Class 11 Mathematics Notes Chapter 1 (Chapter 1) – Examplar Problems (Hindi) Book

नमस्ते विद्यार्थियों!

आज हम कक्षा 11 के गणित के पहले अध्याय 'समुच्चय' (Sets) का अध्ययन करेंगे, जो विभिन्न सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। यह अध्याय गणित की नींव रखता है और इससे जुड़े प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। चलिए, इसके मुख्य बिंदुओं को विस्तार से समझते हैं।

अध्याय 1: समुच्चय (Sets) - विस्तृत नोट्स

1. समुच्चय की परिभाषा (Definition of a Set):

   • वस्तुओं के सुपरिभाषित (well-defined) संग्रह को समुच्चय कहते हैं।
   • 'सुपरिभाषित' का अर्थ है कि हम निश्चित रूप से यह बता सकें कि कोई दी गई वस्तु संग्रह में है या नहीं।
   • उदाहरण: अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों का समुच्चय {a, e, i, o, u}, प्रथम पाँच प्राकृत संख्याओं का समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5}।
   • समुच्चय को प्रायः अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों A, B, C, ... से तथा उसके अवयवों (elements/members) को छोटे अक्षरों a, b, c, ... से निरूपित करते हैं।
   • यदि 'a' समुच्चय A का एक अवयव है, तो हम लिखते हैं a ∈ A (a belongs to A)। यदि 'b' समुच्चय A का अवयव नहीं है, तो हम लिखते हैं b ∉ A (b does not belong to A)।

2. समुच्चय निरूपण की विधियाँ (Methods of Representing a Set):

   • (i) रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (Roster or Tabular Form): इस विधि में, समुच्चय के सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया जाता है, अवयवों को अल्पविराम (comma) द्वारा अलग किया जाता है तथा पूरे संग्रह को मझले कोष्ठक { } के भीतर लिखते हैं।
     • उदाहरण: A = {2, 4, 6, 8}
     • नोट: रोस्टर रूप में अवयवों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है और किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है। {1, 2, 3} और {3, 1, 2} समान समुच्चय हैं। {s, c, h, o, l} शब्द 'SCHOOL' के अक्षरों का समुच्चय है।
   • (ii) समुच्चय निर्माण रूप (Set-builder Form): इस विधि में, समुच्चय के सभी अवयवों में एक सर्वनिष्ठ (common) गुणधर्म होता है जो समुच्चय से बाहर के किसी अवयव में नहीं होता। हम एक चर (जैसे x) का प्रयोग करके उस गुणधर्म का वर्णन करते हैं।
     • उदाहरण: V = {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}। इसे पढ़ते हैं: "V उन सभी x का समुच्चय है, जहाँ x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है"।
     • A = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है और x < 10} (यह रोस्टर रूप {2, 4, 6, 8} के समतुल्य है)।

3. समुच्चय के प्रकार (Types of Sets):

   • (i) रिक्त समुच्चय (Empty Set or Null Set): जिस समुच्चय में एक भी अवयव नहीं होता है, उसे रिक्त समुच्चय कहते हैं। इसे φ (फाई) या { } से निरूपित करते हैं।
     • उदाहरण: {x : x एक सम अभाज्य संख्या है और x > 2} = φ।
   • (ii) एकल समुच्चय (Singleton Set): जिस समुच्चय में केवल एक अवयव होता है, उसे एकल समुच्चय कहते हैं।
     • उदाहरण: {0}, {φ}, {x : x भारत के वर्तमान प्रधानमंत्री हैं}।
   • (iii) परिमित समुच्चय (Finite Set): एक समुच्चय जो रिक्त है अथवा जिसके अवयवों की संख्या निश्चित होती है, परिमित समुच्चय कहलाता है।
     • उदाहरण: सप्ताह के दिनों का समुच्चय, {1, 2, 3, ..., 100}।
   • (iv) अपरिमित समुच्चय (Infinite Set): जिस समुच्चय में अवयवों की संख्या निश्चित नहीं होती (अनंत होती है), उसे अपरिमित समुच्चय कहते हैं।
     • उदाहरण: प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N = {1, 2, 3, ...}, पूर्णांकों का समुच्चय Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}।
   • (v) समान समुच्चय (Equal Sets): दो समुच्चय A और B समान कहलाते हैं, यदि उनमें तथ्यतः (exactly) वही अवयव हों। हम लिखते हैं A = B।
     • उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} और B = {3, 1, 2}, तो A = B।
     • यदि A = {x : x शब्द 'FOLLOW' का एक अक्षर है} = {F, O, L, W} और B = {y : y शब्द 'WOLF' का एक अक्षर है} = {W, O, L, F}, तो A = B।
   • (vi) तुल्य समुच्चय (Equivalent Sets): दो परिमित समुच्चय A और B तुल्य कहलाते हैं यदि उनके अवयवों की संख्या समान हो, अर्थात् n(A) = n(B)। समान समुच्चय हमेशा तुल्य होते हैं, परन्तु तुल्य समुच्चय का समान होना आवश्यक नहीं है।
     • उदाहरण: A = {1, 2, 3} और B = {a, b, c} तुल्य हैं क्योंकि n(A) = 3 और n(B) = 3, परन्तु A ≠ B।

