Class 11 Mathematics Notes Chapter 14 (Chapter 14) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित एक्सेम्प्लर के अध्याय 14 - गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) का अध्ययन करते हैं। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं, विशेषकर जहाँ तार्किक योग्यता (Logical Reasoning) पूछी जाती है, के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें गणितीय कथनों की सत्यता या असत्यता की जाँच करने और तर्क करने का सही तरीका सिखाता है।

अध्याय 14: गणितीय विवेचन - विस्तृत नोट्स

1. कथन (Statements):

• परिभाषा: एक कथन एक ऐसा वाक्य होता है जो या तो सत्य (True) होता है या असत्य (False) होता है, परन्तु दोनों एक साथ नहीं हो सकता।
• उदाहरण:
  • "2 + 2 = 4" (सत्य कथन)
  • "सूर्य पश्चिम में उगता है।" (असत्य कथन)
  • "नई दिल्ली भारत की राजधानी है।" (सत्य कथन)
• कथन क्या नहीं हैं?
  • प्रश्नवाचक वाक्य (जैसे - "आप कहाँ जा रहे हैं?")
  • आदेशात्मक वाक्य (जैसे - "दरवाजा बंद करो।")
  • विस्मयादिबोधक वाक्य (जैसे - "कितना सुंदर मौसम है!")
  • अनिश्चित वाक्य (जैसे - "गणित एक कठिन विषय है।" - यह व्यक्तिपरक है)
  • वे वाक्य जिनमें 'आज', 'कल', 'यहाँ', 'वहाँ' जैसे शब्द हों और उनका संदर्भ स्पष्ट न हो (जैसे - "कल छुट्टी थी।")

2. कथनों का निषेध (Negation of Statements):

• किसी कथन का निषेध उसका विपरीत अर्थ देता है। यदि कथन 'p' है, तो उसका निषेध '~p' (या ¬p) से दर्शाया जाता है।
• निषेध बनाने के लिए सामान्यतः "नहीं" शब्द का प्रयोग किया जाता है या वाक्य का अर्थ उलट दिया जाता है।
• उदाहरण:
  • p: "संख्या 7 एक अभाज्य संख्या है।" (सत्य)
  • ~p: "संख्या 7 एक अभाज्य संख्या नहीं है।" (असत्य)
  • q: "सभी त्रिभुजों की तीन भुजाएँ होती हैं।" (सत्य)
  • ~q: "यह असत्य है कि सभी त्रिभुजों की तीन भुजाएँ होती हैं।" या "कम से कम एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीन भुजाएँ नहीं होती हैं।" (असत्य)

3. मिश्र कथन (Compound Statements):

• दो या दो से अधिक सरल कथनों को संयोजक शब्दों (Connectives) जैसे "और" (and), "या" (or) से जोड़कर मिश्र कथन बनाए जाते हैं।
• a) संयोजक "और" (Conjunction):
  • प्रतीक: ∧
  • यदि p और q दो कथन हैं, तो "p और q" (p ∧ q) तभी सत्य होता है जब p और q दोनों सत्य हों। अन्यथा यह असत्य होता है।
  • उदाहरण: p: "2 एक सम संख्या है।" (सत्य), q: "3 एक विषम संख्या है।" (सत्य)। तब p ∧ q: "2 एक सम संख्या है और 3 एक विषम संख्या है।" (सत्य)।
  • निषेध ~(p ∧ q): इसका निषेध (~p) ∨ (~q) होता है (डी मॉर्गन का नियम)।
    • उदाहरण: ~(p ∧ q): "यह असत्य है कि 2 सम है और 3 विषम है" या "2 सम नहीं है या 3 विषम नहीं है।"
• b) संयोजक "या" (Disjunction):
  • प्रतीक: ∨
  • यदि p और q दो कथन हैं, तो "p या q" (p ∨ q) तभी असत्य होता है जब p और q दोनों असत्य हों। अन्यथा यह सत्य होता है। (यह समावेशी 'या' है - Inclusive OR)
  • उदाहरण: p: "रविवार को छुट्टी होती है।" (सत्य), q: "गणतंत्र दिवस पर छुट्टी होती है।" (सत्य)। तब p ∨ q: "रविवार को छुट्टी होती है या गणतंत्र दिवस पर छुट्टी होती है।" (सत्य)।
  • निषेध ~(p ∨ q): इसका निषेध (~p) ∧ (~q) होता है (डी मॉर्गन का नियम)।
    • उदाहरण: ~(p ∨ q): "यह असत्य है कि रविवार को छुट्टी होती है या गणतंत्र दिवस पर छुट्टी होती है" या "रविवार को छुट्टी नहीं होती है और गणतंत्र दिवस पर छुट्टी नहीं होती है।"

