Class 10 Mathematics Notes Chapter 4 (Chapter 4) – Examplar Problems (Hindi) Book

नमस्ते विद्यार्थियों!

आज हम कक्षा 10 गणित के अध्याय 4 - 'द्विघात समीकरण' (Quadratic Equations) का अध्ययन करेंगे, जो सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के दृष्टिकोण से अत्यंत महत्वपूर्ण है। हम NCERT Exemplar के प्रश्नों को ध्यान में रखते हुए इसके मुख्य बिंदुओं और अवधारणाओं को विस्तार से समझेंगे।

अध्याय 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

1. परिभाषा (Definition):
कोई भी समीकरण जो ax² + bx + c = 0 के रूप में हो, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 हो, एक द्विघात समीकरण कहलाता है।

• 'a' x² का गुणांक है।
• 'b' x का गुणांक है।
• 'c' अचर पद है।
• महत्वपूर्ण: यदि a = 0 हो जाता है, तो यह एक रैखिक समीकरण (bx + c = 0) बन जाएगा, द्विघात नहीं।

उदाहरण:

• 2x² + 5x - 3 = 0 (यहाँ a=2, b=5, c=-3)
• x² - 7 = 0 (यहाँ a=1, b=0, c=-7)
• 3x² - 4x = 0 (यहाँ a=3, b=-4, c=0)

2. द्विघात समीकरण की जाँच करना:
किसी दिए गए समीकरण को पहले सरल करके ax² + bx + c = 0 के मानक रूप में लिखें। यदि सरलीकरण के बाद x की अधिकतम घात 2 है और x² का गुणांक (a) शून्य नहीं है, तो वह समीकरण द्विघात है।

उदाहरण (Exemplar आधारित): जाँच करें कि (x+1)² = 2(x-3) द्विघात है या नहीं।
हल:
(x+1)² = 2(x-3)
x² + 2x + 1 = 2x - 6
x² + 2x - 2x + 1 + 6 = 0
x² + 7 = 0
यहाँ x की अधिकतम घात 2 है और x² का गुणांक 1 (जो शून्य नहीं है) है। अतः, यह एक द्विघात समीकरण है।

3. द्विघात समीकरण के हल/मूल (Solutions/Roots of a Quadratic Equation):
चर 'x' का वह मान जो द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को संतुष्ट करता है (अर्थात, समीकरण में रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाएँ), समीकरण का हल या मूल कहलाता है।

• एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं।

4. द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ (Methods to Solve):

• a) गुणनखंडन विधि (Factorization Method):

  • मध्य पद (bx) को इस प्रकार दो भागों में विभाजित करें कि उनका योग bx हो और उनका गुणनफल ac के बराबर हो।
  • फिर सार्व गुणनखंड (common factors) लेकर रैखिक गुणनखंड प्राप्त करें।
  • प्रत्येक रैखिक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर x के मान (मूल) ज्ञात करें।

  उदाहरण: 2x² - 5x + 3 = 0
  हल: हमें दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग -5 हो और गुणनफल (2)(3) = 6 हो। वे संख्याएँ -2 और -3 हैं।
  2x² - 2x - 3x + 3 = 0
  2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0
  (2x - 3)(x - 1) = 0
  अतः, 2x - 3 = 0 या x - 1 = 0
  x = 3/2 या x = 1

• b) द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) या श्रीधराचार्य सूत्र:

  • यह विधि किसी भी द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए प्रयोग की जा सकती है, खासकर जब गुणनखंडन आसान न हो।
  • सूत्र: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
  • यहाँ, D = b² - 4ac को विविक्तकर (Discriminant) कहा जाता है। विविक्तकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है।

  उदाहरण: x² + 4x + 1 = 0
  हल: यहाँ a=1, b=4, c=1
  D = b² - 4ac = (4)² - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12
  x = [-4 ± √12] / 2(1)
  x = [-4 ± 2√3] / 2
  x = -2 ± √3
  अतः, मूल हैं: -2 + √3 और -2 - √3

• c) पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Completing the Square Method): (परीक्षा की दृष्टि से सूत्र विधि अधिक महत्वपूर्ण है, लेकिन अवधारणा समझना अच्छा है)

  • इसमें समीकरण को (x+k)² = p² या (x-k)² = p² के रूप में बदला जाता है।

5. मूलों की प्रकृति (Nature of Roots):
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों की प्रकृति विविक्तकर (D = b² - 4ac) पर निर्भर करती है:

• स्थिति 1: यदि D > 0 (b² - 4ac > 0)

  • समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (Two distinct real roots)
  • यदि D एक पूर्ण वर्ग है, तो मूल परिमेय होंगे।
  • यदि D पूर्ण वर्ग नहीं है, तो मूल अपरिमेय होंगे।

• स्थिति 2: यदि D = 0 (b² - 4ac = 0)

  • समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल होंगे। (Two equal real roots)
  • प्रत्येक मूल -b/2a के बराबर होगा।

• स्थिति 3: यदि D < 0 (b² - 4ac < 0)

  • समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होगा। (No real roots) (मूल काल्पनिक या सम्मिश्र संख्याएँ होंगी, जो कक्षा 11 में पढ़ेंगे)।

Exemplar आधारित प्रश्न अक्सर विविक्तकर की शर्तों पर आधारित होते हैं। जैसे, 'k' का मान ज्ञात करें यदि दिए गए समीकरण के मूल बराबर हैं (तब D=0 रखें)।

6. अनुप्रयोग (Applications):
द्विघात समीकरणों का उपयोग विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जैसे:

