Class 11 Mathematics Notes Chapter 13 (Chapter 13) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित (NCERT Exemplar) के अध्याय 13, 'सांख्यिकी' (Statistics) पर विस्तार से चर्चा करेंगे, जो सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। इस अध्याय में हम मुख्यतः आँकड़ों के प्रकीर्णन या बिखराव (Dispersion) के मापों का अध्ययन करते हैं।

अध्याय 13: सांख्यिकी (Statistics) - विस्तृत नोट्स

1. परिचय (Introduction)

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (जैसे माध्य, माध्यिका, बहुलक) हमें आँकड़ों के केंद्र के बारे में जानकारी देते हैं, लेकिन यह नहीं बताते कि आँकड़े उस केंद्रीय मान के आसपास कितने फैले हुए हैं। आँकड़ों के इसी फैलाव या बिखराव को मापने के लिए हम प्रकीर्णन के मापों (Measures of Dispersion) का उपयोग करते हैं।

• उदाहरण: दो बल्लेबाजों A और B के पिछली 5 पारियों के रन क्रमशः हैं:
  • A: 30, 91, 0, 64, 42 (माध्य = 45.4)
  • B: 53, 46, 48, 50, 53 (माध्य = 50)
    यद्यपि B का माध्य थोड़ा बेहतर है, A के स्कोर में बहुत अधिक बिखराव है जबकि B के स्कोर अधिक सुसंगत (consistent) हैं। प्रकीर्णन के माप इसी बिखराव या सुसंगतता को संख्यात्मक रूप देते हैं।

2. प्रकीर्णन के माप (Measures of Dispersion)

मुख्य माप निम्नलिखित हैं:

(i) परिसर (Range):

• यह प्रकीर्णन का सबसे सरल माप है।
• यह आँकड़ों के अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर होता है।
• सूत्र: परिसर = अधिकतम मान (Max) - न्यूनतम मान (Min)
• गुण: गणना में आसान।
• दोष: यह केवल दो चरम मानों पर निर्भर करता है और अन्य सभी मानों की जानकारी नहीं देता। यह बाहरी मानों (outliers) से बहुत अधिक प्रभावित होता है।

(ii) चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation - Q.D.):

• इसे 'अंतःचतुर्थक परिसर' (Interquartile Range) का आधा भी कहते हैं।
• यह तीसरे चतुर्थक (Q₃) और पहले चतुर्थक (Q₁) के अंतर का आधा होता है।
• सूत्र: Q.D. = (Q₃ - Q₁) / 2
  • Q₁ (प्रथम चतुर्थक): वह मान जिसके नीचे 25% आँकड़े होते हैं।
  • Q₃ (तृतीय चतुर्थक): वह मान जिसके नीचे 75% आँकड़े होते हैं।
• गुण: यह परिसर की तुलना में बेहतर माप है क्योंकि यह चरम मानों से कम प्रभावित होता है। यह बीच के 50% आँकड़ों के फैलाव को दर्शाता है।
• गणना: अवर्गीकृत आँकड़ों और वर्गीकृत आँकड़ों (सतत और असतत) के लिए Q₁ और Q₃ ज्ञात करने की विधियाँ अलग-अलग होती हैं (माध्यिका ज्ञात करने की विधि के समान)।

(iii) माध्य विचलन (Mean Deviation - M.D.):

• यह किसी केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (सामान्यतः माध्य या माध्यिका) से आँकड़ों के विचलनों के निरपेक्ष मानों (absolute values) का औसत होता है।
• a) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (M.D. about Mean):
  • अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए: M.D.(x̄) = Σ |xᵢ - x̄| / n
  • वर्गीकृत आँकड़ों के लिए: M.D.(x̄) = Σ fᵢ |xᵢ - x̄| / N , जहाँ N = Σfᵢ
• b) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (M.D. about Median):
  • अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए: M.D.(M) = Σ |xᵢ - M| / n
  • वर्गीकृत आँकड़ों के लिए: M.D.(M) = Σ fᵢ |xᵢ - M| / N , जहाँ N = Σfᵢ
• गुण: यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित होता है।
• दोष: विचलनों के निरपेक्ष मान लेने से ऋणात्मक चिन्हों की उपेक्षा होती है, जो गणितीय रूप से असुविधाजनक है। माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन का मान, माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन से कम या बराबर होता है।

(iv) प्रसरण (Variance) और मानक विचलन (Standard Deviation - S.D.):