4. परिमाणवाचक (Quantifiers):

• ये वाक्यांश होते हैं जो बताते हैं कि कथन कितने उदाहरणों पर लागू होता है।
• a) "सभी के लिए" (For all / For every):
  • प्रतीक: ∀
  • यह बताता है कि कथन किसी समूह के प्रत्येक सदस्य के लिए सत्य है।
  • उदाहरण: "सभी सम संख्याएँ 2 से विभाज्य होती हैं।"
  • निषेध: "सभी के लिए p" का निषेध "एक ऐसा अस्तित्व है जिसके लिए p नहीं है"।
    • उदाहरण का निषेध: "कम से कम एक ऐसी सम संख्या है जो 2 से विभाज्य नहीं है।"
• b) "एक ऐसा अस्तित्व है" (There exists):
  • प्रतीक: ∃
  • यह बताता है कि कथन किसी समूह के कम से कम एक सदस्य के लिए सत्य है।
  • उदाहरण: "कक्षा में एक ऐसा छात्र है जिसके 90% से अधिक अंक हैं।"
  • निषेध: "एक ऐसा अस्तित्व है जिसके लिए p" का निषेध "सभी के लिए p नहीं है"।
    • उदाहरण का निषेध: "कक्षा में सभी छात्रों के 90% से अधिक अंक नहीं हैं" या "कक्षा में किसी भी छात्र के 90% से अधिक अंक नहीं हैं।"

5. प्रतिबंधात्मक कथन (Implications / Conditional Statements):

• "यदि p तो q" (If p then q) के रूप वाले कथन।
• प्रतीक: p → q
• p को पूर्वपद (Hypothesis/Antecedent) और q को परिणाम (Conclusion/Consequent) कहते हैं।
• p → q केवल तभी असत्य होता है जब p सत्य हो और q असत्य हो। अन्य सभी स्थितियों में यह सत्य होता है।
• उदाहरण: "यदि बारिश होती है (p), तो सड़कें गीली हो जाती हैं (q)।"
• प्रतिबंधात्मक कथन से संबंधित अन्य कथन:
  • विलोम (Converse): q → p ("यदि सड़कें गीली हैं, तो बारिश हुई है।")
  • प्रतिलोम (Inverse): ~p → ~q ("यदि बारिश नहीं होती है, तो सड़कें गीली नहीं होती हैं।")
  • प्रतिधनात्मक (Contrapositive): ~q → ~p ("यदि सड़कें गीली नहीं हैं, तो बारिश नहीं हुई है।")
  • महत्वपूर्ण: कोई कथन (p → q) और उसका प्रतिधनात्मक (~q → ~p) तार्किक रूप से समतुल्य (Logically Equivalent) होते हैं, अर्थात् दोनों का सत्य मान हमेशा समान होता है। विलोम और प्रतिलोम भी आपस में समतुल्य होते हैं।

6. द्विप्रतिबंधात्मक कथन (Biconditional Statements):

• "p यदि और केवल यदि q" (p if and only if q) के रूप वाले कथन।
• प्रतीक: p ↔ q
• यह (p → q) ∧ (q → p) के समतुल्य है।
• p ↔ q तभी सत्य होता है जब p और q दोनों का सत्य मान समान हो (या तो दोनों सत्य हों या दोनों असत्य हों)।
• उदाहरण: "एक त्रिभुज समबाहु है यदि और केवल यदि उसकी तीनों भुजाएँ बराबर हैं।"

7. कथनों की वैधता (Validity of Statements):