• आयु संबंधी समस्याएं
• संख्याओं पर आधारित समस्याएं
• गति, दूरी और समय संबंधी समस्याएं
• ज्यामिति (क्षेत्रफल, परिमाप) संबंधी समस्याएं

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण सुझाव:

• द्विघाती सूत्र और विविक्तकर की अवधारणा बिल्कुल स्पष्ट होनी चाहिए।
• मूलों की प्रकृति ज्ञात करने वाले प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।
• शब्द-समस्याओं (Word Problems) को ध्यान से पढ़कर सही समीकरण बनाना महत्वपूर्ण है। Exemplar में चुनौतीपूर्ण शब्द-समस्याएं होती हैं, उनका अभ्यास करें।
• गुणनखंडन विधि तेज हो सकती है, लेकिन यदि संदेह हो तो द्विघाती सूत्र का प्रयोग करें।
• चिह्नों (signs) का विशेष ध्यान रखें, खासकर सूत्र का प्रयोग करते समय।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा एक द्विघात समीकरण है?
(A) x² + 2x + 1 = (4 - x)² + 3
(B) -2x² = (5 - x)(2x - 2/5)
(C) (k+1)x² + (3/2)x = 7, जहाँ k = -1
(D) x³ - x² = (x - 1)³

प्रश्न 2: समीकरण 2x² - √5x + 1 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
(A) दो भिन्न वास्तविक मूल
(B) दो बराबर वास्तविक मूल
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) दो से अधिक मूल

प्रश्न 3: यदि द्विघात समीकरण x² - 4x + k = 0 का एक मूल 6 है, तो k का मान क्या है?
(A) -12
(B) 2
(C) -2
(D) 12

प्रश्न 4: किस मान के लिए समीकरण 9x² + 6kx + 4 = 0 के मूल समान हैं?
(A) 2 या 0
(B) -2 या 0
(C) 2 या -2
(D) केवल -2

प्रश्न 5: समीकरण (x+1)² - x² = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) अनंत

प्रश्न 6: यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल समान हैं, तो c का मान किसके बराबर है?
(A) -b/2a
(B) b/2a
(C) -b²/4a
(D) b²/4a

प्रश्न 7: यदि द्विघात समीकरण 3x² - 10x + k = 0 के मूल व्युत्क्रमणीय (reciprocal) हों, तो k का मान क्या है?
(A) 3
(B) -3
(C) 10
(D) -10

प्रश्न 8: दो क्रमागत धनात्मक विषम पूर्णांकों के वर्गों का योग 290 है। इसे दर्शाने वाला द्विघात समीकरण क्या होगा? (मान लीजिए पहला पूर्णांक x है)
(A) x² + (x+1)² = 290
(B) x² + (x+2)² = 290
(C) x² + (x-2)² = 290
(D) 4x² + 4x - 288 = 0

प्रश्न 9: समीकरण x² + 1)² - x² = 0 के हैं:
(A) चार वास्तविक मूल
(B) दो वास्तविक मूल
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) एक वास्तविक मूल

प्रश्न 10: यदि समीकरण x² + kx + 64 = 0 और x² - 8x + k = 0 दोनों के वास्तविक मूल हैं, तो k का धनात्मक मान क्या है?
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 64

उत्तरमाला (MCQs):

1. (D) [हल: (A) में x² कट जाएगा, (B) में 2x² कट जाएगा, (C) में k=-1 रखने पर x² का पद शून्य हो जाएगा, (D) को हल करने पर x³ कट जाएगा और x² का पद बचेगा: x³ - x² = x³ - 1 - 3x(x-1) => -x² = -1 - 3x² + 3x => 2x² - 3x + 1 = 0]
2. (C) [हल: D = b² - 4ac = (-√5)² - 4(2)(1) = 5 - 8 = -3 < 0]
3. (A) [हल: x=6 रखने पर, (6)² - 4(6) + k = 0 => 36 - 24 + k = 0 => 12 + k = 0 => k = -12]
4. (C) [हल: मूल समान होने के लिए D = 0. (6k)² - 4(9)(4) = 0 => 36k² - 144 = 0 => 36k² = 144 => k² = 4 => k = ±2]
5. (A) [हल: (x+1)² - x² = 0 => x² + 2x + 1 - x² = 0 => 2x + 1 = 0 => x = -1/2. यह एक रैखिक समीकरण है जिसका केवल एक हल है।]
6. (D) [हल: मूल समान होने पर D = 0 => b² - 4ac = 0 => b² = 4ac => c = b²/4a]
7. (A) [हल: यदि मूल α और 1/α हैं, तो मूलों का गुणनफल = α * (1/α) = 1. साथ ही, मूलों का गुणनफल c/a होता है। यहाँ c=k, a=3. तो, k/3 = 1 => k = 3]
8. (B) [हल: यदि पहला विषम पूर्णांक x है, तो अगला विषम पूर्णांक x+2 होगा। समीकरण: x² + (x+2)² = 290]
9. (C) [हल: (x² + 1)² - x² = 0. मान लीजिए y = x². तो (y+1)² - y = 0 => y² + 2y + 1 - y = 0 => y² + y + 1 = 0. इस समीकरण का विविक्तकर D = (1)² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0. अतः y का कोई वास्तविक मान नहीं है। चूँकि y = x², और x² ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए x का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।]
10. (C) [हल: पहले समीकरण के लिए: D₁ = k² - 4(1)(64) ≥ 0 => k² ≥ 256 => k ≥ 16 या k ≤ -16. दूसरे समीकरण के लिए: D₂ = (-8)² - 4(1)(k) ≥ 0 => 64 - 4k ≥ 0 => 64 ≥ 4k => 16 ≥ k. दोनों शर्तों को संतुष्ट करने के लिए (और k धनात्मक है), k = 16.]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!