Class 10 Mathematics Notes Chapter 9 (त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 10 गणित के अध्याय 9 - 'त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसमें त्रिकोणमिति के व्यावहारिक उपयोग, विशेषकर ऊँचाई और दूरी से संबंधित समस्याओं को हल करना सिखाया जाता है।

अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

भूमिका:
पिछले अध्याय में हमने त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin, cos, tan, cosec, sec, cot) के बारे में पढ़ा। इस अध्याय में, हम सीखेंगे कि इन अनुपातों का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं, जैसे कि मीनार की ऊँचाई, नदी की चौड़ाई, किसी वस्तु की दूरी आदि ज्ञात करने में कैसे किया जा सकता है।

मुख्य शब्दावली (Key Terms):

1. दृष्टि रेखा (Line of Sight): प्रेक्षक (देखने वाले) की आँख से प्रेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु के बिंदु को मिलाने वाली रेखा दृष्टि रेखा कहलाती है।

2. क्षितिज स्तर (Horizontal Level): प्रेक्षक की आँख से होकर जाने वाली सीधी क्षैतिज रेखा क्षितिज स्तर कहलाती है।

3. उन्नयन कोण (Angle of Elevation): यदि कोई वस्तु क्षितिज स्तर से ऊपर स्थित हो, तो दृष्टि रेखा और क्षितिज स्तर के बीच बने कोण को उन्नयन कोण कहते हैं। यह कोण तब बनता है जब हमें किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर ऊपर उठाना पड़ता है।

   • [Diagram: Observer looking up at an object. Horizontal line from eye, line of sight going upwards to the object. Angle between them marked as Angle of Elevation.]

4. अवनमन कोण (Angle of Depression): यदि कोई वस्तु क्षितिज स्तर से नीचे स्थित हो, तो दृष्टि रेखा और क्षितिज स्तर के बीच बने कोण को अवनमन कोण कहते हैं। यह कोण तब बनता है जब हमें किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर नीचे झुकाना पड़ता है।

   • [Diagram: Observer looking down at an object. Horizontal line from eye, line of sight going downwards to the object. Angle between them marked as Angle of Depression.]
   • महत्वपूर्ण: अवनमन कोण, क्षैतिज रेखा के साथ ऊपर बनता है, लेकिन ज्यामिति के अनुसार (एकांतर अंतः कोण), यह प्रेक्षक के स्थान पर बने उन्नयन कोण के बराबर होता है यदि वस्तु प्रेक्षक को देख रही हो।

त्रिकोणमितीय अनुपातों का प्रयोग (Use of Trigonometric Ratios):

इस अध्याय की समस्याओं को हल करने के लिए हम मुख्यतः समकोण त्रिभुजों का उपयोग करते हैं और निम्नलिखित त्रिकोणमितीय अनुपातों का प्रयोग करते हैं (विशेषकर tan, sin, cos):

• sin θ = लम्ब / कर्ण (Perpendicular / Hypotenuse)
• cos θ = आधार / कर्ण (Base / Hypotenuse)
• tan θ = लम्ब / आधार (Perpendicular / Base)

यहाँ, θ वह कोण है (उन्नयन या अवनमन कोण) जिसका उपयोग हम गणना के लिए कर रहे हैं। लम्ब (Perpendicular) कोण के सम्मुख भुजा होती है, आधार (Base) कोण की संलग्न भुजा होती है, और कर्ण (Hypotenuse) समकोण के सम्मुख सबसे लम्बी भुजा होती है।

मानक कोणों के मान (Values for Standard Angles):
इन समस्याओं में अक्सर 30°, 45°, और 60° के कोणों का उपयोग होता है। इनके tan मान याद रखना बहुत उपयोगी है:

• tan 30° = 1/√3
• tan 45° = 1
• tan 60° = √3

इसी प्रकार sin और cos के मान भी आवश्यकतानुसार प्रयोग किए जाते हैं:

• sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2
• sin 45° = 1/√2, cos 45° = 1/√2
• sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2

समस्या-समाधान के चरण (Steps for Problem Solving):

1. प्रश्न को ध्यान से पढ़ें: समझें कि क्या जानकारी दी गई है और क्या ज्ञात करना है।
2. आरेख बनाएँ: दी गई जानकारी के आधार पर एक सरल और स्पष्ट रेखाचित्र (समकोण त्रिभुज या संबंधित ज्यामितीय आकृति) बनाएँ। बिंदुओं (प्रेक्षक, वस्तु, आदि) को नामांकित करें और ज्ञात दूरियाँ व कोण अंकित करें।
3. समकोण त्रिभुज पहचानें: आरेख में समकोण त्रिभुज की पहचान करें जिसका उपयोग गणना के लिए किया जाएगा।
4. सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनें: ज्ञात भुजा/कोण और अज्ञात भुजा के बीच संबंध स्थापित करने वाले उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, या tan) का चयन करें।
   • अधिकतर ऊँचाई (लम्ब) और दूरी (आधार) से संबंधित समस्याओं में tan का प्रयोग होता है।
   • यदि कर्ण (जैसे सीढ़ी की लंबाई, तार की लंबाई) शामिल हो, तो sin या cos का प्रयोग हो सकता है।
5. समीकरण बनाएँ और हल करें: चयनित अनुपात का उपयोग करके समीकरण लिखें और अज्ञात राशि (ऊँचाई, दूरी आदि) का मान ज्ञात करें।
6. उत्तर लिखें: प्राप्त मान को उचित इकाई (मीटर, किलोमीटर आदि) के साथ लिखें।

उदाहरण स्थितियाँ (Example Situations):

