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Class 10 Mathematics Notes Chapter 6 (Chapter 6) – Examplar Problems (Hindi) Book

Philoid

Philoid

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Examplar Problems (Hindi)
चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित के अध्याय 6, 'त्रिभुज' के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर विस्तार से चर्चा करेंगे, जो आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी में सहायक होंगे। यह अध्याय ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है और इससे जुड़े प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।

अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles) - विस्तृत नोट्स

1. समरूप आकृतियाँ (Similar Figures):

  • वे आकृतियाँ जिनके आकार समान हों परन्तु उनके आमाप (size) भिन्न हो सकते हैं, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
  • उदाहरण: सभी वृत्त समरूप होते हैं, सभी वर्ग समरूप होते हैं, सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
  • दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि:
    • उनके संगत कोण बराबर हों।
    • उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों।

2. त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles):

दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि:

  • (i) उनके संगत कोण बराबर हों, तथा

  • (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (अर्थात् समानुपाती) हों।

    यदि ΔABC और ΔDEF समरूप हैं, तो इसे ΔABC ~ ΔDEF लिखा जाता है।
    इसमें:

    • ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
    • AB/DE = BC/EF = AC/DF

3. त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ (Criteria for Similarity of Triangles):

  • (i) AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी: यदि एक त्रिभुज के तीनों कोण दूसरे त्रिभुज के संगत तीनों कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
    • उप-प्रमेय (AA समरूपता): यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों के बराबर हों, तो भी दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (क्योंकि त्रिभुज का तीसरा कोण स्वतः बराबर हो जाता है)।
  • (ii) SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी: यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीनों भुजाओं के समानुपाती हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए त्रिभुज समरूप होते हैं।
  • (iii) SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक संगत कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem - BPT) या थेल्स प्रमेय (Thales Theorem):

  • कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
    • यदि ΔABC में, DE || BC है, जहाँ D, AB पर और E, AC पर स्थित है, तो AD/DB = AE/EC.
  • आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम (Converse of BPT): यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
    • यदि ΔABC में, AD/DB = AE/EC है, तो DE || BC.

5. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात (Ratio of Areas of Similar Triangles):

  • प्रमेय: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
    • यदि ΔABC ~ ΔPQR है, तो:
      Area(ΔABC) / Area(ΔPQR) = (AB/PQ)² = (BC/QR)² = (AC/PR)²
  • यह अनुपात संगत माध्यिकाओं, संगत शीर्षलंबों और संगत कोण समद्विभाजकों के अनुपात के वर्ग के भी बराबर होता है।

6. पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem):

  • कथन: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
    • यदि ΔABC में, ∠B = 90° है, तो AC² = AB² + BC².
  • पाइथागोरस प्रमेय का विलोम (Converse of Pythagoras Theorem): यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।
    • यदि ΔABC में, AC² = AB² + BC² है, तो ∠B = 90°.

कुछ महत्वपूर्ण परिणाम:

  • किसी समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए, तो लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।
  • समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।

अभ्यास हेतु 10 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: यदि ΔABC ~ ΔPQR, Area(ΔABC) = 81 सेमी² और Area(ΔPQR) = 121 सेमी², तथा BC = 6.3 सेमी है, तो QR की लंबाई क्या है?
(a) 7.7 सेमी
(b) 8.7 सेमी
(c) 9.3 सेमी
(d) 6.3 सेमी

प्रश्न 2: ΔABC में, DE || BC है, जहाँ D, AB पर और E, AC पर स्थित है। यदि AD = 2.5 सेमी, DB = 3 सेमी और AE = 3.75 सेमी है, तो AC का मान है:
(a) 7.25 सेमी
(b) 8.25 सेमी
(c) 4.5 सेमी
(d) 6.75 सेमी

प्रश्न 3: दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(a) 2 : 3
(b) 4 : 9
(c) 81 : 16
(d) 16 : 81

प्रश्न 4: ΔABC और ΔBDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(a) 2 : 1
(b) 1 : 2
(c) 4 : 1
(d) 1 : 4

प्रश्न 5: एक सीढ़ी दीवार के सहारे इस प्रकार खड़ी है कि उसका निचला सिरा दीवार से 2.5 मीटर की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 मीटर की ऊँचाई पर बनी एक खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लम्बाई है:
(a) 6.5 मीटर
(b) 7.5 मीटर
(c) 8.5 मीटर
(d) 5.5 मीटर