• ये प्रकीर्णन के सबसे महत्वपूर्ण और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले माप हैं।
• प्रसरण (σ²): यह माध्य से लिए गए विचलनों के वर्गों का औसत होता है।
  • अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए: σ² = Σ (xᵢ - x̄)² / n
  • वर्गीकृत आँकड़ों के लिए: σ² = Σ fᵢ (xᵢ - x̄)² / N , जहाँ N = Σfᵢ
• मानक विचलन (σ): यह प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल होता है।
  • सूत्र: σ = √प्रसरण
• गणना के लिए वैकल्पिक (सरल) सूत्र:
  • प्रसरण (σ²):
    • अवर्गीकृत: σ² = (Σ xᵢ²) / n - (x̄)² = (Σ xᵢ²) / n - (Σ xᵢ / n)²
    • वर्गीकृत: σ² = (Σ fᵢ xᵢ²) / N - (x̄)² = (Σ fᵢ xᵢ²) / N - (Σ fᵢ xᵢ / N)²
  • यह सूत्र गणना को आसान बनाता है, खासकर जब माध्य पूर्णांक न हो।
• गुण:
  • यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित है।
  • यह गणितीय गुणों के कारण सांख्यिकीय विश्लेषण में बहुत उपयोगी है।
  • मानक विचलन की इकाई वही होती है जो आँकड़ों की इकाई होती है, जिससे इसकी व्याख्या आसान हो जाती है।
  • मानक विचलन हमेशा एक गैर-ऋणात्मक (non-negative) राशि होती है। σ ≥ 0.
  • यदि सभी प्रेक्षण समान हों, तो मानक विचलन शून्य होता है।
• दोष: यह चरम मानों (outliers) से प्रभावित होता है। गणना थोड़ी जटिल हो सकती है।

3. आवृत्ति बंटनों का विश्लेषण (Analysis of Frequency Distributions)

• असतत आवृत्ति बंटन: उपरोक्त वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र (जहाँ xᵢ मान हैं और fᵢ उनकी बारंबारताएँ) सीधे लागू होते हैं।
• सतत आवृत्ति बंटन: वर्गों के मध्य-बिंदुओं (mid-points) को xᵢ के रूप में उपयोग किया जाता है और फिर वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र लागू किए जाते हैं।

4. विचरण गुणांक (Coefficient of Variation - C.V.):

• यह प्रकीर्णन का एक सापेक्ष माप (relative measure) है। इसका उपयोग दो या दो से अधिक बंटनों की परिवर्तनशीलता (variability) या स्थिरता (consistency) की तुलना करने के लिए किया जाता है, खासकर जब उनके माध्य या इकाइयाँ भिन्न हों।
• सूत्र: C.V. = (मानक विचलन / माध्य) * 100 = (σ / x̄) * 100 (जहाँ x̄ ≠ 0)
• व्याख्या:
  • जिस बंटन का C.V. अधिक होता है, वह अधिक परिवर्तनशील (more variable) या कम स्थिर (less consistent) माना जाता है।
  • जिस बंटन का C.V. कम होता है, वह कम परिवर्तनशील (less variable) या अधिक स्थिर (more consistent) माना जाता है।
• सरकारी परीक्षाओं में तुलनात्मक प्रश्न अक्सर C.V. पर आधारित होते हैं।

5. प्रकीर्णन के मापों पर पैमाने और मूल बिंदु के परिवर्तन का प्रभाव:

• मूल बिंदु का परिवर्तन (Adding/Subtracting a constant 'a'): yᵢ = xᵢ ± a
  • परिसर, चतुर्थक विचलन, माध्य विचलन, मानक विचलन अपरिवर्तित रहते हैं।
  • माध्य बदल जाता है (ȳ = x̄ ± a)।
• पैमाने का परिवर्तन (Multiplying/Dividing by a constant 'b'): yᵢ = b * xᵢ or yᵢ = xᵢ / b (b > 0)
  • परिसर, चतुर्थक विचलन, माध्य विचलन, मानक विचलन भी उसी स्थिरांक 'b' से गुणा/भाग हो जाते हैं। (उदा., नया σ_y = b * σ_x)
  • माध्य भी उसी स्थिरांक से गुणा/भाग हो जाता है (ȳ = b * x̄)।
  • प्रसरण 'b²' से गुणा/भाग होता है। (नया σ²_y = b² * σ²_x)
• यह गुण गणनाओं को सरल बनाने में मदद कर सकता है।

