Class 11 Mathematics Notes Chapter 13 (सीमा और अवकलज) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित विषय के अध्याय 13 'सीमा और अवकलज' (Limits and Derivatives) का गहराई से अध्ययन करेंगे। यह अध्याय न केवल आपकी कक्षा 11 की परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि विभिन्न सरकारी प्रतियोगी परीक्षाओं जैसे NDA, JEE (Mains), और अन्य इंजीनियरिंग प्रवेश परीक्षाओं के लिए भी आधार तैयार करता है।

अध्याय 13: सीमा और अवकलज (Limits and Derivatives)

1. सीमा (Limit)

• अवधारणा: सीमा की अवधारणा हमें यह समझने में मदद करती है कि किसी फलन (function) का मान किसी विशेष बिंदु के अत्यंत निकट पहुँचने पर किस मान की ओर अग्रसर होता है। यह आवश्यक नहीं है कि फलन उस विशेष बिंदु पर परिभाषित हो।

  • उदाहरण के लिए, फलन f(x) = (x² - 4) / (x - 2) पर विचार करें। यह फलन x = 2 पर परिभाषित नहीं है (क्योंकि हर शून्य हो जाएगा)। लेकिन जैसे-जैसे x का मान 2 के करीब जाता है (चाहे 2 से थोड़ा कम या 2 से थोड़ा अधिक), f(x) का मान 4 के करीब पहुँचता है। अतः, हम कहते हैं कि x = 2 पर फलन f(x) की सीमा 4 है।
  • गणितीय रूप में: lim (x→2) [(x² - 4) / (x - 2)] = 4

• वाम पक्ष सीमा (Left Hand Limit - LHL): जब चर (variable) x किसी बिंदु 'a' की ओर बाएं तरफ से (अर्थात 'a' से छोटे मानों से) अग्रसर होता है, तो फलन f(x) जिस मान की ओर अग्रसर होता है, उसे वाम पक्ष सीमा कहते हैं।

  • इसे lim (x→a⁻) f(x) या f(a⁻) से दर्शाते हैं।
  • LHL = lim (h→0) f(a - h), जहाँ h > 0 और बहुत छोटा है।

• दक्षिण पक्ष सीमा (Right Hand Limit - RHL): जब चर x किसी बिंदु 'a' की ओर दाएं तरफ से (अर्थात 'a' से बड़े मानों से) अग्रसर होता है, तो फलन f(x) जिस मान की ओर अग्रसर होता है, उसे दक्षिण पक्ष सीमा कहते हैं।

  • इसे lim (x→a⁺) f(x) या f(a⁺) से दर्शाते हैं।
  • RHL = lim (h→0) f(a + h), जहाँ h > 0 और बहुत छोटा है।

• सीमा का अस्तित्व (Existence of Limit): किसी बिंदु 'a' पर फलन f(x) की सीमा का अस्तित्व तभी होता है जब उसकी वाम पक्ष सीमा (LHL) और दक्षिण पक्ष सीमा (RHL) दोनों परिमित (finite) हों और बराबर हों।

  • अर्थात, lim (x→a) f(x) का अस्तित्व है यदि LHL = RHL = एक परिमित मान।

• अनिर्धार्य रूप (Indeterminate Forms): सीमा ज्ञात करते समय कभी-कभी 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 × ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰ जैसे रूप प्राप्त होते हैं। ये अनिर्धार्य रूप कहलाते हैं। इन स्थितियों में सीमा ज्ञात करने के लिए विशेष विधियों का उपयोग किया जाता है।

• सीमा ज्ञात करने की विधियाँ:

