखिक समीकरण: एक समीकरण जिसे ax + by + c = 0 के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a और b दोनों शून्य नहीं हैं (a² + b² ≠ 0), दो चरों (x और y) वाला एक रैखिक समीकरण कहलाता है।
    • उदाहरण: 2x + 3y - 5 = 0
  • दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म: जब हम एक ही दो चरों (जैसे x और y) में दो रैखिक समीकरणों पर एक साथ विचार करते हैं, तो उन्हें रैखिक समीकरणों का एक युग्म कहा जाता है।
    • युग्म का व्यापक रूप:
      a₁x + b₁y + c₁ = 0
      a₂x + b₂y + c₂ = 0
      जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं और a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0।
  • समीकरण युग्म का हल: चरों x और y के मानों का एक युग्म (x, y) जो दिए गए युग्म के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, उस रैखिक समीकरण युग्म का हल कहलाता है।

2. रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय निरूपण:

दो चरों वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सरल रेखा होता है। अतः, एक रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय निरूपण दो सरल रेखाएँ होता है। एक तल में दो रेखाओं के लिए तीन स्थितियाँ संभव हैं:

  • (i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines): यदि दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उस बिंदु के निर्देशांक (x, y) समीकरण युग्म का अद्वितीय हल (Unique Solution) होते हैं। इस स्थिति में, समीकरण युग्म संगत (Consistent) कहलाता है।

    • शर्त: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

  • (ii) समांतर रेखाएँ (Parallel Lines): यदि दोनों रेखाएँ समांतर हैं, तो वे कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं। इस स्थिति में, समीकरण युग्म का कोई हल नहीं (No Solution) होता है। इस स्थिति में, समीकरण युग्म असंगत (Inconsistent) कहलाता है।

    • शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

  • (iii) संपाती रेखाएँ (Coincident Lines): यदि दोनों रेखाएँ संपाती हैं (अर्थात् एक ही रेखा को निरूपित करती हैं), तो उस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण युग्म का हल होता है। इस स्थिति में, समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely Many Solutions) होते हैं। इस स्थिति में, समीकरण युग्म संगत (आश्रित) (Consistent (Dependent)) कहलाता है।

    • शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

गुणांकों की तुलना और हलों की प्रकृति का सारांश:

क्रम सं. रेखा युग्म a₁/a₂ b₁/b₂ c₁/c₂ ग्राफीय निरूपण बीजगणितीय निरूपण संगति
1 a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0		 ≠ प्रतिच्छेदी रेखाएँ अद्वितीय हल संगत
2 a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0		 = ≠ समांतर रेखाएँ कोई हल नहीं असंगत
3 a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0		 = = = संपाती रेखाएँ अपरिमित रूप से अनेक हल संगत (आश्रित)

3. रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ:

  • (i) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method):

    1. किसी एक समीकरण से एक चर (जैसे y) का मान दूसरे चर (जैसे x) के पदों में व्यक्त कीजिए।
    2. इस चर (y) के मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए। इससे एक चर (x) में रैखिक समीकरण प्राप्त होगा।
    3. इस एक चर वाले समीकरण को हल करके उस चर (x) का मान ज्ञात कीजिए।
    4. प्राप्त चर (x) के मान को चरण 1 में प्राप्त संबंध में रखकर दूसरे चर (y) का मान ज्ञात कीजिए।

  • (ii) विलोपन विधि (Elimination Method):

    1. दोनों समीकरणों में किसी एक चर (x या y) के गुणांकों को (आवश्यकतानुसार समीकरणों को उपयुक्त अशून्य अचरों से गुणा करके) संख्यात्मक रूप से समान बनाइए।
    2. एक समीकरण को दूसरे में जोड़िए या घटाइए ताकि समान गुणांक वाला चर विलुप्त (eliminate) हो जाए। इससे एक चर में रैखिक समीकरण प्राप्त होगा।
    3. इस एक चर वाले समीकरण को हल करके उस चर का मान ज्ञात कीजिए।
    4. प्राप्त चर के मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए।

