Class 11 Mathematics Notes Chapter 12 (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित विषय के अध्याय 12, 'त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे निर्देशांक ज्यामिति की समझ विकसित होती है जो आगे कैलकुलस और वेक्टर बीजगणित में भी काम आती है।

अध्याय 12: त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय - विस्तृत नोट्स

1. भूमिका (Introduction)
अब तक हमने द्विविमीय (2D) तल में बिंदुओं की स्थिति का अध्ययन किया है, जहाँ किसी बिंदु की स्थिति को दो निर्देशांकों (x, y) द्वारा दर्शाया जाता है। त्रिविमीय ज्यामिति (3D Geometry) में, हम आकाश (space) में बिंदुओं की स्थिति का अध्ययन करते हैं। यहाँ किसी बिंदु की स्थिति दर्शाने के लिए तीन निर्देशांकों (x, y, z) की आवश्यकता होती है।

2. निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक समतल (Coordinate Axes and Coordinate Planes)

• निर्देशांक अक्ष: आकाश में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए, हम एक निश्चित बिंदु O (मूल बिंदु) से गुजरने वाली तीन परस्पर लंबवत रेखाएँ लेते हैं। इन रेखाओं को X-अक्ष, Y-अक्ष और Z-अक्ष कहा जाता है।
  • X'OX (X-अक्ष)
  • Y'OY (Y-अक्ष)
  • Z'OZ (Z-अक्ष)
    ये रेखाएँ दाहिने हाथ के नियम (Right Hand System) का पालन करती हैं।
• निर्देशांक समतल: ये तीन अक्ष मिलकर तीन परस्पर लंबवत समतल बनाते हैं:
  • XY-समतल: X-अक्ष और Y-अक्ष द्वारा निर्धारित समतल (इसमें z = 0 होता है)।
  • YZ-समतल: Y-अक्ष और Z-अक्ष द्वारा निर्धारित समतल (इसमें x = 0 होता है)।
  • ZX-समतल: Z-अक्ष और X-अक्ष द्वारा निर्धारित समतल (इसमें y = 0 होता है)।
• अष्टांश (Octants): ये तीन निर्देशांक समतल आकाश को आठ भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें अष्टांश कहा जाता है।

3. आकाश में एक बिंदु के निर्देशांक (Coordinates of a Point in Space)

• आकाश में स्थित किसी बिंदु P के निर्देशांक एक क्रमित त्रिक (ordered triplet) (x, y, z) होते हैं।

• यहाँ,

  • x-निर्देशांक: बिंदु P की YZ-समतल से लाम्बिक दूरी (चिन्ह सहित)।
  • y-निर्देशांक: बिंदु P की ZX-समतल से लाम्बिक दूरी (चिन्ह सहित)।
  • z-निर्देशांक: बिंदु P की XY-समतल से लाम्बिक दूरी (चिन्ह सहित)।

• अष्टांशों में निर्देशांकों के चिन्ह:

  अष्टांश	x	y	z
  I	+	+	+
  II	-	+	+
  III	-	-	+
  IV	+	-	+
  V	+	+	-
  VI	-	+	-
  VII	-	-	-
  VIII	+	-	-

• अक्षों पर स्थित बिंदु:

  • X-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x, 0, 0) होते हैं।
  • Y-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (0, y, 0) होते हैं।
  • Z-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (0, 0, z) होते हैं।

• समतलों पर स्थित बिंदु:

  • XY-समतल पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x, y, 0) होते हैं।
  • YZ-समतल पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (0, y, z) होते हैं।
  • ZX-समतल पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x, 0, z) होते हैं।

• मूल बिंदु (Origin): इसके निर्देशांक (0, 0, 0) होते हैं।

4. दो बिंदुओं के बीच की दूरी (Distance between Two Points)

• आकाश में दो बिंदुओं P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी (PQ) ज्ञात करने का सूत्र द्विविमीय दूरी सूत्र का ही विस्तार है:
  PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
• मूल बिंदु से दूरी: बिंदु P(x, y, z) की मूल बिंदु O(0, 0, 0) से दूरी:
  OP = √[(x - 0)² + (y - 0)² + (z - 0)²] = √[x² + y² + z²]

उदाहरण: बिंदुओं A(1, 2, 3) और B(4, 6, 8) के बीच की दूरी ज्ञात करें।
हल: AB = √[(4 - 1)² + (6 - 2)² + (8 - 3)²] = √[3² + 4² + 5²] = √[9 + 16 + 25] = √50 = 5√2 इकाई।

5. विभाजन सूत्र (Section Formula)

• यह सूत्र उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जाता है जो दो दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को किसी दिए गए अनुपात में विभाजित करता है।

• मान लीजिए बिंदु R(x, y, z), बिंदुओं P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में विभाजित करता है।

  • (a) अंतः विभाजन (Internal Division): यदि R रेखाखंड PQ पर P और Q के बीच स्थित है।
    x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)
    y = (my₂ + ny₁)/(m + n)
    z = (mz₂ + nz₁)/(m + n)
    अर्थात्, R = [ (mx₂ + nx₁)/(m+n), (my₂ + ny₁)/(m+n), (mz₂ + nz₁)/(m+n) ]