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

• मानक विचलन और प्रसरण सबसे महत्वपूर्ण माप हैं। इनके सूत्र और गणना विधि अच्छी तरह समझें।
• विचरण गुणांक (C.V.) का उपयोग तुलनात्मक प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।
• माध्य विचलन की गणना माध्य और माध्यिका दोनों के सापेक्ष करना सीखें।
• पैमाने और मूल बिंदु के परिवर्तन का प्रभाव याद रखें।
• प्रकीर्णन का कौन सा माप किस स्थिति में उपयुक्त है, इसकी समझ विकसित करें।

अभ्यास हेतु 10 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: आँकड़ों 3, 10, 10, 4, 7, 10, 5 का परिसर (Range) क्या है?
(क) 3
(ख) 5
(ग) 7
(घ) 10

प्रश्न 2: यदि किसी बंटन का मानक विचलन 6 है, तो उसका प्रसरण (Variance) क्या होगा?
(क) 6
(ख) 12
(ग) 36
(घ) √6

प्रश्न 3: प्रथम पाँच धन पूर्णांकों (1, 2, 3, 4, 5) का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (Mean Deviation about Mean) ज्ञात कीजिए।
(क) 1.0
(ख) 1.2
(ग) 1.5
(घ) 2.0

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन सा प्रकीर्णन का माप चरम मानों (extreme values) से सबसे अधिक प्रभावित होता है?
(क) परिसर
(ख) चतुर्थक विचलन
(ग) माध्य विचलन
(घ) मानक विचलन

प्रश्न 5: यदि प्रेक्षणों के एक समूह के प्रत्येक प्रेक्षण में 5 जोड़ दिया जाए, तो परिणामी प्रेक्षणों का मानक विचलन क्या होगा?
(क) 5 बढ़ जाएगा
(ख) 5 कम हो जाएगा
(ग) 5 गुना हो जाएगा
(घ) अपरिवर्तित रहेगा

प्रश्न 6: दो बंटनों A और B के लिए, माध्य और मानक विचलन क्रमशः (20, 4) और (25, 5) हैं। कौन सा बंटन अधिक स्थिर (consistent) है?
(क) बंटन A
(ख) बंटन B
(ग) दोनों समान रूप से स्थिर हैं
(घ) निर्धारित नहीं किया जा सकता

प्रश्न 7: आँकड़ों 2, 4, 6, 8, 10 का मानक विचलन (Standard Deviation) क्या है?
(क) 2
(ख) √2
(ग) 8
(घ) √8

प्रश्न 8: यदि किसी आवृत्ति बंटन के लिए Σfᵢ = 20, Σfᵢxᵢ = 100, और Σfᵢxᵢ² = 840 है, तो प्रसरण (Variance) क्या है?
(क) 17
(ख) 25
(ग) 42
(घ) 5

प्रश्न 9: माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन का मान सदैव होता है:
(क) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन से अधिक
(ख) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के बराबर
(ग) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन से कम या बराबर
(घ) शून्य

प्रश्न 10: विचरण गुणांक (Coefficient of Variation) का सूत्र है:
(क) (माध्य / मानक विचलन) * 100
(ख) (मानक विचलन / माध्य) * 100
(ग) (प्रसरण / माध्य) * 100
(घ) (मानक विचलन / प्रसरण) * 100

उत्तर कुंजी (Answer Key):

1. (ग) 7 (Max=10, Min=3, Range=10-3=7)
2. (ग) 36 (Variance = (S.D.)²)
3. (ख) 1.2 (माध्य = 3, विचलन = |-2, -1, 0, 1, 2|, योग = 6, M.D. = 6/5 = 1.2)
4. (क) परिसर
5. (घ) अपरिवर्तित रहेगा (मूल बिंदु के परिवर्तन से S.D. नहीं बदलता)
6. (क) बंटन A (C.V.(A) = (4/20)*100 = 20%; C.V.(B) = (5/25)*100 = 20%. दोनों समान रूप से स्थिर हैं - Correction: My initial thought was A, but calculation shows they are equal. Let's re-evaluate. Yes, both CVs are 20%. So the answer should be (ग). Corrected Answer: (ग) )
7. (घ) √8 (माध्य=6, विचलन वर्ग = 16, 4, 0, 4, 16, योग=40, प्रसरण=40/5=8, S.D.=√8)
8. (क) 17 (माध्य x̄ = 100/20 = 5. प्रसरण σ² = (Σfᵢxᵢ²/N) - (x̄)² = (840/20) - (5)² = 42 - 25 = 17)
9. (ग) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन से कम या बराबर
10. (ख) (मानक विचलन / माध्य) * 100

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। सरकारी परीक्षाओं में सांख्यिकी से प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं, खासकर मानक विचलन और विचरण गुणांक पर आधारित। शुभकामनाएँ!