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Class 10 Mathematics Notes Chapter 3 (दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म) – Ganit Book

Philoid

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Ganit
नमस्ते विद्यार्थियों!

आज हम कक्षा 10 गणित के अध्याय 3, 'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से भी बहुत महत्वपूर्ण है। आइए, इसके मुख्य बिंदुओं को विस्तार से समझते हैं।

अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

1. परिचय (Introduction)

  • दो चर वाला रैखिक समीकरण: एक समीकरण जिसे ax + by + c = 0 के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a और b दोनों शून्य नहीं हैं (a² + b² ≠ 0), दो चरों (x और y) वाला एक रैखिक समीकरण कहलाता है।
  • उदाहरण: 2x + 3y - 5 = 0, x - 4y = 7
  • दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म: जब हम एक ही दो चरों (जैसे x और y) में दो रैखिक समीकरणों पर एक साथ विचार करते हैं, तो उन्हें रैखिक समीकरणों का एक युग्म कहा जाता है।
  • व्यापक रूप (General Form):
    a₁x + b₁y + c₁ = 0
    a₂x + b₂y + c₂ = 0
    जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं और a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0।

2. रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय निरूपण (Graphical Representation)

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होता है। जब हम एक समीकरण युग्म का ग्राफ बनाते हैं, तो हमें तल में दो सरल रेखाएँ प्राप्त होती हैं। इन दो रेखाओं की स्थिति के आधार पर तीन संभावनाएँ होती हैं:

  • (i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines): यदि दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो समीकरण युग्म का अद्वितीय हल (Unique Solution) होता है। इस स्थिति में, समीकरण युग्म संगत (Consistent) कहलाता है।

    • शर्त: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

  • (ii) समांतर रेखाएँ (Parallel Lines): यदि दोनों रेखाएँ समांतर हैं (कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं), तो समीकरण युग्म का कोई हल नहीं (No Solution) होता है। इस स्थिति में, समीकरण युग्म असंगत (Inconsistent) कहलाता है।

    • शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

  • (iii) संपाती रेखाएँ (Coincident Lines): यदि दोनों रेखाएँ संपाती हैं (एक रेखा दूसरी रेखा पर स्थित होती है), तो समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely Many Solutions) होते हैं। इस स्थिति में, समीकरण युग्म आश्रित संगत (Dependent Consistent) कहलाता है। (यह भी संगत होता है)।

    • शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

गुणांकों के अनुपातों की तुलना और हलों की प्रकृति:

अनुपात की तुलना ग्राफीय निरूपण बीजगणितीय निरूपण युग्म का प्रकार
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ प्रतिच्छेदी रेखाएँ अद्वितीय हल (केवल एक हल) संगत
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ समांतर रेखाएँ कोई हल नहीं असंगत
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ संपाती रेखाएँ अपरिमित रूप से अनेक हल आश्रित संगत

3. रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods)

  • (i) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method):

    • चरण 1: किसी एक समीकरण से एक चर (जैसे y) का मान दूसरे चर (जैसे x) के पदों में ज्ञात कीजिए।
    • चरण 2: इस चर (y) के मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए। इससे एक चर (x) में एक रैखिक समीकरण प्राप्त होगा।
    • चरण 3: इस एक चर वाले समीकरण को हल करके उस चर (x) का मान ज्ञात कीजिए।
    • चरण 4: प्राप्त चर (x) के मान को चरण 1 में प्राप्त व्यंजक में रखकर दूसरे चर (y) का मान ज्ञात कीजिए।

  • (ii) विलोपन विधि (Elimination Method):

    • चरण 1: दोनों समीकरणों में किसी एक चर (x या y) के गुणांकों को (आवश्यकतानुसार समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके) संख्यात्मक रूप से समान बनाइए।
    • चरण 2: अब एक समीकरण को दूसरे में जोड़िए या घटाइए ताकि समान गुणांक वाला चर विलुप्त (eliminate) हो जाए। इससे एक चर में रैखिक समीकरण प्राप्त होगा।
    • चरण 3: इस एक चर वाले समीकरण को हल करके उस चर का मान ज्ञात कीजिए।
    • चरण 4: प्राप्त चर के मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए।

(नोट: वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method) अब NCERT पाठ्यक्रम से हटा दी गई है, लेकिन कुछ पुरानी प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछी जा सकती है। मुख्य रूप से प्रतिस्थापन और विलोपन विधि पर ध्यान केंद्रित करें।)

4. रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations)

कभी-कभी समीकरण सीधे रैखिक रूप में नहीं होते हैं, लेकिन उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा उन्हें रैखिक समीकरण युग्म में बदला जा सकता है।

  • उदाहरण:
    2/x + 3/y = 13
    5/x - 4/y = -2
    यहाँ हम 1/x = p और 1/y = q मानकर इन्हें रैखिक समीकरणों 2p + 3q = 13 और 5p - 4q = -2 में बदल सकते हैं। फिर p और q के मान ज्ञात करके x और y के मान ज्ञात कर सकते हैं।

5. शाब्दिक समस्याएँ (Word Problems)