  • (b) बाह्य विभाजन (External Division): यदि R रेखाखंड PQ को बढ़ाने पर स्थित है (P-Q-R या R-P-Q)।
    x = (mx₂ - nx₁)/(m - n)
    y = (my₂ - ny₁)/(m - n)
    z = (mz₂ - nz₁)/(m - n)
    अर्थात्, R = [ (mx₂ - nx₁)/(m-n), (my₂ - ny₁)/(m-n), (mz₂ - nz₁)/(m-n) ]

  • (c) मध्य-बिंदु सूत्र (Mid-point Formula): यदि R रेखाखंड PQ का मध्य-बिंदु है, तो m = n = 1.
    x = (x₁ + x₂)/2
    y = (y₁ + y₂)/2
    z = (z₁ + z₂)/2
    अर्थात्, मध्य-बिंदु = [ (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2 ]

उदाहरण: बिंदुओं A(1, -2, 3) और B(3, 4, -5) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।
हल: यहाँ (x₁, y₁, z₁) = (1, -2, 3), (x₂, y₂, z₂) = (3, 4, -5), m = 2, n = 3.
x = (23 + 31)/(2+3) = (6+3)/5 = 9/5
y = (24 + 3(-2))/(2+3) = (8-6)/5 = 2/5
z = (2*(-5) + 3*3)/(2+3) = (-10+9)/5 = -1/5
अतः, अभीष्ट बिंदु (9/5, 2/5, -1/5) है।

परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण:

• अष्टांशों की पहचान और उनमें निर्देशांकों के चिन्ह।
• अक्षों और समतलों पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांकों का रूप।
• दूरी सूत्र का प्रयोग करके त्रिभुज या चतुर्भुज के प्रकार (समबाहु, समद्विबाहु, समकोण, समांतर चतुर्भुज आदि) का निर्धारण करना।
• तीन बिंदुओं की संरेखता (Collinearity) की जाँच करना (यदि AB + BC = AC)।
• विभाजन सूत्र (अंतः, बाह्य और मध्य-बिंदु) का सीधा अनुप्रयोग।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: बिंदु (3, -1, -5) किस अष्टांश में स्थित है?
(a) V
(b) VI
(c) VII
(d) VIII

प्रश्न 2: Z-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक होते हैं:
(a) (x, 0, 0)
(b) (0, y, 0)
(c) (0, 0, z)
(d) (x, y, 0)

प्रश्न 3: बिंदु (5, 0, -3) स्थित है:
(a) XY-समतल पर
(b) YZ-समतल पर
(c) ZX-समतल पर
(d) Y-अक्ष पर

प्रश्न 4: मूल बिंदु (0, 0, 0) से बिंदु (-3, 4, 0) की दूरी है:
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 7

प्रश्न 5: बिंदुओं (2, 3, 5) और (4, 3, 1) के बीच की दूरी है:
(a) √10
(b) √20
(c) √24
(d) √28

प्रश्न 6: बिंदुओं P(2, -3, 4) और Q(8, 0, 10) को मिलाने वाले रेखाखंड PQ का मध्य-बिंदु है:
(a) (3, -3/2, 7)
(b) (5, -3/2, 7)
(c) (5, 3/2, 7)
(d) (10, -3, 14)

प्रश्न 7: बिंदुओं (-2, 3, 5) और (1, -4, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु का x-निर्देशांक है:
(a) -4/5
(b) -1/5
(c) 2/5
(d) 8/5

प्रश्न 8: बिंदु P(x, y, z) की XY-समतल से लाम्बिक दूरी है:
(a) x
(b) y
(c) z
(d) |z|

प्रश्न 9: यदि कोई बिंदु YZ-समतल पर स्थित है, तो उसका x-निर्देशांक क्या होगा?
(a) 1
(b) y
(c) z
(d) 0

प्रश्न 10: अष्टांश II में स्थित बिंदु के निर्देशांकों के चिन्ह क्या होते हैं?
(a) (+, +, +)
(b) (-, +, +)
(c) (-, -, +)
(d) (+, -, +)

उत्तरमाला (MCQs):

1. (d) VIII (+, -, -)
2. (c) (0, 0, z)
3. (c) ZX-समतल पर (y=0)
4. (c) √[(-3)² + 4² + 0²] = √[9 + 16] = √25 = 5
5. (b) √[(4-2)² + (3-3)² + (1-5)²] = √[2² + 0² + (-4)²] = √[4 + 0 + 16] = √20
6. (b) [(2+8)/2, (-3+0)/2, (4+10)/2] = (10/2, -3/2, 14/2) = (5, -3/2, 7)
7. (a) x = [2(1) + 3(-2)] / (2+3) = (2 - 6) / 5 = -4/5
8. (d) |z| (दूरी हमेशा धनात्मक होती है, जबकि z-निर्देशांक ऋणात्मक हो सकता है)
9. (d) 0
10. (b) (-, +, +)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छे से अभ्यास करें। त्रिविमीय ज्यामिति के मूल सिद्धांतों को समझना बहुत आवश्यक है। शुभकामनाएँ!