4. उपसमुच्चय (Subset):

   • समुच्चय A का प्रत्येक अवयव यदि समुच्चय B का भी अवयव है, तो A, समुच्चय B का उपसमुच्चय कहलाता है। इसे A ⊆ B से निरूपित करते हैं।
   • यदि A ⊆ B और A ≠ B, तो A, समुच्चय B का उचित उपसमुच्चय (Proper Subset) कहलाता है और इसे A ⊂ B लिखते हैं।
   • यदि A ⊆ B, तो B, समुच्चय A का अधिसमुच्चय (Superset) कहलाता है और इसे B ⊇ A लिखते हैं।
   • प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है (A ⊆ A)।
   • रिक्त समुच्चय (φ) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है (φ ⊆ A)।
   • यदि किसी समुच्चय A में n अवयव हैं, अर्थात् n(A) = n, तो A के कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ होती है।
   • A के उचित उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ - 1 होती है।

5. घात समुच्चय (Power Set):

   • किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों के संग्रह (समुच्चय) को A का घात समुच्चय कहते हैं। इसे P(A) से निरूपित करते हैं।
   • P(A) का प्रत्येक अवयव स्वयं एक समुच्चय होता है।
   • उदाहरण: यदि A = {1, 2}, तो इसके उपसमुच्चय हैं: φ, {1}, {2}, {1, 2}। अतः, P(A) = {φ, {1}, {2}, {1, 2}}।
   • यदि n(A) = n, तो n(P(A)) = 2ⁿ।

6. सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set):

   • एक ऐसा निश्चित समुच्चय जिसके अंतर्गत विचाराधीन सभी समुच्चय उसके उपसमुच्चय होते हैं, सार्वत्रिक समुच्चय कहलाता है। इसे प्रायः U से निरूपित करते हैं।
   • सार्वत्रिक समुच्चय संदर्भ पर निर्भर करता है। जैसे, संख्या सिद्धांत में प्राकृत संख्याओं N या पूर्णांकों Z या वास्तविक संख्याओं R को संदर्भानुसार सार्वत्रिक समुच्चय लिया जा सकता है।

7. समुच्चयों पर संक्रियाएँ (Operations on Sets):

