Class 10 Mathematics Notes Chapter 9 (Chapter 9) – Examplar Problems (Hindi) Book

नमस्ते विद्यार्थियों!

आज हम कक्षा 10 के गणित एक्सेम्पलर के अध्याय 9 - 'त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग' (ऊँचाई और दूरी) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है क्योंकि इसमें त्रिकोणमिति के व्यावहारिक उपयोगों को समझाया गया है। आइए, इसके मुख्य बिंदुओं को विस्तार से समझते हैं:

अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (ऊँचाई और दूरी)

1. परिचय:
इस अध्याय में, हम सीखेंगे कि त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin, cos, tan) का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं, जैसे कि मीनारों, पेड़ों, इमारतों की ऊँचाई ज्ञात करना या नदियों, सड़कों की चौड़ाई ज्ञात करना, कैसे किया जा सकता है। इसके लिए हमें कुछ विशेष शब्दों और अवधारणाओं को समझना होगा।

2. महत्वपूर्ण परिभाषाएँ:

• दृष्टि रेखा (Line of Sight): प्रेक्षक (देखने वाले) की आँख से देखी जाने वाली वस्तु के बिंदु को मिलाने वाली रेखा दृष्टि रेखा कहलाती है।
  • चित्र: आँख ------> वस्तु
• क्षैतिज स्तर (Horizontal Level): प्रेक्षक की आँख से होकर जाने वाली एक सीधी क्षैतिज (जमीन के समानांतर) रेखा क्षैतिज स्तर कहलाती है।
• उन्नयन कोण (Angle of Elevation): जब कोई वस्तु प्रेक्षक की आँख के क्षैतिज स्तर से ऊपर होती है, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बने कोण को उन्नयन कोण कहते हैं। वस्तु को देखने के लिए हमें अपना सिर ऊपर उठाना पड़ता है।
  • चित्र:

       वस्तु *
          /|
         / |
    दृष्टि /  | ऊँचाई
      रेखा/   |
       /    |
      /_____|
    आँख----- क्षैतिज स्तर
         कोण (उन्नयन)
    

• अवनमन कोण (Angle of Depression): जब कोई वस्तु प्रेक्षक की आँख के क्षैतिज स्तर से नीचे होती है, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बने कोण को अवनमन कोण कहते हैं। वस्तु को देखने के लिए हमें अपना सिर नीचे झुकाना पड़ता है।
  • महत्वपूर्ण: अवनमन कोण, क्षैतिज स्तर और दृष्टि रेखा के बीच बनता है। ज्यामिति के अनुसार, यह कोण वस्तु के स्थान पर प्रेक्षक को देखने पर बनने वाले उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर अंतः कोण)।
  • चित्र:

    आँख----- क्षैतिज स्तर ----------
         \ कोण (अवनमन)
      दृष्टि\
       रेखा \
            \
             \ |
              \|
               * वस्तु
    

    ध्यान दें: गणना करते समय, हम अक्सर अवनमन कोण के बराबर वाले उन्नयन कोण (जो त्रिभुज के अंदर बनता है) का उपयोग करते हैं।

3. त्रिकोणमितीय अनुपातों का प्रयोग:
ऊँचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने के लिए हम समकोण त्रिभुजों में त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हैं:

• sin θ = लम्ब / कर्ण (Opposite / Hypotenuse)

• cos θ = आधार / कर्ण (Adjacent / Hypotenuse)

• tan θ = लम्ब / आधार (Opposite / Adjacent)

• कब कौन सा अनुपात प्रयोग करें?

  • जब लम्ब और आधार दिए हों या ज्ञात करने हों, तो tan θ का प्रयोग करें। (सबसे अधिक प्रयुक्त)
  • जब लम्ब और कर्ण दिए हों या ज्ञात करने हों, तो sin θ का प्रयोग करें।
  • जब आधार और कर्ण दिए हों या ज्ञात करने हों, तो cos θ का प्रयोग करें।

• मानक कोणों के मान: आपको 30°, 45°, और 60° के त्रिकोणमितीय मान याद होने चाहिए:

  कोण (θ)	sin θ	cos θ	tan θ
  30°	1/2	√3/2	1/√3
  45°	1/√2	1/√2	1
  60°	√3/2	1/2	√3

4. समस्या हल करने के चरण:

1. प्रश्न को ध्यान से पढ़ें: समझें कि क्या दिया गया है और क्या ज्ञात करना है।
2. आरेख बनाएँ: प्रश्न में दी गई जानकारी के आधार पर एक स्पष्ट समकोण त्रिभुज (या एकाधिक त्रिभुज) का चित्र बनाएँ। मीनार, पेड़, भवन आदि को ऊर्ध्वाधर रेखाओं से और जमीन को क्षैतिज रेखा से दर्शाएँ।
3. कोणों और भुजाओं को अंकित करें: दिए गए कोणों (उन्नयन/अवनमन) और भुजाओं की लंबाइयों को चित्र में सही स्थान पर अंकित करें। अज्ञात भुजा या कोण को भी चिन्हित करें।
4. सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनें: ज्ञात और अज्ञात राशियों के बीच संबंध स्थापित करने वाले उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan) का चयन करें।
5. समीकरण बनाएँ और हल करें: चुने गए अनुपात का उपयोग करके समीकरण लिखें और अज्ञात राशि का मान ज्ञात करें।
6. उत्तर की जाँच करें: सुनिश्चित करें कि आपका उत्तर व्यावहारिक है और प्रश्न में पूछी गई इकाई में है।