  1. प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन (Direct Substitution): यदि फलन बिंदु 'a' पर परिभाषित है और कोई अनिर्धार्य रूप नहीं बन रहा है, तो सीधे x = a रखकर सीमा ज्ञात की जा सकती है।
  2. गुणनखंडन (Factorization): यदि 0/0 रूप बनता है, तो अंश और हर के गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द किया जा सकता है।
     • उदाहरण: lim (x→2) [(x² - 4) / (x - 2)] = lim (x→2) [(x-2)(x+2) / (x-2)] = lim (x→2) (x+2) = 2+2 = 4
  3. परिमेयीकरण (Rationalization): यदि व्यंजक में वर्गमूल हो और 0/0 रूप बने, तो अंश या हर (या दोनों) का परिमेयीकरण किया जाता है।
  4. मानक सीमाओं का प्रयोग (Using Standard Limits): कुछ मानक सीमाएँ हैं जिनका सीधे प्रयोग किया जा सकता है:
     • lim (x→a) [ (xⁿ - aⁿ) / (x - a) ] = n * a^(n-1)
     • lim (x→0) [ sin(x) / x ] = 1 (यहाँ x रेडियन में है)
     • lim (x→0) [ tan(x) / x ] = 1 (यहाँ x रेडियन में है)
     • lim (x→0) [ (1 - cos(x)) / x ] = 0
     • lim (x→0) [ (eˣ - 1) / x ] = 1
     • lim (x→0) [ logₑ(1+x) / x ] = 1
     • lim (x→0) [ (aˣ - 1) / x ] = logₑ(a) (जहाँ a > 0, a ≠ 1)

• सीमाओं का बीजगणित (Algebra of Limits): यदि lim (x→a) f(x) = L और lim (x→a) g(x) = M हो, तो:

  • lim (x→a) [ f(x) ± g(x) ] = L ± M
  • lim (x→a) [ f(x) * g(x) ] = L * M
  • lim (x→a) [ k * f(x) ] = k * L (जहाँ k एक स्थिरांक है)
  • lim (x→a) [ f(x) / g(x) ] = L / M (यदि M ≠ 0)
  • lim (x→a) [ f(x) ]ⁿ = Lⁿ

2. अवकलज (Derivative)

• अवधारणा: अवकलज किसी फलन के किसी बिंदु पर परिवर्तन की तात्क्षणिक दर (instantaneous rate of change) को मापता है। ज्यामितीय रूप से, यह उस बिंदु पर फलन के ग्राफ की स्पर्शरेखा की प्रवणता (slope of the tangent) को दर्शाता है।

  • यदि y = f(x) एक फलन है, तो x के सापेक्ष y का अवकलज dy/dx या f'(x) से दर्शाया जाता है।

• प्रथम सिद्धांत से अवकलज (Derivative from First Principle): किसी फलन f(x) का अवकलज f'(x) निम्नलिखित सीमा द्वारा परिभाषित किया जाता है (यदि सीमा का अस्तित्व हो):

  • f'(x) = lim (h→0) [ (f(x+h) - f(x)) / h ]
  • इसे अवकलज की परिभाषा या 'delta method' भी कहते हैं।

• अवकलजों का बीजगणित (Algebra of Derivatives): यदि u और v, x के अवकलनीय फलन हैं, तो:

  • योग/अंतर नियम (Sum/Difference Rule): d/dx (u ± v) = du/dx ± dv/dx
  • गुणनफल नियम (Product Rule or Leibniz Rule): d/dx (u * v) = u * (dv/dx) + v * (du/dx)
  • भागफल नियम (Quotient Rule): d/dx (u / v) = [ v * (du/dx) - u * (dv/dx) ] / v² (जहाँ v ≠ 0)
  • स्थिरांक गुणन नियम (Constant Multiple Rule): d/dx (k * u) = k * (du/dx) (जहाँ k एक स्थिरांक है)

• कुछ मानक फलनों के अवकलज (Derivatives of Standard Functions):

  • d/dx (xⁿ) = n * x^(n-1) (n कोई वास्तविक संख्या है)
  • d/dx (c) = 0 (जहाँ c एक स्थिरांक है)
  • d/dx (sin x) = cos x
  • d/dx (cos x) = -sin x
  • d/dx (tan x) = sec² x
  • d/dx (cot x) = -csc² x
  • d/dx (sec x) = sec x tan x
  • d/dx (csc x) = -csc x cot x
  • d/dx (eˣ) = eˣ
  • d/dx (logₑ x) = 1/x (x > 0)
  • d/dx (aˣ) = aˣ logₑ(a) (a > 0, a ≠ 1)

