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Class 10 Mathematics Notes Chapter 6 (त्रिभुज) – Ganit Book

Philoid

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Ganit
चलिए, आज हम कक्षा 10 के गणित के अध्याय 6, 'त्रिभुज' का गहन अध्ययन करते हैं। यह अध्याय ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है और सरकारी परीक्षाओं की दृष्टि से भी काफी उपयोगी है। इसमें हम त्रिभुजों की समरूपता और पाइथागोरस प्रमेय से संबंधित अवधारणाओं को विस्तार से समझेंगे।

अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles) - विस्तृत नोट्स

1. भूमिका (Introduction)

  • पिछली कक्षाओं में, हमने त्रिभुजों और उनके गुणों, विशेषकर सर्वांगसमता (Congruence) के बारे में पढ़ा है।
  • दो आकृतियाँ सर्वांगसम तब होती हैं जब उनके आकार (Shape) और आमाप (Size) दोनों समान हों।
  • इस अध्याय में, हम उन आकृतियों का अध्ययन करेंगे जिनका आकार तो समान हो, परन्तु उनके आमाप का समान होना आवश्यक न हो। ऐसी आकृतियों को समरूप आकृतियाँ (Similar Figures) कहा जाता है।
  • हम विशेष रूप से त्रिभुजों की समरूपता, उनकी कसौटियों और समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के संबंध पर ध्यान केंद्रित करेंगे। साथ ही, हम समकोण त्रिभुजों से संबंधित पाइथागोरस प्रमेय का भी अध्ययन करेंगे।

2. समरूप आकृतियाँ (Similar Figures)

  • परिभाषा: दो ज्यामितीय आकृतियाँ समरूप कहलाती हैं यदि उनके आकार समान हों। उनके आमाप भिन्न हो सकते हैं।
    • उदाहरण: सभी वृत्त समरूप होते हैं। सभी वर्ग समरूप होते हैं। सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
  • बहुभुजों की समरूपता: भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि:
    • (i) उनके संगत कोण बराबर हों, तथा
    • (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (अर्थात् समानुपाती) हों।
    • उदाहरण: दो आयत समरूप तभी होंगे जब उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर हो (क्योंकि उनके सभी कोण तो 90° होते ही हैं)।

3. त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles)

  • दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि:
    • (i) उनके संगत कोण बराबर हों, और
    • (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों।
  • यदि त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF समरूप हैं, तो इसे ∆ABC ~ ∆DEF लिखा जाता है।
  • इस स्थिति में:
    • ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
    • AB/DE = BC/EF = AC/DF

4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय - Thales Theorem / Basic Proportionality Theorem - BPT)

  • प्रमेय 6.1: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

    • दिया है: ∆ABC में, रेखा DE || BC है, जो AB को D पर और AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
    • सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC
    • महत्व: यह प्रमेय भुजाओं के अनुपात ज्ञात करने में बहुत उपयोगी है।

  • प्रमेय 6.2 (थेल्स प्रमेय का विलोम - Converse of BPT): यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

    • दिया है: ∆ABC में, रेखा DE भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि AD/DB = AE/EC.
    • सिद्ध करना है: DE || BC

5. त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ (Criteria for Similarity of Triangles)

जैसे सर्वांगसमता के लिए कसौटियाँ (SSS, SAS, ASA, RHS) होती हैं, वैसे ही समरूपता के लिए भी कुछ कसौटियाँ हैं:

  • कसौटी 1: AAA समरूपता (Angle-Angle-Angle Similarity)

    • प्रमेय 6.3: यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसलिए त्रिभुज समरूप होते हैं।
    • यदि ∆ABC और ∆DEF में, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F है, तो ∆ABC ~ ∆DEF.