प्रश्न 6: यदि ΔABC ~ ΔDEF, AB = 4 सेमी, DE = 6 सेमी, EF = 9 सेमी और FD = 12 सेमी है, तो ΔABC का परिमाप है:
(a) 18 सेमी
(b) 20 सेमी
(c) 21 सेमी
(d) 27 सेमी

प्रश्न 7: ΔABC में, ∠B = 90° और BD ⊥ AC है। यदि AC = 9 सेमी और AD = 3 सेमी है, तो BD बराबर है:
(a) 2√2 सेमी
(b) 3√2 सेमी
(c) 2√3 सेमी
(d) 3√3 सेमी

प्रश्न 8: यदि ΔABC और ΔDEF में, ∠B = ∠E, ∠F = ∠C तथा AB = 3DE हो, तो दोनों त्रिभुज हैं:
(a) सर्वांगसम परन्तु समरूप नहीं
(b) समरूप परन्तु सर्वांगसम नहीं
(c) न तो सर्वांगसम और न ही समरूप
(d) सर्वांगसम और समरूप दोनों

प्रश्न 9: नीचे दी गई भुजाओं वाले त्रिभुजों में से कौन-सा समकोण त्रिभुज नहीं है?
(a) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी
(b) 5 सेमी, 12 सेमी, 13 सेमी
(c) 8 सेमी, 15 सेमी, 17 सेमी
(d) 6 सेमी, 7 सेमी, 8 सेमी

प्रश्न 10: ΔABC में, AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी और BC = 6 सेमी है। कोण B का मान है:
(a) 120°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45°

उत्तरमाला (MCQs):

  1. (a) 7.7 सेमी [ संकेत: (Area(ΔABC) / Area(ΔPQR)) = (BC/QR)², (81/121) = (6.3/QR)², 9/11 = 6.3/QR, QR = (6.3 * 11) / 9 = 0.7 * 11 = 7.7 ]
  2. (b) 8.25 सेमी [ संकेत: थेल्स प्रमेय से, AD/DB = AE/EC, 2.5/3 = 3.75/EC, EC = (3 * 3.75) / 2.5 = 3 * 1.5 = 4.5 सेमी. AC = AE + EC = 3.75 + 4.5 = 8.25 ]
  3. (d) 16 : 81 [ संकेत: क्षेत्रफलों का अनुपात = (संगत भुजाओं का अनुपात)² = (4/9)² = 16/81 ]
  4. (c) 4 : 1 [ संकेत: समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं। मान लीजिए BC = 2x, तो BD = x. ΔABC की भुजा = 2x, ΔBDE की भुजा = x. क्षेत्रफलों का अनुपात = (2x/x)² = (2/1)² = 4/1 ]
  5. (a) 6.5 मीटर [ संकेत: पाइथागोरस प्रमेय से, सीढ़ी की लम्बाई² = (2.5)² + (6)² = 6.25 + 36 = 42.25. सीढ़ी की लम्बाई = √42.25 = 6.5 ]
  6. (a) 18 सेमी [ संकेत: ΔABC ~ ΔDEF, तो AB/DE = BC/EF = AC/FD = परिमाप(ΔABC) / परिमाप(ΔDEF). परिमाप(ΔDEF) = 6+9+12 = 27 सेमी. 4/6 = परिमाप(ΔABC) / 27. परिमाप(ΔABC) = (4 * 27) / 6 = 2 * 9 = 18 ]
  7. (b) 3√2 सेमी [ संकेत: समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाले गए लम्ब से बने त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। ΔADB ~ ΔBDC. AD/BD = BD/DC. DC = AC - AD = 9 - 3 = 6 सेमी. BD² = AD * DC = 3 * 6 = 18. BD = √18 = 3√2 ]
  8. (b) समरूप परन्तु सर्वांगसम नहीं [ संकेत: AA समरूपता कसौटी से त्रिभुज समरूप हैं। चूँकि AB = 3DE, भुजाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए सर्वांगसम नहीं हैं। ]
  9. (d) 6 सेमी, 7 सेमी, 8 सेमी [ संकेत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम की जाँच करें। (a) 7²+24²=49+576=625=25². (b) 5²+12²=25+144=169=13². (c) 8²+15²=64+225=289=17². (d) 6²+7²=36+49=85 ≠ 8²(64). ]
  10. (c) 90° [ संकेत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम की जाँच करें। सबसे बड़ी भुजा AC = 12. AC² = 144. AB² + BC² = (6√3)² + 6² = (36*3) + 36 = 108 + 36 = 144. चूँकि AC² = AB² + BC², तो ∠B = 90°. ]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। ये आपकी परीक्षा की तैयारी के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं। शुभकामनाएँ!

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