Class 10 Mathematics Notes Chapter 7 (Chapter 7) – Examplar Problems (Hindi) Book

नमस्ते विद्यार्थियों!

आज हम कक्षा 10 के गणित विषय के NCERT Exemplar (Hindi) पुस्तक से अध्याय 7, 'निर्देशांक ज्यामिति' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है। चलिए, इसके मुख्य बिंदुओं और सूत्रों को विस्तार से समझते हैं।

अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

भूमिका:
निर्देशांक ज्यामिति, ज्यामिति की वह शाखा है जिसमें समतल पर बिंदुओं की स्थिति को संख्याओं के युग्म, जिन्हें निर्देशांक कहा जाता है, की सहायता से दर्शाया जाता है। फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने देकार्त के नाम पर इसे कार्तीय निर्देशांक पद्धति (Cartesian Coordinate System) भी कहते हैं। इसमें एक क्षैतिज रेखा (x-अक्ष) और एक ऊर्ध्वाधर रेखा (y-अक्ष) होती है जो मूल बिंदु (Origin) (0, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

1. दूरी सूत्र (Distance Formula):
दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए इस सूत्र का प्रयोग किया जाता है।

• सूत्र:
  PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

• मूल बिंदु से दूरी: किसी बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु O(0, 0) से दूरी:
  OP = √[(x - 0)² + (y - 0)²] = √[x² + y²]

• अनुप्रयोग:

  • दो बिंदुओं के बीच की सटीक दूरी ज्ञात करना।
  • यह निर्धारित करना कि दिए गए तीन बिंदु एक समद्विबाहु, समबाहु या विषमबाहु त्रिभुज बनाते हैं (भुजाओं की लंबाई ज्ञात करके)।
  • यह निर्धारित करना कि दिए गए चार बिंदु एक वर्ग, आयत, समचतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज बनाते हैं (भुजाओं की लंबाई और विकर्णों की लंबाई ज्ञात करके)।
  • तीन बिंदुओं के संरेखीय (Collinear) होने की जाँच करना (यदि AB + BC = AC)।

उदाहरण: बिंदुओं A(2, 3) और B(4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: AB = √[(4 - 2)² + (1 - 3)²] = √[(2)² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2 इकाई।

2. विभाजन सूत्र (Section Formula):
यह सूत्र उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जाता है जो दो दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करता है।

• आंतरिक विभाजन (Internal Division): यदि बिंदु P(x, y), बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m₁ : m₂ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक होंगे:
  x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂)
  y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)

• मध्य-बिंदु सूत्र (Mid-point Formula): यह विभाजन सूत्र का एक विशेष मामला है जहाँ अनुपात 1:1 होता है। रेखाखंड AB के मध्य-बिंदु M के निर्देशांक:
  x = (x₁ + x₂)/2
  y = (y₁ + y₂)/2

• अनुप्रयोग:

  • किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।
  • वह अनुपात ज्ञात करना जिसमें कोई बिंदु (या अक्ष) किसी रेखाखंड को विभाजित करता है।
  • त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) के निर्देशांक ज्ञात करना (केंद्रक माध्यिकाओं को 2:1 में विभाजित करता है)। यदि त्रिभुज के शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) हैं, तो केंद्रक के निर्देशांक:
    [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3]
  • समांतर चतुर्भुज से संबंधित समस्याओं को हल करना (विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)।

उदाहरण: उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A(4, -3) और B(8, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
हल: यहाँ x₁=4, y₁=-3, x₂=8, y₂=5, m₁=3, m₂=1
x = (3×8 + 1×4)/(3+1) = (24+4)/4 = 28/4 = 7
y = (3×5 + 1×(-3))/(3+1) = (15-3)/4 = 12/4 = 3
अतः, बिंदु के निर्देशांक (7, 3) हैं।

3. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle):
यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) दिए गए हों, तो उसका क्षेत्रफल निम्न सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:

• सूत्र:
  त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
  (यहाँ '| |' निरपेक्ष मान (absolute value) दर्शाता है, क्योंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता।)

• संरेखीयता की शर्त (Condition for Collinearity): तीन बिंदु A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), और C(x₃, y₃) संरेखीय होंगे यदि उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो।
  अर्थात्, x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) = 0

• अनुप्रयोग:

  • दिए गए शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
  • तीन बिंदुओं की संरेखीयता की जाँच करना।
  • चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना (उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करके)।

उदाहरण: उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(2, 3), B(-1, 0), और C(2, -4) हैं।
हल: क्षेत्रफल = ½ |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|
= ½ |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|
= ½ |8 + 7 + 6|
= ½ |21|
= 21/2 वर्ग इकाई।

मुख्य बातें:

• दूरी सूत्र: √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
• विभाजन सूत्र: [(m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)]
• मध्य-बिंदु सूत्र: [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]
• त्रिभुज का क्षेत्रफल: ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
• संरेखीयता की शर्त: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

इन सूत्रों और अवधारणाओं को अच्छी तरह समझ लें और विभिन्न प्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: बिंदु P(-6, 8) की मूल बिंदु से दूरी है:
(A) 8
(B) 2√7
(C) 10
(D) 6

प्रश्न 2: बिंदुओं A(0, 6) तथा B(0, -2) के बीच की दूरी है:
(A) 6
(B) 8
(C) 4
(D) 2

प्रश्न 3: बिंदुओं (5, 0) और (-12, 0) के बीच की दूरी है:
(A) 5
(B) 7
(C) 13
(D) 17

प्रश्न 4: बिंदु P जो बिंदुओं A(2, -5) तथा B(5, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, स्थित है:
(A) प्रथम चतुर्थांश में
(B) द्वितीय चतुर्थांश में
(C) तृतीय चतुर्थांश में
(D) चतुर्थ चतुर्थांश में

