Class 11 Mathematics Notes Chapter 1 (समुच्चय) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित के पहले अध्याय 'समुच्चय' (Sets) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय न केवल आपकी कक्षा 11 की परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि विभिन्न सरकारी प्रतियोगी परीक्षाओं के गणित खंड के लिए भी एक आधार तैयार करता है। आइए, इसके मुख्य बिंदुओं को विस्तार से समझते हैं।

अध्याय 1: समुच्चय (Sets) - विस्तृत नोट्स

1. समुच्चय की परिभाषा (Definition of Set):
वस्तुओं के सुपरिभाषित (well-defined) संग्रह को समुच्चय कहते हैं। 'सुपरिभाषित' का अर्थ है कि हम निश्चित रूप से यह तय कर सकें कि कोई दी गई वस्तु संग्रह में है या नहीं।

• उदाहरण:
  • अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों का संग्रह {a, e, i, o, u} एक समुच्चय है।
  • 10 से कम विषम प्राकृत संख्याओं का संग्रह {1, 3, 5, 7, 9} एक समुच्चय है।
  • 'अच्छे' क्रिकेट खिलाड़ियों का संग्रह समुच्चय नहीं है, क्योंकि 'अच्छा' होना सुपरिभाषित नहीं है (यह व्यक्तिपरक है)।
• समुच्चय को प्रायः अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों (A, B, C, ...) से दर्शाया जाता है।
• समुच्चय के सदस्यों या तत्वों (elements/members) को छोटे अक्षरों (a, b, c, ...) से दर्शाया जाता है।
• यदि 'a' समुच्चय A का एक अवयव है, तो हम लिखते हैं a ∈ A (a belongs to A)।
• यदि 'b' समुच्चय A का अवयव नहीं है, तो हम लिखते हैं b ∉ A (b does not belong to A)।

2. समुच्चयों का निरूपण (Representation of Sets):
समुच्चय को निरूपित करने की दो मुख्य विधियाँ हैं:

• (i) रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (Roster or Tabular Form):

  • इसमें समुच्चय के सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया जाता है।
  • अवयवों को अल्पविराम (comma) द्वारा अलग किया जाता है।
  • पूरे संग्रह को मंझले कोष्ठक { } के भीतर लिखा जाता है।
  • अवयवों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है।
  • किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है।
  • उदाहरण: V = {a, e, i, o, u}, N = {1, 3, 5, 7, 9}

• (ii) समुच्चय-निर्माण रूप (Set-builder Form):

  • इसमें अवयवों को सूचीबद्ध करने के बजाय, उनके एक सर्वनिष्ठ गुणधर्म (common property) का वर्णन किया जाता है जो समुच्चय के बाहर किसी अन्य अवयव में नहीं होता।
  • इसे इस प्रकार लिखते हैं: A = {x : P(x)}, जहाँ P(x) अवयव x का गुणधर्म है। ':' या '|' चिह्न को "such that" (इस प्रकार है कि) पढ़ा जाता है।
  • उदाहरण:
    • V = {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}
    • N = {x : x एक प्राकृत संख्या है और x < 10 तथा x विषम है}
    • B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 3 < x < 7} (रोस्टर रूप में B = {4, 5, 6})

3. समुच्चयों के प्रकार (Types of Sets):

• (i) रिक्त समुच्चय (Empty Set or Null Set or Void Set):

  • वह समुच्चय जिसमें एक भी अवयव नहीं होता है, रिक्त समुच्चय कहलाता है।
  • इसे Φ (फाई) या { } से निरूपित करते हैं।
  • उदाहरण:
    • A = {x : x एक सम अभाज्य संख्या है और x > 2} = Φ
    • B = {x : x² = 4 और x विषम है} = Φ

• (ii) परिमित समुच्चय (Finite Set):

  • एक समुच्चय जो रिक्त है या जिसके अवयवों की संख्या निश्चित (जिसे गिना जा सके) होती है, परिमित समुच्चय कहलाता है।
  • उदाहरण: सप्ताह के दिनों का समुच्चय, {1, 2, 3, ..., 100}

• (iii) अपरिमित समुच्चय (Infinite Set):

  • जिस समुच्चय के अवयवों की संख्या निश्चित नहीं होती (अनंत होती है), उसे अपरिमित समुच्चय कहते हैं।
  • उदाहरण: प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N = {1, 2, 3, ...}, पूर्णांकों का समुच्चय Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

• (iv) एकल समुच्चय (Singleton Set):

  • जिस समुच्चय में केवल एक ही अवयव होता है, उसे एकल समुच्चय कहते हैं।
  • उदाहरण: {0}, {Φ}, {x : x एक सम अभाज्य संख्या है} = {2}

• (v) समान समुच्चय (Equal Sets):

