Class 10 Mathematics Notes Chapter 4 (द्विघात समीकर) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित विषय के अध्याय 4, 'द्विघात समीकरण' (Quadratic Equations) का गहन अध्ययन करेंगे, जो सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के दृष्टिकोण से अत्यंत महत्वपूर्ण है।

अध्याय 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
(सरकारी परीक्षा तैयारी हेतु विस्तृत नोट्स)

1. परिचय और परिभाषा (Introduction and Definition):

• द्विघात बहुपद: एक चर वाला ऐसा बहुपद जिसकी घात (उच्चतम शक्ति) 2 हो, द्विघात बहुपद कहलाता है। उदाहरण: p(x) = 2x² + 3x - 5.
• द्विघात समीकरण: जब हम एक द्विघात बहुपद p(x) को शून्य के बराबर रखते हैं, यानी p(x) = 0, तो हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।
• मानक रूप (Standard Form): द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0 (यह शर्त बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यदि a = 0 हो जाए तो यह रैखिक समीकरण बन जाएगा)।
  • a: x² का गुणांक
  • b: x का गुणांक
  • c: अचर पद

उदाहरण: 3x² - 7x + 2 = 0 एक द्विघात समीकरण है, जहाँ a = 3, b = -7, c = 2.

2. द्विघात समीकरण की जाँच करना (Checking for a Quadratic Equation):

किसी दिए गए समीकरण को द्विघात समीकरण है या नहीं, यह जांचने के लिए:

• समीकरण को सरल करें (कोष्ठक खोलें, पदों को एक तरफ ले जाएँ)।
• जांचें कि क्या चर की उच्चतम घात 2 है।
• सुनिश्चित करें कि x² का गुणांक शून्य नहीं है।

उदाहरण: क्या (x+1)² = 2(x-3) एक द्विघात समीकरण है?
हल:
(x+1)² = 2(x-3)
x² + 2x + 1 = 2x - 6
x² + 2x - 2x + 1 + 6 = 0
x² + 7 = 0
यहाँ, इसे x² + 0x + 7 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। चर x की उच्चतम घात 2 है और x² का गुणांक (a=1) शून्य नहीं है। अतः, यह एक द्विघात समीकरण है।

3. द्विघात समीकरणों के हल/मूल (Solutions/Roots of Quadratic Equations):

किसी द्विघात समीकरण के हल या मूल चर (x) के वे मान होते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं (यानी, जिन्हें समीकरण में रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं)। एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं।

हल ज्ञात करने की विधियाँ:

• (a) गुणनखंडन विधि (Factorization Method):

  • चरण 1: दिए गए द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को मानक रूप में लिखें।
  • चरण 2: मध्य पद bx को दो ऐसे पदों px और qx में विभक्त करें कि p + q = b और p * q = a * c हो।
  • चरण 3: समीकरण को ax² + px + qx + c = 0 के रूप में लिखें और पदों का समूह बनाकर गुणनखंड करें।
  • चरण 4: प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर x के मान ज्ञात करें। यही समीकरण के मूल होंगे।

  उदाहरण: 2x² - 5x + 3 = 0 को हल करें।
  हल: यहाँ a=2, b=-5, c=3. हमें दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग -5 हो और गुणनफल a*c = 2*3 = 6 हो। वे संख्याएँ -2 और -3 हैं।
  2x² - 2x - 3x + 3 = 0
2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0
(x - 1)(2x - 3) = 0
  अब, x - 1 = 0 या 2x - 3 = 0
  अतः, x = 1 या x = 3/2. ये समीकरण के मूल हैं।

• (b) पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Completing the Square Method): (यह विधि अवधारणा समझने के लिए महत्वपूर्ण है, पर परीक्षा में अक्सर द्विघाती सूत्र अधिक तेज होता है)