  • उप-कसौटी: AA समरूपता (Angle-Angle Similarity)

    • प्रमेय 6.4: यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के क्रमशः दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। (क्योंकि त्रिभुज का तीसरा कोण स्वतः ही बराबर हो जाता है)।
    • यदि ∆ABC और ∆DEF में, ∠A = ∠D और ∠B = ∠E है, तो ∆ABC ~ ∆DEF. यह सबसे अधिक प्रयोग होने वाली कसौटी है।

  • कसौटी 2: SSS समरूपता (Side-Side-Side Similarity)

    • प्रमेय 6.5: यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात् एक ही अनुपात में) हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
    • यदि ∆ABC और ∆DEF में, AB/DE = BC/EF = AC/DF है, तो ∆ABC ~ ∆DEF.

  • कसौटी 3: SAS समरूपता (Side-Angle-Side Similarity)

    • प्रमेय 6.6: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
    • यदि ∆ABC और ∆DEF में, ∠A = ∠D और AB/DE = AC/DF है, तो ∆ABC ~ ∆DEF.

6. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Similar Triangles)

  • प्रमेय 6.7: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
    • यदि ∆ABC ~ ∆DEF है, तो:
      Area(∆ABC) / Area(∆DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²
  • विस्तार: यह अनुपात संगत शीर्षलम्बों (altitudes), माध्यिकाओं (medians) और कोण समद्विभाजकों (angle bisectors) के वर्गों के अनुपात के भी बराबर होता है।
    • Area(∆ABC) / Area(∆DEF) = (संगत शीर्षलम्ब का अनुपात)² = (संगत माध्यिका का अनुपात)²

7. पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

यह प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है।

  • प्रमेय 6.8: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (hypotenuse) का वर्ग शेष दो भुजाओं (legs) के वर्गों के योग के बराबर होता है।

    • यदि ∆ABC में, ∠B = 90° है, तो AC² = AB² + BC² (यहाँ AC कर्ण है)।

  • प्रमेय 6.9 (पाइथागोरस प्रमेय का विलोम - Converse of Pythagoras Theorem): यदि किसी त्रिभुज में, एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

    • यदि ∆ABC में, AC² = AB² + BC² है, तो ∠B = 90°.

सरकारी परीक्षा हेतु विशेष बिंदु:

  • थेल्स प्रमेय (BPT) और उसके विलोम पर आधारित सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें भुजाओं का अनुपात या लंबाई ज्ञात करनी होती है।
  • त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियों (विशेषकर AA, SSS, SAS) को पहचानना और उनका उपयोग करके भुजाओं या कोणों का मान ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।
  • समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रमेय पर आधारित प्रश्न अक्सर आते हैं, जिनमें क्षेत्रफलों का अनुपात या भुजाओं का अनुपात दिया होता है और दूसरा ज्ञात करना होता है।
  • पाइथागोरस प्रमेय और इसके विलोम का उपयोग समकोण त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने या यह जांचने के लिए किया जाता है कि दिया गया त्रिभुज समकोण है या नहीं।
  • कई बार मिश्रित प्रश्न आते हैं जिनमें समरूपता और पाइथागोरस प्रमेय दोनों का उपयोग होता है।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1: यदि ∆ABC ~ ∆PQR, Area(∆ABC) = 16 सेमी² और Area(∆PQR) = 25 सेमी² है, तथा BC = 4 सेमी है, तो QR की लंबाई क्या है?
(a) 5 सेमी
(b) 6 सेमी
(c) 4.5 सेमी
(d) 3 सेमी

प्रश्न 2: ∆ABC में, DE || BC है, जहाँ D, AB पर और E, AC पर एक बिंदु है। यदि AD = 2 सेमी, DB = 3 सेमी और AE = 1.6 सेमी है, तो EC का मान क्या है?
(a) 2.4 सेमी
(b) 1.8 सेमी
(c) 2.8 सेमी
(d) 3.2 सेमी

प्रश्न 3: दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
(a) 2:3
(b) 4:9
(c) 81:16
(d) 16:81

प्रश्न 4: ∆ABC और ∆BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, भुजा BC का मध्य-बिंदु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
(a) 2:1
(b) 1:2
(c) 4:1
(d) 1:4