   • (i) समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets): दो समुच्चयों A और B का सम्मिलन (Union) उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो या तो A में हैं, या B में हैं, या दोनों में हैं। इसे A ∪ B से निरूपित करते हैं।
     • A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}
     • उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} और B = {3, 4, 5}, तो A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}।
   • (ii) समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of Sets): दो समुच्चयों A और B का सर्वनिष्ठ (Intersection) उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ (common) हैं। इसे A ∩ B से निरूपित करते हैं।
     • A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}
     • उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} और B = {3, 4, 5}, तो A ∩ B = {3}।
     • यदि A ∩ B = φ, तो A और B असंयुक्त समुच्चय (Disjoint Sets) कहलाते हैं।
   • (iii) समुच्चयों का अंतर (Difference of Sets): दो समुच्चयों A और B का अंतर (A – B) उन अवयवों का समुच्चय है जो A में हैं किन्तु B में नहीं हैं।
     • A – B = {x : x ∈ A और x ∉ B}
     • इसी प्रकार, B – A = {x : x ∈ B और x ∉ A}
     • उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 4, 5, 6}, तो A – B = {1, 2} और B – A = {5, 6}।
     • नोट: सामान्यतः A – B ≠ B – A।
   • (iv) समुच्चय का पूरक (Complement of a Set): मान लीजिए U सार्वत्रिक समुच्चय है और A, U का एक उपसमुच्चय है। तब A का पूरक (Complement), जिसे A' या Aᶜ से निरूपित करते हैं, U के उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो A में नहीं हैं।
     • A' = {x : x ∈ U और x ∉ A} = U – A
     • उदाहरण: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} और A = {2, 4, 6}, तो A' = {1, 3, 5}।

8. संक्रियाओं के गुणधर्म (Properties of Operations):

   • (a) सम्मिलन के नियम (Laws of Union):
     • A ∪ B = B ∪ A (क्रमविनिमेय नियम - Commutative Law)
     • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (सहचर्य नियम - Associative Law)
     • A ∪ φ = A (तत्समक नियम - Law of Identity Element, φ is identity)
     • A ∪ A = A (वर्गसम नियम - Idempotent Law)
     • U ∪ A = U (सार्वत्रिक समुच्चय का नियम - Law of U)
   • (b) सर्वनिष्ठ के नियम (Laws of Intersection):
     • A ∩ B = B ∩ A (क्रमविनिमेय नियम)
     • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (सहचर्य नियम)
     • A ∩ φ = φ (Law of φ)
     • A ∩ U = A (तत्समक नियम - Law of Identity Element, U is identity)
     • A ∩ A = A (वर्गसम नियम)
   • (c) बंटन नियम (Distributive Laws):
     • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (सर्वनिष्ठ का सम्मिलन पर वितरण)
     • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (सम्मिलन का सर्वनिष्ठ पर वितरण)
   • (d) पूरक नियम (Complement Laws):
     • A ∪ A' = U
     • A ∩ A' = φ
     • (A')' = A (द्विपूरक नियम - Law of Double Complementation)
     • φ' = U
     • U' = φ
   • (e) डी मॉर्गन के नियम (De Morgan's Laws):
     • (A ∪ B)' = A' ∩ B'
     • (A ∩ B)' = A' ∪ B'

9. परिमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या से संबंधित सूत्र (Formulas related to Number of Elements in Finite Sets):

   • यदि A और B परिमित समुच्चय हैं, तो:
     • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
     • यदि A और B असंयुक्त समुच्चय हैं (A ∩ B = φ), तो n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
     • n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B) = n(A ∪ B) – n(B)
     • n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B) = n(A ∪ B) – n(A)
     • n(A') = n(U) – n(A)
     • n(A Δ B) = n((A – B) ∪ (B – A)) = n(A) + n(B) – 2n(A ∩ B) (यहाँ A Δ B सममित अंतर है)
   • यदि A, B और C परिमित समुच्चय हैं, तो:
     • n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

10. वेन आरेख (Venn Diagrams):

    • समुच्चयों के बीच संबंधों को दर्शाने के लिए आरेखों का उपयोग वेन आरेख कहलाता है।
    • इसमें सार्वत्रिक समुच्चय U को सामान्यतः एक आयत द्वारा और उसके उपसमुच्चयों को वृत्त या बंद वक्रों द्वारा दर्शाया जाता है।
    • वेन आरेख सम्मिलन, सर्वनिष्ठ, अंतर और पूरक जैसी संक्रियाओं को समझने में बहुत सहायक होते हैं।