  • दो समुच्चय A और B समान कहलाते हैं यदि उनमें तथ्यतः (exactly) वही अवयव हों।
  • हम लिखते हैं A = B।
  • यदि A और B समान नहीं हैं, तो A ≠ B।
  • उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} और B = {3, 1, 2}, तो A = B। यदि C = {1, 2, 3} और D = {1, 2, 4}, तो C ≠ D।

4. उपसमुच्चय (Subsets):

• समुच्चय A का प्रत्येक अवयव यदि समुच्चय B का भी अवयव है, तो A, समुच्चय B का उपसमुच्चय कहलाता है।
• इसे A ⊆ B से निरूपित करते हैं।
• यदि A ⊆ B और A ≠ B, तो A, B का उचित उपसमुच्चय (Proper Subset) कहलाता है और इसे A ⊂ B लिखते हैं।
• यदि A ⊆ B, तो B, A का अधिसमुच्चय (Superset) कहलाता है (B ⊇ A)।
• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है (A ⊆ A)।
  • रिक्त समुच्चय (Φ) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है (Φ ⊆ A)।
  • यदि किसी समुच्चय A में n अवयव हैं (अर्थात |A| = n), तो A के कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ होती है।
  • A के उचित उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ - 1 होती है।
• उदाहरण: यदि A = {1, 2}, तो इसके उपसमुच्चय हैं: Φ, {1}, {2}, {1, 2}। कुल 2² = 4 उपसमुच्चय।

5. घात समुच्चय (Power Set):

• किसी समुच्चय A के सभी संभव उपसमुच्चयों के संग्रह (समुच्चय) को A का घात समुच्चय कहते हैं।
• इसे P(A) से निरूपित करते हैं।
• P(A) का प्रत्येक अवयव स्वयं एक समुच्चय होता है।
• यदि |A| = n, तो |P(A)| = 2ⁿ।
• उदाहरण: यदि A = {1, 2}, तो P(A) = {Φ, {1}, {2}, {1, 2}}। यहाँ |A| = 2, तो |P(A)| = 2² = 4।

6. सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set - U):

• किसी विशेष संदर्भ में, एक ऐसा निश्चित समुच्चय जिसके विचाराधीन सभी समुच्चय उपसमुच्चय होते हैं, सार्वत्रिक समुच्चय कहलाता है।
• इसे प्रायः U से निरूपित करते हैं।
• यह संदर्भ पर निर्भर करता है। जैसे, संख्या सिद्धांत में प्राकृत संख्याओं N या पूर्णांकों Z को U लिया जा सकता है। समतल ज्यामिति में तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय U हो सकता है।

7. वेन आरेख (Venn Diagrams):

• समुच्चयों के बीच संबंधों को दर्शाने के लिए आरेखों का उपयोग वेन आरेख कहलाता है।
• इसमें सार्वत्रिक समुच्चय U को प्रायः एक आयत द्वारा और उसके उपसमुच्चयों को वृत्त या बंद वक्रों द्वारा दर्शाया जाता है।
• यह समुच्चयों पर संक्रियाओं (operations) को समझने में बहुत सहायक होते हैं।

8. समुच्चयों पर संक्रियाएँ (Operations on Sets):

• (i) समुच्चयों का सम्मिलन (Union of Sets - ∪):

  • दो समुच्चयों A और B का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें A के सभी अवयव तथा B के सभी अवयव होते हैं, और उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया जाता है।
  • A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}
  • गुणधर्म:
    • क्रमविनिमेय नियम: A ∪ B = B ∪ A
    • साहचर्य नियम: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
    • तत्समक नियम: A ∪ Φ = A
    • वर्गसम नियम: A ∪ A = A
    • U का नियम: A ∪ U = U
  • वेन आरेख: A और B दोनों वृत्तों द्वारा घिरा पूरा क्षेत्र।

• (ii) समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of Sets - ∩):

  • दो समुच्चयों A और B का सर्वनिष्ठ उन अवयवों का समुच्चय है जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ (common) हैं।
  • A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}
  • गुणधर्म:
    • क्रमविनिमेय नियम: A ∩ B = B ∩ A
    • साहचर्य नियम: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
    • Φ का नियम: A ∩ Φ = Φ
    • U का नियम: A ∩ U = A
    • वर्गसम नियम: A ∩ A = A
    • वितरण नियम: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) और A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • वेन आरेख: A और B वृत्तों का उभयनिष्ठ (overlapping) क्षेत्र।

• (iii) असंयुक्त समुच्चय (Disjoint Sets):

  • यदि दो समुच्चयों A और B में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ न हो, अर्थात A ∩ B = Φ, तो वे असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं।
  • वेन आरेख: A और B वृत्त अलग-अलग होते हैं, कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं होता।

• (iv) समुच्चयों का अंतर (Difference of Sets - A - B):

  • समुच्चय A और B का अंतर उन अवयवों का समुच्चय है जो A में हैं किन्तु B में नहीं हैं।
  • A - B = {x : x ∈ A और x ∉ B}
  • इसी प्रकार, B - A = {x : x ∈ B और x ∉ A}
  • सामान्यतः A - B ≠ B - A।
  • वेन आरेख: A वृत्त का वह भाग जो B वृत्त के बाहर है।