प्रश्न 5: एक सीढ़ी दीवार के सहारे इस प्रकार खड़ी है कि उसका निचला सिरा दीवार से 6 मीटर की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा भूमि से 8 मीटर ऊँची खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई क्या है?
(a) 14 मीटर
(b) 10 मीटर
(c) 12 मीटर
(d) 9 मीटर

प्रश्न 6: ∆ABC में, AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी और BC = 6 सेमी है। कोण B का मान क्या है?
(a) 120°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45°

प्रश्न 7: यदि ∆ABC ~ ∆DEF इस प्रकार हैं कि ∠A = 47°, ∠E = 83°, तो ∠C का मान क्या है?
(a) 50°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 83°

प्रश्न 8: भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि उनकी संगत भुजाएँ ______ हों और संगत कोण ______ हों।
(a) बराबर, समानुपाती
(b) समानुपाती, बराबर
(c) बराबर, बराबर
(d) समानुपाती, समानुपाती

प्रश्न 9: ∆PQR में, भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि PS/SQ = PT/TR और ∠PST = ∠PRQ है। सिद्ध कीजिए कि ∆PQR एक ______ त्रिभुज है।
(a) समबाहु
(b) समद्विबाहु
(c) विषमबाहु
(d) समकोण

प्रश्न 10: ∆ABC में, यदि रेखा DE भुजा AB को D पर और AC को E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि AD/DB = AE/EC, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
(a) DE ⊥ BC
(b) DE || BC
(c) DE = 1/2 BC
(d) DE, BC को समद्विभाजित करती है

उत्तरमाला (MCQs):

  1. (a) 5 सेमी [ (Area(ABC)/Area(PQR)) = (BC/QR)² => 16/25 = (4/QR)² => 4/5 = 4/QR => QR = 5 ]
  2. (a) 2.4 सेमी [ थेल्स प्रमेय से, AD/DB = AE/EC => 2/3 = 1.6/EC => EC = (1.6 * 3) / 2 = 2.4 ]
  3. (d) 16:81 [ क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)² = (4/9)² = 16/81 ]
  4. (c) 4:1 [ मान लीजिए BC = 2x, तो BD = x. समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ ABC के लिए 2x और BDE के लिए x होंगी। दोनों समरूप हैं। Area(ABC)/Area(BDE) = (BC/BD)² = (2x/x)² = 4/1 ]
  5. (b) 10 मीटर [ पाइथागोरस प्रमेय से, सीढ़ी² = दूरी² + ऊँचाई² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. सीढ़ी = √100 = 10 ]
  6. (c) 90° [ जाँच करें कि क्या AC² = AB² + BC² है? (12)² = (6√3)² + (6)². 144 = (36*3) + 36 = 108 + 36 = 144. हाँ, यह सत्य है। अतः पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से ∠B = 90° ]
  7. (a) 50° [ ∆ABC ~ ∆DEF => ∠A = ∠D = 47°, ∠B = ∠E = 83°, ∠C = ∠F. ∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180° => 47° + 83° + ∠C = 180° => 130° + ∠C = 180° => ∠C = 50° ]
  8. (b) समानुपाती, बराबर [ परिभाषा के अनुसार ]
  9. (b) समद्विबाहु [ दिया है PS/SQ = PT/TR. थेल्स प्रमेय के विलोम से, ST || QR. यदि ST || QR, तो संगत कोण बराबर होंगे: ∠PST = ∠PQR. परन्तु दिया है ∠PST = ∠PRQ. अतः ∠PQR = ∠PRQ. जिस त्रिभुज के दो कोण बराबर हों, वह समद्विबाहु होता है (PQ = PR) ]
  10. (b) DE || BC [ यह थेल्स प्रमेय (BPT) का विलोम है। ]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छे से अभ्यास करें। यदि कोई शंका हो तो अवश्य पूछें। शुभकामनाएँ!

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