  • (iii) वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method): (यह विधि कुछ बोर्डों के पाठ्यक्रम से हटा दी गई है, लेकिन प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए उपयोगी हो सकती है)
    रैखिक समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए:
    x / (b₁c₂ - b₂c₁) = y / (c₁a₂ - c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ - a₂b₁)
    इस संबंध का उपयोग करके x और y के मान ज्ञात किए जा सकते हैं, बशर्ते a₁b₂ - a₂b₁ ≠ 0 (जो अद्वितीय हल की शर्त है)।
    इसे याद रखने का तरीका:
    x y 1
    b₁ c₁ a₁ b₁
    b₂ c₂ a₂ b₂
    x / (b₁c₂ - b₂c₁) = y / (c₁a₂ - c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ - a₂b₁)

4. रैखिक समीकरण युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण:

कुछ समीकरण प्रारम्भ में रैखिक नहीं होते, परन्तु उपयुक्त प्रतिस्थापनों द्वारा उन्हें रैखिक समीकरण युग्म के रूप में बदला जा सकता है।

  • उदाहरण: समीकरण युग्म 2/x + 3/y = 13 और 5/x - 4/y = -2 को हल करने के लिए, हम 1/x = u और 1/y = v प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे नया रैखिक युग्म प्राप्त होगा:
    2u + 3v = 13
    5u - 4v = -2
    इस नए युग्म को u और v के लिए हल करें और फिर x = 1/u और y = 1/v से x और y के मान ज्ञात करें।

5. शाब्दिक समस्याएँ (Word Problems):

इस अध्याय में विभिन्न प्रकार की शाब्दिक समस्याएँ शामिल हैं, जैसे:

  • आयु संबंधी समस्याएँ
  • संख्याओं और भिन्नों पर आधारित समस्याएँ
  • चाल, दूरी और समय (नाव और धारा सहित) पर आधारित समस्याएँ
  • ज्यामिति (क्षेत्रफल, परिमाप) पर आधारित समस्याएँ
  • लागत और मूल्य पर आधारित समस्याएँ

समस्या हल करने के चरण:

  1. समस्या को ध्यानपूर्वक पढ़ें और अज्ञात राशियों को पहचानें। उन्हें चरों (जैसे x और y) से निरूपित करें।
  2. दी गई शर्तों के आधार पर समस्या को दो रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलें।
  3. प्राप्त समीकरण युग्म को किसी भी उपयुक्त बीजगणितीय विधि (प्रतिस्थापन, विलोपन, या वज्र-गुणन) से हल करें।
  4. प्राप्त हल (x और y के मान) की व्याख्या समस्या के संदर्भ में करें और सुनिश्चित करें कि उत्तर तार्किक है।

यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसमें बीजगणितीय कौशल और तार्किक सोच दोनों का समावेश होता है। शर्तों (a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂) को याद रखना और उनका सही उपयोग करना आवश्यक है।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: समीकरण युग्म x + 2y - 5 = 0 और -3x - 6y + 15 = 0 का/के हैं:
(a) अद्वितीय हल
(b) ठीक दो हल
(c) अपरिमित रूप से अनेक हल
(d) कोई हल नहीं

प्रश्न 2: यदि रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत है, तो रेखाएँ होंगी:
(a) समांतर
(b) सदैव संपाती
(c) प्रतिच्छेदी या संपाती
(d) सदैव प्रतिच्छेदी

प्रश्न 3: समीकरण युग्म y = 0 और y = -7 का/के हैं:
(a) एक हल
(b) दो हल
(c) अपरिमित रूप से अनेक हल
(d) कोई हल नहीं

प्रश्न 4: k के किस मान के लिए, समीकरण युग्म 3x - y + 8 = 0 और 6x - ky = -16 संपाती रेखाएँ निरूपित करते हैं?
(a) 1/2
(b) -1/2
(c) 2
(d) -2

प्रश्न 5: यदि रेखाएँ 3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 समांतर हैं, तो k का मान है:
(a) -5/4
(b) 2/5
(c) 15/4
(d) 3/2