• बहुपदीय और त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज: उपरोक्त नियमों और मानक अवकलजों का उपयोग करके किसी भी बहुपदीय फलन (जैसे 3x⁴ - 5x² + 2) या त्रिकोणमितीय फलनों के संयोजन (जैसे x sin x, cos x / x) का अवकलज ज्ञात किया जा सकता है।

महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points for Exams):

• सीमा और अवकलज कैलकुलस के आधार हैं। इनकी अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझें।
• सभी मानक सीमाओं और मानक अवकलजों को याद रखें।
• LHL और RHL की गणना करना सीखें, खासकर मापांक (modulus) और महत्तम पूर्णांक (greatest integer) फलनों के लिए।
• अनिर्धार्य रूपों को पहचानना और उन्हें हल करने की विधियों का अभ्यास करें।
• प्रथम सिद्धांत से अवकलज ज्ञात करना समझें, हालांकि प्रतियोगी परीक्षाओं में सीधे सूत्रों का उपयोग अधिक होता है।
• अवकलजों के बीजगणित (गुणनफल नियम, भागफल नियम) का सही उपयोग करना सीखें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

1. सीमा lim (x→0) [ sin(ax) / bx ] का मान है:
   (a) a/b
   (b) b/a
   (c) 1
   (d) 0

2. सीमा lim (x→π/2) [ (1 - sin x) / cos²x ] का मान है:
   (a) 1
   (b) 1/2
   (c) 2
   (d) 0

3. यदि f(x) = x² - 3x + 2, तो f'(2) का मान है:
   (a) 0
   (b) 1
   (c) -1
   (d) 2

4. फलन f(x) = |x| का x = 0 पर अवकलज:
   (a) 1
   (b) -1
   (c) 0
   (d) अस्तित्व में नहीं है

5. सीमा lim (x→3) [ (x³ - 27) / (x - 3) ] का मान है:
   (a) 9
   (b) 18
   (c) 27
   (d) 3

6. यदि y = x sin x, तो dy/dx का मान है:
   (a) sin x + x cos x
   (b) sin x - x cos x
   (c) cos x + x sin x
   (d) cos x - x sin x

7. d/dx (tan x) का मान है:
   (a) cot x
   (b) sec² x
   (c) -csc² x
   (d) sec x tan x

8. सीमा lim (x→0) [ (e²ˣ - 1) / x ] का मान है:
   (a) 1
   (b) 2
   (c) e
   (d) 1/2

9. यदि y = (x+1) / (x-1), तो dy/dx का मान है:
   (a) 2 / (x-1)²
   (b) -2 / (x-1)²
   (c) 1 / (x-1)²
   (d) -1 / (x-1)²

10. किसी बिंदु पर फलन के अवकलज का ज्यामितीय अर्थ है:
    (a) उस बिंदु पर फलन का मान
    (b) उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की प्रवणता
    (c) उस बिंदु पर अभिलम्ब की प्रवणता
    (d) x-अक्ष से दूरी

उत्तरमाला (Answer Key):

1. (a)
2. (b) [संकेत: cos²x = 1 - sin²x = (1-sin x)(1+sin x)]
3. (b) [संकेत: f'(x) = 2x - 3, f'(2) = 2(2) - 3 = 1]
4. (d) [संकेत: x=0 पर LHL ≠ RHL से अवकलनीयता जांचें या f'(0⁻) ≠ f'(0⁺)]
5. (c) [संकेत: मानक सीमा (xⁿ - aⁿ)/(x - a) का प्रयोग करें, n=3, a=3]
6. (a) [संकेत: गुणनफल नियम का प्रयोग करें]
7. (b) [संकेत: मानक अवकलज]
8. (b) [संकेत: 2 से गुणा और भाग करें, lim (y→0) (eʸ - 1)/y = 1 का प्रयोग करें, जहाँ y=2x]
9. (b) [संकेत: भागफल नियम का प्रयोग करें]
10. (b)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। अभ्यास करते रहें, शुभकामनाएँ!