  • चरण 1: समीकरण को ax² + bx + c = 0 लिखें।
  • चरण 2: यदि a ≠ 1, तो पूरे समीकरण को a से भाग दें: x² + (b/a)x + (c/a) = 0.
  • चरण 3: अचर पद (c/a) को दाईं ओर ले जाएँ: x² + (b/a)x = -c/a.
  • चरण 4: x के गुणांक (b/a) का आधा करें (b/2a) और उसका वर्ग (b/2a)² दोनों पक्षों में जोड़ें:
    x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
  • चरण 5: बायाँ पक्ष अब एक पूर्ण वर्ग है: (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a².
  • चरण 6: दोनों पक्षों का वर्गमूल लें और x के लिए हल करें।

• (c) द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) या श्रीधराचार्य सूत्र:
  यह किसी भी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 (जहाँ a ≠ 0) को हल करने की सार्वभौमिक विधि है।
  मूल (x) निम्न सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
  x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

  उदाहरण: x² + 4x + 1 = 0 को हल करें।
  हल: यहाँ a=1, b=4, c=1.
  x = [-4 ± √(4² - 4*1*1)] / (2*1)
x = [-4 ± √(16 - 4)] / 2
x = [-4 ± √12] / 2
x = [-4 ± 2√3] / 2
x = -2 ± √3
  अतः, मूल हैं x = -2 + √3 और x = -2 - √3.

4. मूलों की प्रकृति (Nature of Roots):

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों की प्रकृति विविक्तकर (Discriminant), D = b² - 4ac, के मान पर निर्भर करती है।

• स्थिति 1: यदि D = b² - 4ac > 0

  • समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
  • मूल होंगे: (-b + √D) / 2a और (-b - √D) / 2a.

• स्थिति 2: यदि D = b² - 4ac = 0

  • समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल (या केवल एक वास्तविक मूल) होते हैं।
  • प्रत्येक मूल -b / 2a के बराबर होता है।

• स्थिति 3: यदि D = b² - 4ac < 0

  • समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। (इस स्थिति में मूल काल्पनिक या सम्मिश्र संख्याएँ होते हैं, जो कक्षा 11 में पढ़ाया जाता है)।

उदाहरण: समीकरण 3x² - 2x + 1/3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात करें।
हल: यहाँ a=3, b=-2, c=1/3.
D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 3 * (1/3)
D = 4 - 4 = 0
चूंकि D = 0, समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल होंगे।

5. मूलों और गुणांकों में संबंध (Relationship between Roots and Coefficients): (यह प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए बहुत उपयोगी है)

यदि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल α (अल्फा) और β (बीटा) हैं, तो:

• मूलों का योग (Sum of Roots): α + β = -b/a
• मूलों का गुणनफल (Product of Roots): α * β = c/a

द्विघात समीकरण बनाना यदि मूल ज्ञात हों:
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α और β हैं, तो वह समीकरण निम्न प्रकार से बनाया जा सकता है:
x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0
अर्थात्, x² - (α + β)x + (α * β) = 0

उदाहरण: यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल 2 और 3 हैं, तो समीकरण ज्ञात करें।
हल:
मूलों का योग = α + β = 2 + 3 = 5
मूलों का गुणनफल = α * β = 2 * 3 = 6
समीकरण: x² - (5)x + (6) = 0 => x² - 5x + 6 = 0

6. अनुप्रयोग (Applications):

द्विघात समीकरणों का उपयोग विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जैसे:

• संख्याओं पर आधारित समस्याएं
• आयु संबंधी समस्याएं
• ज्यामिति (क्षेत्रफल, परिमाप) संबंधी समस्याएं
• गति, दूरी और समय संबंधी समस्याएं
• कार्य और समय संबंधी समस्याएं

समस्या हल करने की रणनीति:

1. समस्या को ध्यान से पढ़ें और अज्ञात राशि को x मानें।
2. दी गई शर्तों के अनुसार x के पदों में एक द्विघात समीकरण बनाएं।
3. द्विघात समीकरण को हल करके x का मान ज्ञात करें।
4. प्राप्त मानों की जांच करें कि क्या वे समस्या के संदर्भ में मान्य हैं (जैसे, आयु या लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।

महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points for Exams):

• हमेशा जांचें कि a ≠ 0 है।
• विविक्तकर D = b² - 4ac मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए महत्वपूर्ण है।
• द्विघाती सूत्र x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a याद रखें।
• मूलों के योग (-b/a) और गुणनफल (c/a) के संबंध बहुत उपयोगी हैं।
• शाब्दिक समस्याओं (Word Problems) का अभ्यास करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा एक द्विघात समीकरण है?
(a) x³ - x² + 5 = 0
(b) x² + 1/x² = 2
(c) (x+2)² = 2(x+3)
(d) x(x+1) + 8 = (x+2)(x-2)

प्रश्न 2: समीकरण 2x² - √5x + 1 = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
(a) दो भिन्न वास्तविक मूल
(b) दो बराबर वास्तविक मूल
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं
(d) दो से अधिक मूल

प्रश्न 3: समीकरण 3x² - 6x + 2 = 0 का विविक्तकर (Discriminant) क्या है?
(a) 10
(b) 12
(c) -12
(d) 60

प्रश्न 4: यदि समीकरण kx² + 6x + 1 = 0 के मूल समान (बराबर) हैं, तो k का मान क्या है?
(a) 3
(b) -9
(c) 9
(d) -3

प्रश्न 5: समीकरण x² - 7x + 12 = 0 के मूल क्या हैं?
(a) 3, 4
(b) -3, -4
(c) 3, -4
(d) -3, 4

प्रश्न 6: यदि द्विघात समीकरण x² + kx - 8 = 0 का एक मूल 4 है, तो k का मान क्या है?
(a) 2
(b) -2
(c) 4
(d) -4

प्रश्न 7: वह द्विघात समीकरण ज्ञात करें जिसके मूल 5 और -2 हैं।
(a) x² + 3x - 10 = 0
(b) x² - 3x + 10 = 0
(c) x² + 3x + 10 = 0
(d) x² - 3x - 10 = 0

प्रश्न 8: समीकरण x + 1/x = 3 (जहाँ x ≠ 0) को हल करने पर प्राप्त द्विघात समीकरण क्या है?
(a) x² + 1 = 3x
(b) x² - 3x + 1 = 0
(c) x² + 3x + 1 = 0
(d) 3x² - x + 3 = 0

प्रश्न 9: यदि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल α और β हैं, तो α + β का मान क्या है?
(a) c/a
(b) -c/a
(c) b/a
(d) -b/a

प्रश्न 10: दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है। इस स्थिति को दर्शाने वाला द्विघात समीकरण क्या होगा (यदि पहला पूर्णांक x है)?
(a) x² + (x+1)² = 365
(b) x² + (x-1)² = 365
(c) x² + x² + 1 = 365
(d) 2x + 1 = 365

उत्तरमाला (MCQs):

1. (c)
2. (c) [D = (-√5)² - 421 = 5 - 8 = -3 < 0]
3. (b) [D = (-6)² - 432 = 36 - 24 = 12]
4. (c) [मूल समान हैं तो D=0 => 6² - 4k1 = 0 => 36 = 4k => k = 9]
5. (a) [गुणनखंडन: (x-3)(x-4)=0]
6. (b) [x=4 रखने पर: (4)² + k(4) - 8 = 0 => 16 + 4k - 8 = 0 => 4k = -8 => k = -2]
7. (d) [योग = 5+(-2)=3, गुणनफल = 5*(-2)=-10. समीकरण: x² - (योग)x + (गुणनफल) = 0 => x² - 3x - 10 = 0]
8. (b) [x से गुणा करने पर: x² + 1 = 3x => x² - 3x + 1 = 0]
9. (d)
10. (a) [पूर्णांक x और x+1 हैं। वर्गों का योग: x² + (x+1)² = 365]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन और अभ्यास आपकी परीक्षा की तैयारी में सहायक होगा। शुभकामनाएं!