प्रश्न 5: बिंदुओं A(7, -6) और B(3, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है:
(A) (5, -1)
(B) (5, 1)
(C) (-5, 1)
(D) (-5, -1)

प्रश्न 6: यदि बिंदुओं (2, -2) और (-1, x) के बीच की दूरी 5 है, तो x का एक मान है:
(A) -2
(B) 2
(C) -1
(D) 1

प्रश्न 7: त्रिभुज जिसके शीर्ष (5, 0), (8, 0) और (8, 4) हैं, का क्षेत्रफल है:
(A) 20 वर्ग इकाई
(B) 12 वर्ग इकाई
(C) 6 वर्ग इकाई
(D) 0 वर्ग इकाई

प्रश्न 8: यदि बिंदु P(2, 1), बिंदुओं A(4, 2) तथा B(8, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित है, तो:
(A) AP = 1/3 AB
(B) AP = PB
(C) PB = 1/3 AB
(D) AP = 1/2 AB

प्रश्न 9: k का मान जिसके लिए बिंदु (7, -2), (5, 1), (3, k) संरेखीय हैं, है:
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) -4

प्रश्न 10: बिंदुओं A(-2, 8) तथा B(-6, -4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है:
(A) (-4, -6)
(B) (2, 6)
(C) (-4, 2)
(D) (4, 2)

उत्तरमाला (MCQs):

1. (C) 10 [ दूरी = √((-6)² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10 ]
2. (B) 8 [ दूरी = √((0-0)² + (-2-6)²) = √(0 + (-8)²) = √64 = 8 ]
3. (D) 17 [ दूरी = √((-12-5)² + (0-0)²) = √((-17)² + 0) = √289 = 17 ]
4. (D) चतुर्थ चतुर्थांश में [ x = (25 + 32)/(2+3) = 16/5; y = (22 + 3(-5))/(2+3) = (4-15)/5 = -11/5. बिंदु (16/5, -11/5) चतुर्थ चतुर्थांश में है ]
5. (A) (5, -1) [ मध्य बिंदु = ((7+3)/2, (-6+4)/2) = (10/2, -2/2) = (5, -1) ]
6. (B) 2 [ (दूरी)² = 5² = (-1-2)² + (x-(-2))² => 25 = (-3)² + (x+2)² => 25 = 9 + (x+2)² => (x+2)² = 16 => x+2 = ±4. यदि x+2=4 तो x=2; यदि x+2=-4 तो x=-6. विकल्पों में 2 है। ]
7. (C) 6 वर्ग इकाई [ क्षेत्रफल = ½ |5(0-4) + 8(4-0) + 8(0-0)| = ½ |-20 + 32 + 0| = ½ |12| = 6 ]
8. (D) AP = 1/2 AB [ पहले देखें कि क्या P, A, B संरेखीय हैं। A(4,2), P(2,1), B(8,4). AP = √((2-4)²+(1-2)²) = √((-2)²+(-1)²) = √5. PB = √((8-2)²+(4-1)²) = √(6²+3²) = √(36+9) = √45 = 3√5. AB = √((8-4)²+(4-2)²) = √(4²+2²) = √(16+4) = √20 = 2√5. यहाँ AP + PB = √5 + 3√5 = 4√5 ≠ AB. अतः, P रेखाखंड AB पर स्थित नहीं है। प्रश्न में त्रुटि प्रतीत होती है। यदि P(6,3) होता, तो AP=√((6-4)²+(3-2)²)=√5, PB=√((8-6)²+(4-3)²)=√5, AB=2√5. तब P मध्य बिंदु होता और AP=PB=1/2 AB. दिए गए प्रश्न (P(2,1)) के अनुसार कोई विकल्प सही नहीं है। लेकिन यदि प्रश्न यह पूछना चाहता है कि P(2,1) रेखा AB को किस अनुपात में विभाजित करता है (यदि संरेखीय हों), तो भी यह संरेखीय नहीं हैं। संभवतः प्रश्न में बिंदु P के निर्देशांक गलत दिए गए हैं। यदि हम मानते हैं कि P मध्य बिंदु है, तो D सही होगा। मान लेते हैं कि प्रश्न में P को मध्य बिंदु होना चाहिए था या कोई और बिंदु जो रेखाखंड पर हो। यदि P(6,3) होता तो AP = PB = √5 और AB = 2√5, तब AP = 1/2 AB होता। दिए गए विकल्पों के आधार पर, सबसे संभावित इरादा मध्य बिंदु का था, लेकिन P के निर्देशांक गलत हैं। यदि P(2,1) को A और B के बीच होना है, तो यह संभव नहीं है। हम विकल्प (D) को इस धारणा के साथ चुनते हैं कि P मध्य बिंदु होना चाहिए था, हालांकि दिए गए निर्देशांक गलत हैं। सरकारी परीक्षा के दृष्टिकोण से, ऐसे प्रश्न को चुनौती दी जा सकती है या छोड़ दिया जा सकता है। ]
9. (A) 4 [ संरेखीयता के लिए क्षेत्रफल = 0 => 7(1-k) + 5(k-(-2)) + 3(-2-1) = 0 => 7-7k + 5k+10 + 3(-3) = 0 => 7-7k+5k+10-9 = 0 => -2k + 8 = 0 => 2k = 8 => k = 4 ]
10. (C) (-4, 2) [ मध्य बिंदु = ((-2+(-6))/2, (8+(-4))/2) = (-8/2, 4/2) = (-4, 2) ]

इन नोट्स और प्रश्नों से आपको परीक्षा की तैयारी में सहायता मिलेगी। शुभकामनाएँ!