Class 11 Mathematics Notes Chapter 10 (Chapter 10) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित एक्सेम्प्लर (Exemplar) पुस्तक के अध्याय 10 - 'सरल रेखाएँ' (Straight Lines) का विस्तृत अध्ययन करेंगे। यह अध्याय निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) का एक बहुत ही महत्वपूर्ण हिस्सा है और विभिन्न सरकारी प्रतियोगी परीक्षाओं में इससे प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं।

अध्याय 10: सरल रेखाएँ (Straight Lines) - विस्तृत नोट्स

1. परिचय (Introduction):
सरल रेखा दो चरों (आमतौर पर x और y) में एक रैखिक समीकरण का आलेखीय निरूपण है। यह अनंत बिंदुओं का एक समुच्चय है जो एक सीधी दिशा में फैला हुआ है।

2. सरल रेखा की ढाल या प्रवणता (Slope or Gradient of a Line):
किसी रेखा की ढाल (जिसे 'm' से दर्शाते हैं) यह बताती है कि रेखा क्षैतिज (x-अक्ष) से कितना झुकी हुई है।

• यदि रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा से θ कोण बनाती है, तो ढाल m = tan θ (जहाँ θ ≠ 90°)।
• यदि रेखा दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरती है, तो ढाल m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (जहाँ x₁ ≠ x₂)।
• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • क्षैतिज रेखा (x-अक्ष के समांतर) की ढाल शून्य (m=0) होती है।
  • ऊर्ध्वाधर रेखा (y-अक्ष के समांतर) की ढाल अपरिभाषित (undefined) होती है।
  • यदि θ न्यून कोण (0° < θ < 90°) है, तो ढाल धनात्मक (m > 0) होती है।
  • यदि θ अधिक कोण (90° < θ < 180°) है, तो ढाल ऋणात्मक (m < 0) होती है।

3. दो रेखाओं के मध्य कोण (Angle between Two Lines):
यदि दो रेखाओं की ढाल m₁ और m₂ है, और उनके बीच का न्यून कोण θ है, तो:
tan θ = |(m₂ - m₁) / (1 + m₁m₂)|, जहाँ 1 + m₁m₂ ≠ 0

• समांतर रेखाएँ (Parallel Lines): दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढाल बराबर हो, अर्थात m₁ = m₂।
• लंबवत रेखाएँ (Perpendicular Lines): दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढालों का गुणनफल -1 हो, अर्थात m₁ * m₂ = -1। (यह तब लागू नहीं होता जब रेखाएँ अक्षों के समांतर हों)।

4. तीन बिंदुओं की संरेखता (Collinearity of Three Points):
तीन बिंदु A, B, और C संरेखीय (एक ही रेखा पर स्थित) होते हैं यदि:

• AB की ढाल = BC की ढाल, या
• बिंदुओं A, B, C से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो।

5. सरल रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप (Various Forms of the Equation of a Line):

• (a) क्षैतिज रेखा (Horizontal Line): y = k (जहाँ k, y-अक्ष पर नियत दूरी है)
• (b) ऊर्ध्वाधर रेखा (Vertical Line): x = k (जहाँ k, x-अक्ष पर नियत दूरी है)
• (c) बिंदु-ढाल रूप (Point-Slope Form): यदि रेखा बिंदु (x₁, y₁) से गुजरती है और उसकी ढाल m है, तो समीकरण: y - y₁ = m(x - x₁)
• (d) दो-बिंदु रूप (Two-Point Form): यदि रेखा दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरती है, तो समीकरण: y - y₁ = [(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)] * (x - x₁)
• (e) ढाल-अंतःखंड रूप (Slope-Intercept Form): यदि रेखा की ढाल m है और y-अक्ष पर काटा गया अंतःखंड (intercept) c है, तो समीकरण: y = mx + c
• (f) अंतःखंड रूप (Intercept Form): यदि रेखा x-अक्ष पर अंतःखंड 'a' और y-अक्ष पर अंतःखंड 'b' काटती है, तो समीकरण: x/a + y/b = 1
• (g) अभिलंब रूप या लम्ब रूप (Normal Form): यदि मूल बिंदु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई 'p' है और यह लम्ब x-अक्ष की धनात्मक दिशा से 'α' कोण बनाता है, तो समीकरण: x cos α + y sin α = p

6. सरल रेखा का व्यापक समीकरण (General Equation of a Line):
किसी भी सरल रेखा का व्यापक समीकरण Ax + By + C = 0 होता है, जहाँ A और B दोनों एक साथ शून्य नहीं होते।

• इस रेखा की ढाल m = -A / B (यदि B ≠ 0)
• x-अंतःखंड = -C / A (यदि A ≠ 0)
• y-अंतःखंड = -C / B (यदि B ≠ 0)

व्यापक समीकरण को अन्य रूपों में बदलना:

• ढाल-अंतःखंड रूप: y = (-A/B)x + (-C/B) (यदि B ≠ 0)
• अंतःखंड रूप: x / (-C/A) + y / (-C/B) = 1 (यदि A, B, C ≠ 0)
• अभिलंब रूप: समीकरण को √(A² + B²) से भाग देकर और C को दाईं ओर ले जाकर चिन्हों को समायोजित करके x cos α + y sin α = p रूप में लाया जाता है, जहाँ p हमेशा धनात्मक होता है।

7. एक बिंदु की रेखा से दूरी (Distance of a Point from a Line):
बिंदु P(x₁, y₁) की रेखा Ax + By + C = 0 से लम्बवत दूरी (d):
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

8. दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी (Distance between Two Parallel Lines):
दो समांतर रेखाओं Ax + By + C₁ = 0 और Ax + By + C₂ = 0 के बीच की दूरी (d):
d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)

9. दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (Point of Intersection of Two Lines):
दो रेखाओं a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों को हल किया जाता है।

10. रेखाओं का संगामी होना (Concurrency of Lines):
तीन या अधिक रेखाएँ संगामी कहलाती हैं यदि वे एक ही बिंदु से होकर गुजरती हैं। यह जांचने के लिए, किन्हीं दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें और देखें कि क्या यह तीसरी रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।

परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण:

• सभी सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।
• विभिन्न रूपों के बीच समीकरणों का रूपांतरण समझें।
• ढाल, समांतरता और लंबवतता की शर्तों का अनुप्रयोग सीखें।
• बिंदु से रेखा की दूरी और दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी के सूत्र महत्वपूर्ण हैं।
• अंतःखंड ज्ञात करना और उनका उपयोग करना।
• एक्सेम्प्लर में दिए गए मिश्रित और अनुप्रयोग आधारित प्रश्नों का अभ्यास करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) को मिलाने वाली रेखा की ढाल क्या है?
(a) 1
(b) -1
(c) 2
(d) -2
उत्तर: (b) (स्पष्टीकरण: m = (1-3) / (4-2) = -2 / 2 = -1)

प्रश्न 2: उस रेखा का समीकरण क्या है जो बिंदु (1, 2) से गुजरती है और जिसकी ढाल 3 है?
(a) y - 2 = 3(x - 1)
(b) y - 1 = 3(x - 2)
(c) y + 2 = 3(x + 1)
(d) x - 1 = 3(y - 2)
उत्तर: (a) (स्पष्टीकरण: बिंदु-ढाल रूप y - y₁ = m(x - x₁) का प्रयोग करें)

प्रश्न 3: रेखा 2x + 3y - 6 = 0 का y-अंतःखंड क्या है?
(a) 2
(b) 3
(c) -2
(d) 6
उत्तर: (a) (स्पष्टीकरण: समीकरण को y = mx + c रूप में लिखें: 3y = -2x + 6 => y = (-2/3)x + 2. यहाँ c = 2)

प्रश्न 4: रेखाएँ y = 3x + 7 और y = mx - 2 परस्पर लंबवत हैं। m का मान क्या है?
(a) 3
(b) -3
(c) 1/3
(d) -1/3
उत्तर: (d) (स्पष्टीकरण: पहली रेखा की ढाल m₁ = 3. लंबवतता के लिए m₁ * m₂ = -1, इसलिए 3 * m = -1 => m = -1/3)

प्रश्न 5: उस रेखा का समीकरण क्या है जो x-अक्ष पर 3 और y-अक्ष पर -2 का अंतःखंड काटती है?
(a) x/3 + y/2 = 1
(b) x/3 - y/2 = 1
(c) x/(-2) + y/3 = 1
(d) x/2 - y/3 = 1
उत्तर: (b) (स्पष्टीकरण: अंतःखंड रूप x/a + y/b = 1 का प्रयोग करें, जहाँ a = 3, b = -2)

प्रश्न 6: रेखा 4x - 3y + 12 = 0 द्वारा अक्षों पर काटे गए अंतःखंडों की लम्बाई क्या है?
(a) 3, 4
(b) -3, 4
(c) 3, -4
(d) -3, -4
उत्तर: (b) (स्पष्टीकरण: 4x - 3y = -12 => x/(-3) + y/4 = 1. अतः x-अंतःखंड = -3, y-अंतःखंड = 4)

प्रश्न 7: बिंदु (3, -5) की रेखा 3x - 4y - 26 = 0 से दूरी क्या है?
(a) 3/5
(b) 7/5
(c) 0
(d) 1
उत्तर: (a) (स्पष्टीकरण: d = |3(3) - 4(-5) - 26| / √(3² + (-4)²) = |9 + 20 - 26| / √(9 + 16) = |3| / √25 = 3/5)

प्रश्न 8: रेखा √3x + y = 1 का अभिलंब रूप (Normal Form) क्या है?
(a) x cos 30° + y sin 30° = 1/2
(b) x cos 60° + y sin 60° = 1/2
(c) x cos 30° + y sin 30° = 1
(d) x cos 60° + y sin 60° = 1
उत्तर: (a) (स्पष्टीकरण: √( (√3)² + 1²) = √4 = 2 से भाग दें: (√3/2)x + (1/2)y = 1/2. यहाँ cos α = √3/2, sin α = 1/2, अतः α = 30°. समीकरण है x cos 30° + y sin 30° = 1/2)

प्रश्न 9: रेखाएँ x - 2y + 3 = 0 और 2x - 4y + 5 = 0 हैं:
(a) समांतर
(b) लंबवत
(c) प्रतिच्छेदी
(d) संपाती (coincident)
उत्तर: (a) (स्पष्टीकरण: पहली रेखा की ढाल m₁ = -1/(-2) = 1/2. दूसरी रेखा की ढाल m₂ = -2/(-4) = 1/2. चूँकि m₁ = m₂, रेखाएँ समांतर हैं।)

प्रश्न 10: रेखा 5x + 12y - 9 = 0 के समांतर और बिंदु (1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण क्या है?
(a) 5x + 12y = 17
(b) 12x + 5y = 17
(c) 5x - 12y = -7
(d) 12x - 5y = 7
उत्तर: (a) (स्पष्टीकरण: समांतर रेखा का समीकरण 5x + 12y + k = 0 रूप का होगा। यह (1, 1) से गुजरती है, अतः 5(1) + 12(1) + k = 0 => 17 + k = 0 => k = -17. समीकरण है 5x + 12y - 17 = 0 या 5x + 12y = 17)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। एक्सेम्प्लर पुस्तक के अन्य प्रश्नों को भी हल करने का प्रयास करें। शुभकामनाएँ!