प्रश्न 6: x = a और y = b समीकरण युग्म x - y = 2 और x + y = 4 का हल है, तो a और b के मान क्रमशः हैं:
(a) 3 और 1
(b) 1 और 3
(c) 5 और -3
(d) -1 और -3

प्रश्न 7: एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की छः गुनी है। चार वर्ष बाद, पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की चार गुनी होगी। पुत्र और पिता की वर्तमान आयु (वर्षों में) क्रमशः हैं:
(a) 4 और 24
(b) 5 और 30
(c) 6 और 36
(d) 3 और 24

प्रश्न 8: समीकरण युग्म x + y = 7 और 5x + 12y = 7 को हल करने पर x का मान क्या है?
(a) 11
(b) 5
(c) 7
(d) 10

प्रश्न 9: समीकरण युग्म 2/x + 3/y = 2 और 1/x - 1/(2y) = 1/3 (जहाँ x ≠ 0, y ≠ 0) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:
(a) x = 1, y = 2
(b) x = 2, y = 3
(c) x = 1/2, y = 1/3
(d) x = 3, y = 2

प्रश्न 10: रैखिक समीकरण युग्म kx + y = k² और x + ky = 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, यदि k का मान है:
(a) ±1
(b) 1
(c) -1
(d) 2

उत्तरमाला (MCQs):

  1. (c) [यहाँ a₁/a₂ = 1/(-3), b₁/b₂ = 2/(-6) = 1/(-3), c₁/c₂ = -5/15 = 1/(-3)। चूँकि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, अतः अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।]
  2. (c) [संगत युग्म का अर्थ है या तो अद्वितीय हल (प्रतिच्छेदी रेखाएँ) या अनेक हल (संपाती रेखाएँ)।]
  3. (d) [y = 0 (x-अक्ष) और y = -7 दो समांतर रेखाएँ हैं। अतः कोई हल नहीं।]
  4. (c) [संपाती के लिए, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। 3/6 = (-1)/(-k) = 8/16। 1/2 = 1/k = 1/2। अतः k = 2।]
  5. (c) [समांतर के लिए, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂। 3/2 = (2k)/5। 15 = 4k, अतः k = 15/4।]
  6. (a) [दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (x - y) + (x + y) = 2 + 4 => 2x = 6 => x = 3। x = 3 को x + y = 4 में रखने पर, 3 + y = 4 => y = 1। अतः a = 3, b = 1।]
  7. (c) [माना पुत्र की आयु x और पिता की आयु y है। y = 6x (1)। चार वर्ष बाद, (y+4) = 4(x+4) => y+4 = 4x+16 => y = 4x+12 (2)। (1) और (2) से, 6x = 4x+12 => 2x = 12 => x = 6। y = 6x = 6(6) = 36। अतः आयु 6 और 36 वर्ष है।]
  8. (a) [पहले समीकरण को 5 से गुणा करें: 5x + 5y = 35। इसे दूसरे समीकरण से घटाएं: (5x + 12y) - (5x + 5y) = 7 - 35 => 7y = -28 => y = -4। x + y = 7 => x + (-4) = 7 => x = 11।]
  9. (c) [1/x = u, 1/y = v रखें। 2u + 3v = 2 (1), u - v/2 = 1/3 => 6u - 3v = 2 (2)। (1) और (2) को जोड़ने पर: 8u = 4 => u = 1/2। (1) में u = 1/2 रखने पर: 2(1/2) + 3v = 2 => 1 + 3v = 2 => 3v = 1 => v = 1/3। अतः x = 1/u = 2, y = 1/v = 3। क्षमा करें, विकल्प (b) सही है, मैंने गणना में त्रुटि की। पुनः जांच: u=1/2, v=1/3. x=1/u=2, y=1/v=3. हाँ, उत्तर (b) है।]
    • संशोधन: प्रश्न 9 का सही उत्तर (b) है।
  10. (b) [अनेक हल के लिए: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। k/1 = 1/k = k²/1। k/1 = 1/k => k² = 1 => k = ±1। 1/k = k²/1 => k³ = 1 => k = 1। दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला मान k = 1 है।]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!

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