इस अध्याय का एक महत्वपूर्ण हिस्सा शाब्दिक समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म में बदलना और फिर उन्हें हल करना है। विभिन्न प्रकार की समस्याएँ हो सकती हैं, जैसे:

  • आयु संबंधी समस्याएँ
  • भिन्न संबंधी समस्याएँ
  • संख्याओं पर आधारित समस्याएँ
  • चाल, दूरी और समय संबंधी समस्याएँ
  • नियत व्यय और अतिरिक्त व्यय संबंधी समस्याएँ

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

  • गुणांकों के अनुपातों (a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂) के आधार पर हलों की प्रकृति (अद्वितीय, कोई नहीं, अनंत) ज्ञात करने की शर्तें याद रखें।
  • संगत और असंगत युग्म की पहचान करना सीखें।
  • प्रतिस्थापन और विलोपन विधि में दक्षता हासिल करें क्योंकि ये हल निकालने की सबसे आम विधियाँ हैं।
  • ग्राफीय निरूपण की समझ (रेखाएँ प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती कब होंगी) महत्वपूर्ण है।
  • शाब्दिक समस्याओं को समीकरणों में बदलने का अभ्यास करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: समीकरण युग्म x - 2y = 0 और 3x + 4y - 20 = 0 का ग्राफीय निरूपण है:
(a) प्रतिच्छेदी रेखाएँ
(b) समांतर रेखाएँ
(c) संपाती रेखाएँ
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 2: यदि रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत है, तो रेखाएँ होंगी:
(a) समांतर
(b) हमेशा संपाती
(c) प्रतिच्छेदी या संपाती
(d) हमेशा प्रतिच्छेदी

प्रश्न 3: समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 10 के हलों की संख्या है:
(a) अद्वितीय हल
(b) कोई हल नहीं
(c) अपरिमित रूप से अनेक हल
(d) दो हल

प्रश्न 4: k के किस मान के लिए समीकरण युग्म x + 2y = 3 और 5x + ky + 7 = 0 का कोई हल नहीं है?
(a) k = 10
(b) k = 5
(c) k = 2
(d) k = 15

प्रश्न 5: समीकरण युग्म x + y = 14 और x - y = 4 का हल है:
(a) x = 9, y = 5
(b) x = 5, y = 9
(c) x = 7, y = 7
(d) x = 10, y = 4

प्रश्न 6: समीकरण युग्म 5x - 3y = 11 और -10x + 6y = -22 का:
(a) अद्वितीय हल है
(b) दो हल हैं
(c) कोई हल नहीं है
(d) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

प्रश्न 7: यदि समीकरण युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 असंगत है, तो निम्न में से कौन सा सत्य है?
(a) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
(b) a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
(c) a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 8: दो संख्याओं का योग 35 है और उनका अंतर 13 है। संख्याएँ हैं:
(a) 20 और 15
(b) 24 और 11
(c) 22 और 13
(d) 26 और 9

प्रश्न 9: समीकरण y = 0 और y = -7 के युग्म का:
(a) एक हल है
(b) दो हल हैं
(c) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(d) कोई हल नहीं है

प्रश्न 10: यदि रेखाएँ 3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 समांतर हैं, तो k का मान है:
(a) 15/4
(b) 4/15
(c) 5/4
(d) 4/5

उत्तरमाला:

  1. (a) [स्पष्टीकरण: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = -2/4 = -1/2. चूँकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं।]
  2. (c) [स्पष्टीकरण: संगत युग्म का अर्थ है कम से कम एक हल होना, जो प्रतिच्छेदी (अद्वितीय हल) या संपाती (अनंत हल) रेखाओं के मामले में होता है।]
  3. (c) [स्पष्टीकरण: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = -5/-10 = 1/2. चूँकि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।]
  4. (a) [स्पष्टीकरण: कोई हल नहीं के लिए शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है। 1/5 = 2/k ≠ 3/-7. 1/5 = 2/k से k = 10 मिलता है।]
  5. (a) [स्पष्टीकरण: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 18, यानी x = 9. x का मान पहले समीकरण में रखने पर 9 + y = 14, यानी y = 5.]
  6. (d) [स्पष्टीकरण: a₁/a₂ = 5/-10 = -1/2, b₁/b₂ = -3/6 = -1/2, c₁/c₂ = 11/-22 = -1/2. चूँकि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।]
  7. (b) [स्पष्टीकरण: असंगत युग्म का अर्थ है कोई हल नहीं, जिसकी शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।]
  8. (b) [स्पष्टीकरण: मान लीजिए संख्याएँ x और y हैं। x + y = 35, x - y = 13. जोड़ने पर 2x = 48, x = 24. घटाने पर 2y = 22, y = 11.]
  9. (d) [स्पष्टीकरण: y = 0 (x-अक्ष) और y = -7 (x-अक्ष के समांतर रेखा) दो समांतर रेखाएँ हैं, अतः कोई हल नहीं।]
  10. (a) [स्पष्टीकरण: समांतर रेखाओं के लिए शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है। 3/2 = 2k/5. क्रॉस-गुणा करने पर 15 = 4k, यानी k = 15/4.]

इन नोट्स को ध्यान से पढ़ें और प्रश्नों का अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!

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