• किसी मीनार की ऊँचाई ज्ञात करना, जब उसके आधार से दूरी और शिखर का उन्नयन कोण ज्ञात हो।
• किसी नदी की चौड़ाई ज्ञात करना, जब किनारे के एक बिंदु से दूसरे किनारे पर स्थित वस्तु का अवनमन कोण ज्ञात हो।
• किसी पेड़ के टूटे हुए भाग की ऊँचाई ज्ञात करना।
• दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात करना, जब लाइटहाउस से उनके अवनमन कोण ज्ञात हों।
• किसी बहुमंजिला भवन से किसी अन्य भवन के शिखर और पाद के उन्नयन और अवनमन कोणों का उपयोग करके ऊँचाई या दूरी ज्ञात करना।

महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points):

• आरेख बनाना समस्या को हल करने का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है।
• उन्नयन और अवनमन कोणों को सही ढंग से पहचानना और आरेख में अंकित करना आवश्यक है।
• कोण हमेशा क्षैतिज रेखा के साथ बनता है।
• त्रिकोणमितीय अनुपातों और मानक कोणों के मानों को याद रखें।
• गणना करते समय, यदि आवश्यक हो तो हर का परिमेयकरण (rationalization) करें (जैसे 1/√3 को √3/3 लिखना)।

यह अध्याय अभ्यास पर बहुत अधिक निर्भर करता है। विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने से अवधारणाएँ स्पष्ट होती हैं।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs for Practice):

प्रश्न 1: जब प्रेक्षक किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर ऊपर उठाता है, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बने कोण को क्या कहते हैं?
(a) अवनमन कोण
(b) उन्नयन कोण
(c) समकोण
(d) ऋजु कोण
उत्तर: (b) उन्नयन कोण

प्रश्न 2: एक मीनार के आधार से 20 मीटर दूर स्थित बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई क्या है?
(a) 20 मीटर
(b) 20√3 मीटर
(c) 20/√3 मीटर
(d) 60 मीटर
उत्तर: (b) 20√3 मीटर (स्पष्टीकरण: tan 60° = ऊँचाई / आधार => √3 = ऊँचाई / 20 => ऊँचाई = 20√3)

प्रश्न 3: यदि सूर्य का उन्नयन कोण 45° है, तो 'h' मीटर ऊँचे एक खंभे की छाया की लंबाई क्या होगी?
(a) h मीटर
(b) h/√2 मीटर
(c) h√2 मीटर
(d) h/2 मीटर
उत्तर: (a) h मीटर (स्पष्टीकरण: tan 45° = लम्ब / आधार => 1 = h / छाया => छाया = h)

प्रश्न 4: 50 मीटर ऊँची एक पहाड़ी के शिखर से देखने पर एक नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव की पहाड़ी के आधार से दूरी कितनी है?
(a) 50 मीटर
(b) 50/√3 मीटर
(c) 50√3 मीटर
(d) 100 मीटर
उत्तर: (c) 50√3 मीटर (स्पष्टीकरण: tan 30° = पहाड़ी की ऊँचाई / नाव की दूरी => 1/√3 = 50 / दूरी => दूरी = 50√3)

प्रश्न 5: एक सीढ़ी दीवार के सहारे इस प्रकार खड़ी है कि इसका निचला सिरा दीवार से 5 मीटर दूर है और यह जमीन से 60° का कोण बनाती है। सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(a) 10 मीटर
(b) 5√3 मीटर
(c) 10/√3 मीटर
(d) 5 मीटर
उत्तर: (a) 10 मीटर (स्पष्टीकरण: cos 60° = आधार / कर्ण => 1/2 = 5 / सीढ़ी की लम्बाई => सीढ़ी की लम्बाई = 10)

प्रश्न 6: जमीन पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई है:
(a) 30 मीटर
(b) 10√3 मीटर
(c) 30√3 मीटर
(d) 10 मीटर
उत्तर: (b) 10√3 मीटर (स्पष्टीकरण: tan 30° = ऊँचाई / 30 => 1/√3 = ऊँचाई / 30 => ऊँचाई = 30/√3 = 10√3)

प्रश्न 7: किसी मीनार की ऊँचाई और उसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1:√3 है। सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 90°
उत्तर: (a) 30° (स्पष्टीकरण: tan θ = ऊँचाई / छाया = 1/√3 => θ = 30°)

प्रश्न 8: एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। पतंग से जुड़ी डोरी अस्थायी रूप से जमीन पर एक बिंदु से बंधी है। डोरी का जमीन के साथ झुकाव 60° है। यह मानते हुए कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई क्या है?
(a) 40√3 मीटर
(b) 60√3 मीटर
(c) 40 मीटर
(d) 120 मीटर
उत्तर: (a) 40√3 मीटर (स्पष्टीकरण: sin 60° = ऊँचाई / डोरी की लंबाई => √3/2 = 60 / लंबाई => लंबाई = 120/√3 = 40√3)

प्रश्न 9: जब प्रेक्षक किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर नीचे झुकाता है, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बने कोण को क्या कहते हैं?
(a) अवनमन कोण
(b) उन्नयन कोण
(c) न्यून कोण
(d) अधिक कोण
उत्तर: (a) अवनमन कोण

प्रश्न 10: एक टावर के शिखर से जमीन पर एक बिंदु P का अवनमन कोण 30° है। यदि बिंदु P की टावर के आधार से दूरी 90 मीटर है, तो टावर की ऊँचाई क्या है?
(a) 90√3 मीटर
(b) 30√3 मीटर
(c) 90 मीटर
(d) 30 मीटर
उत्तर: (b) 30√3 मीटर (स्पष्टीकरण: उन्नयन कोण (P से टावर के शिखर का) = अवनमन कोण = 30°. tan 30° = ऊँचाई / दूरी => 1/√3 = ऊँचाई / 90 => ऊँचाई = 90/√3 = 30√3)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!