सरकारी परीक्षाओं में समुच्चय सिद्धांत से सीधे परिभाषा, प्रकार, संक्रियाओं के गुणधर्म, अवयवों की संख्या पर आधारित सूत्र और वेन आरेख से संबंधित प्रश्न पूछे जाते हैं। इन सभी बिंदुओं को अच्छी तरह समझें और अभ्यास करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1: यदि A = {x : x शब्द 'APPLE' का एक अक्षर है} और B = {x : x शब्द 'PALE' का एक अक्षर है}, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
(a) A ⊂ B
(b) B ⊂ A
(c) A = B
(d) A और B असंयुक्त समुच्चय हैं

प्रश्न 2: यदि A = {1, 2, {3, 4}, 5}, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
(a) {3, 4} ∈ A
(b) {3, 4} ⊆ A
(c) {{3, 4}} ⊆ A
(d) 1 ∈ A

प्रश्न 3: यदि किसी समुच्चय A में 4 अवयव हैं, तो समुच्चय A के घात समुच्चय P(A) में कितने अवयव होंगे?
(a) 4
(b) 8
(c) 16
(d) 32

प्रश्न 4: यदि A = {a, b, c} तो A के उचित उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है?
(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 9

प्रश्न 5: यदि A और B दो समुच्चय इस प्रकार हैं कि A ∪ B = A ∩ B, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
(a) A = φ
(b) B = φ
(c) A = B
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 6: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} और B = {2, 5, 6, 8}, तो (A ∪ B)' का मान क्या है?
(a) {4, 7}
(b) {1, 3, 6, 8}
(c) {2, 5}
(d) {1, 2, 3, 5, 6, 8}

प्रश्न 7: यदि n(A) = 20, n(B) = 30 और n(A ∪ B) = 40, तो n(A ∩ B) का मान क्या है?
(a) 5
(b) 10
(c) 15
(d) 20

प्रश्न 8: समुच्चय {x : x ∈ R, x² = 9 और 2x = 4} है:
(a) {3}
(b) {2}
(c) φ (रिक्त समुच्चय)
(d) {-3, 3}

प्रश्न 9: छायांकित क्षेत्र निम्नलिखित में से किसे दर्शाता है? (मान लीजिए आयत U को दर्शाता है)
[यहाँ एक वेन आरेख की कल्पना करें जिसमें दो प्रतिच्छेदी वृत्त A और B हैं, और केवल B का वह भाग छायांकित है जो A में नहीं है]
(a) A ∩ B
(b) A ∪ B
(c) A - B
(d) B - A

प्रश्न 10: डी मॉर्गन का नियम है:
(a) (A ∪ B)' = A' ∪ B'
(b) (A ∩ B)' = A' ∩ B'
(c) (A ∪ B)' = A' ∩ B'
(d) (A - B)' = A' - B'

उत्तरमाला (MCQs):

1. (c) [A = {A, P, L, E}, B = {P, A, L, E}, अतः A = B]
2. (b) [{3, 4} समुच्चय A का एक अवयव है, उपसमुच्चय नहीं। {{3, 4}} उपसमुच्चय है।]
3. (c) [n(P(A)) = 2ⁿ = 2⁴ = 16]
4. (b) [कुल उपसमुच्चय = 2³ = 8, उचित उपसमुच्चय = 2³ - 1 = 7]
5. (c) [A ∪ B = A ∩ B तभी संभव है जब A और B के सभी अवयव समान हों, अर्थात् A = B]
6. (a) [A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 8}, (A ∪ B)' = U - (A ∪ B) = {4, 7}]
7. (b) [n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) => 40 = 20 + 30 – n(A ∩ B) => n(A ∩ B) = 50 – 40 = 10]
8. (c) [x² = 9 से x = 3 या x = -3 मिलता है। 2x = 4 से x = 2 मिलता है। कोई भी x मान दोनों शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है, अतः यह रिक्त समुच्चय है।]
9. (d) [छायांकित क्षेत्र में वे अवयव हैं जो B में हैं परन्तु A में नहीं हैं, जो B - A को दर्शाता है।]
10. (c) [(A ∪ B)' = A' ∩ B' और (A ∩ B)' = A' ∪ B']

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छे से अध्ययन करें। कोई शंका हो तो अवश्य पूछें। शुभकामनाएँ!