5. सामान्य प्रकार की समस्याएँ:

• किसी मीनार/पेड़/भवन की ऊँचाई ज्ञात करना जब आधार से दूरी और उन्नयन कोण दिया हो।
• किसी नदी/सड़क की चौड़ाई ज्ञात करना।
• दो अलग-अलग बिंदुओं से एक ही वस्तु के उन्नयन/अवनमन कोण दिए होने पर ऊँचाई या दूरी ज्ञात करना।
• एक पहाड़ी या मीनार पर खड़े होकर नीचे दो वस्तुओं के अवनमन कोण दिए होने पर उनके बीच की दूरी ज्ञात करना।

6. महत्वपूर्ण सुझाव:

• चित्र बनाना समस्या हल करने का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। एक सही चित्र आपको सही त्रिकोणमितीय संबंध चुनने में मदद करता है।
• अवनमन कोण को सावधानी से अंकित करें। यह हमेशा क्षैतिज स्तर के साथ बनता है। गणना के लिए, अक्सर इसके बराबर एकांतर कोण (त्रिभुज के अंदर) का उपयोग करना आसान होता है।
• यदि आवश्यक हो तो √2 ≈ 1.414 और √3 ≈ 1.732 का प्रयोग करें।
• एक्सेम्पलर पुस्तक के हल किए गए उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों को अच्छी तरह से हल करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: यदि सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, तो h मीटर ऊँचे एक खंभे की छाया की लंबाई (मीटर में) होगी:
(a) h/√3
(b) h√3
(c) h/2
(d) √3/h

प्रश्न 2: जमीन पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद (आधार) से 30 मीटर दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई है:
(a) 30 मीटर
(b) 10√3 मीटर
(c) 20√3 मीटर
(d) 10 मीटर

प्रश्न 3: एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। पतंग से जुड़ी डोरी अस्थायी रूप से जमीन पर एक बिंदु से बंधी है। जमीन के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानते हुए कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई है:
(a) 40√3 मीटर
(b) 60√3 मीटर
(c) 40 मीटर
(d) 120 मीटर

प्रश्न 4: 1.5 मीटर लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मीटर दूर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई है:
(a) 28.5 मीटर
(b) 30 मीटर
(c) 27 मीटर
(d) 45 मीटर

प्रश्न 5: एक नदी के पुल के एक बिंदु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3 मीटर की ऊँचाई पर हो, तो नदी की चौड़ाई है:
(a) 3(√3 - 1) मीटर
(b) 3(√3 + 1) मीटर
(c) 3√3 मीटर
(d) 3 मीटर

प्रश्न 6: एक सीढ़ी दीवार के सहारे इस प्रकार खड़ी है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 मीटर दूर है और इसका ऊपरी सिरा जमीन से 6 मीटर ऊँची खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण (θ) किससे दिया जाएगा?
(a) tan θ = 6/2.5
(b) cos θ = 2.5/6
(c) sin θ = 2.5/6
(d) cot θ = 6/2.5

प्रश्न 7: यदि किसी मीनार की ऊँचाई और उसकी छाया की लंबाई का अनुपात √3 : 1 है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 90°

प्रश्न 8: क्षैतिज तल पर खड़े एक टॉवर के शिखर का, टॉवर के पाद से 100 मीटर दूर स्थित बिंदु से उन्नयन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई है:
(a) 100√3 मीटर
(b) 100/√3 मीटर
(c) 50√3 मीटर
(d) 200/√3 मीटर

प्रश्न 9: आँख से क्षैतिज स्तर से नीचे स्थित वस्तु को देखने पर दृष्टि रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बने कोण को कहते हैं:
(a) उन्नयन कोण
(b) अवनमन कोण
(c) समकोण
(d) ऋजु कोण

प्रश्न 10: एक मीनार के आधार से और एक ही सीधी रेखा में इससे 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई है:
(a) 4 मीटर
(b) 6 मीटर
(c) 9 मीटर
(d) 13 मीटर

उत्तरमाला (MCQs):

1. (a)
2. (b)
3. (a)
4. (b)
5. (b)
6. (a)
7. (c)
8. (b)
9. (b)
10. (b)

इन नोट्स का अच्छी तरह से अध्ययन करें और दिए गए प्रश्नों का अभ्यास करें। यदि कोई शंका हो तो अवश्य पूछें। शुभकामनाएँ!