• (v) समुच्चय का पूरक (Complement of a Set - A'):

  • मान लीजिए U सार्वत्रिक समुच्चय है और A, U का एक उपसमुच्चय है। तब A का पूरक उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो U में हैं परन्तु A में नहीं हैं।
  • A' = U - A = {x : x ∈ U और x ∉ A}
  • गुणधर्म:
    • पूरक नियम: A ∪ A' = U, A ∩ A' = Φ
    • डी मॉर्गन नियम: (A ∪ B)' = A' ∩ B', (A ∩ B)' = A' ∪ B'
    • द्विपूरक नियम: (A')' = A
    • Φ' = U, U' = Φ
  • वेन आरेख: आयत (U) का वह क्षेत्र जो वृत्त A के बाहर है।

9. परिमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या से संबंधित सूत्र (Formulas related to Number of Elements in Finite Sets):
मान लीजिए A, B और C परिमित समुच्चय हैं, और |A| समुच्चय A में अवयवों की संख्या को दर्शाता है।

• यदि A और B परिमित समुच्चय हैं, तो:
  • |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
• यदि A और B असंयुक्त समुच्चय हैं (A ∩ B = Φ), तो:
  • |A ∪ B| = |A| + |B|
• |A - B| = |A| - |A ∩ B| = |A ∪ B| - |B|
• |B - A| = |B| - |A ∩ B| = |A ∪ B| - |A|
• |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

ये सूत्र व्यावहारिक समस्याओं (word problems) को हल करने में बहुत उपयोगी होते हैं, खासकर जब सर्वेक्षण-आधारित डेटा दिया गया हो।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा एक समुच्चय है?
(a) भारत की सबसे प्रतिभाशाली लेखिकाओं का संग्रह
(b) विश्व के सर्वश्रेष्ठ 11 बल्लेबाजों की टीम
(c) आपकी कक्षा के सभी लड़कों का संग्रह
(d) सबसे खतरनाक जानवरों का संग्रह

प्रश्न 2: यदि A = {0, 1, 2, 3} और B = {3, 4, 5}, तो A ∩ B क्या है?
(a) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
(b) {3}
(c) {0, 1, 2}
(d) {4, 5}

प्रश्न 3: यदि A = {a, b}, तो A का घात समुच्चय P(A) क्या है?
(a) {{a}, {b}}
(b) {Φ, {a}, {b}}
(c) {Φ, {a}, {b}, {a, b}}
(d) {{a, b}}

प्रश्न 4: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} और A = {2, 3}, तो A' (A का पूरक) क्या है?
(a) {2, 3}
(b) {1, 4, 5, 6}
(c) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(d) {1, 4}

प्रश्न 5: यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और x ≤ 5} और B = {x : x एक अभाज्य संख्या है और x < 6}, तो A - B क्या है?
(a) {1, 4}
(b) {1, 2, 3, 4, 5}
(c) {2, 3, 5}
(d) {4}

प्रश्न 6: यदि किसी समुच्चय A में 4 अवयव हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की कुल संख्या कितनी होगी?
(a) 4
(b) 8
(c) 16
(d) 15

प्रश्न 7: समुच्चय {x : x² = 9 और 2x = 4} का रोस्टर रूप क्या है?
(a) {3}
(b) {2}
(c) {-3, 3}
(d) Φ (रिक्त समुच्चय)

प्रश्न 8: यदि A ⊆ B, तो A ∪ B किसके बराबर है?
(a) A
(b) B
(c) Φ
(d) A ∩ B

प्रश्न 9: एक कक्षा में 50 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 30 गणित पढ़ते हैं और 25 विज्ञान पढ़ते हैं। यदि प्रत्येक विद्यार्थी कम से कम एक विषय पढ़ता है, तो कितने विद्यार्थी गणित और विज्ञान दोनों पढ़ते हैं?
(a) 5
(b) 10
(c) 15
(d) 20

प्रश्न 10: डी मॉर्गन का नियम निम्नलिखित में से कौन सा है?
(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(b) (A ∪ B)' = A' ∩ B'
(c) A ∪ A' = U
(d) (A')' = A

उत्तर कुंजी (MCQs):

1. (c)
2. (b)
3. (c)
4. (b)
5. (a) (A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 5}, A - B = {1, 4})
6. (c) (2⁴ = 16)
7. (d) (x² = 9 से x = 3 या x = -3; 2x = 4 से x = 2; कोई उभयनिष्ठ हल नहीं)
8. (b)
9. (a) (|M ∪ S| = |M| + |S| - |M ∩ S| => 50 = 30 + 25 - |M ∩ S| => |M ∩ S| = 55 - 50 = 5)
10. (b)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। समुच्चय सिद्धांत गणित की कई शाखाओं का आधार है, इसलिए इसे समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। शुभकामनाएँ!