• गणितीय कथनों को सिद्ध करने या उनकी वैधता जांचने की विधियाँ:
  • प्रत्यक्ष उपपत्ति (Direct Proof): p को सत्य मानकर तार्किक चरणों द्वारा q को सत्य सिद्ध करना।
  • प्रतिधनात्मक द्वारा उपपत्ति (Proof by Contrapositive): ~q को सत्य मानकर तार्किक चरणों द्वारा ~p को सत्य सिद्ध करना (चूंकि p → q और ~q → ~p समतुल्य हैं)।
  • विरोधाभास द्वारा उपपत्ति (Proof by Contradiction): कथन को असत्य मान लेना (अर्थात् p सत्य और q असत्य मान लेना) और फिर तार्किक चरणों द्वारा किसी ज्ञात तथ्य या स्वयं की मान्यता का खंडन (विरोधाभास) प्राप्त करना।
  • प्रत्युदाहरण द्वारा खंडन (Disproof by Counterexample): यदि कोई कथन "सभी x के लिए p(x) सत्य है" के रूप का है, तो उसे असत्य सिद्ध करने के लिए केवल एक ऐसा x खोजना पर्याप्त है जिसके लिए p(x) असत्य हो। इसे प्रत्युदाहरण कहते हैं।

परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण:

• कथनों की पहचान करना।
• कथनों का सही निषेध लिखना (विशेषकर 'और', 'या', 'सभी के लिए', 'एक ऐसा अस्तित्व है' वाले कथनों का)।
• प्रतिबंधात्मक कथनों के विलोम, प्रतिलोम और प्रतिधनात्मक ज्ञात करना।
• कथन और उसके प्रतिधनात्मक की समतुल्यता को समझना।
• डी मॉर्गन के नियमों का अनुप्रयोग: ~(p ∧ q) ≡ (~p) ∨ (~q) और ~(p ∨ q) ≡ (~p) ∧ (~q)।

अभ्यास हेतु 10 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा एक कथन है?
(a) दरवाजा बंद करो।
(b) आज मौसम कितना सुहावना है!
(c) x + 5 = 11
(d) 5 एक अभाज्य संख्या है।

प्रश्न 2: कथन "√7 एक अपरिमेय संख्या है" का निषेध है:
(a) √7 एक परिमेय संख्या है।
(b) √7 एक पूर्णांक है।
(c) यह असत्य है कि √7 एक अपरिमेय संख्या है।
(d) (a) और (c) दोनों

प्रश्न 3: कथन "सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए, x² ≥ 0" का निषेध है:
(a) सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए, x² < 0
(b) कम से कम एक वास्तविक संख्या x ऐसी है जिसके लिए x² < 0
(c) कम से कम एक वास्तविक संख्या x ऐसी है जिसके लिए x² ≤ 0
(d) कोई वास्तविक संख्या x ऐसी नहीं है जिसके लिए x² ≥ 0

प्रश्न 4: कथन p → q का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) है:
(a) q → p
(b) ~p → ~q
(c) ~q → ~p
(d) p ↔ q

प्रश्न 5: मिश्र कथन "संख्या 3 अभाज्य है और विषम है" का निषेध है:
(a) संख्या 3 अभाज्य नहीं है और विषम नहीं है।
(b) संख्या 3 अभाज्य है या विषम नहीं है।
(c) संख्या 3 अभाज्य नहीं है या विषम नहीं है।
(d) संख्या 3 अभाज्य नहीं है और विषम है।

प्रश्न 6: कथन "यदि आप परिश्रम करते हैं, तो आप सफल होंगे" का विलोम (Converse) है:
(a) यदि आप परिश्रम नहीं करते हैं, तो आप सफल नहीं होंगे।
(b) यदि आप सफल होते हैं, तो आपने परिश्रम किया है।
(c) यदि आप सफल नहीं होते हैं, तो आपने परिश्रम नहीं किया है।
(d) आप परिश्रम करते हैं यदि और केवल यदि आप सफल होते हैं।

प्रश्न 7: निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है? (p: "2+2=4", q: "सूर्य पूर्व से उगता है")
(a) p ∧ (~q)
(b) (~p) ∨ q
(c) p → (~q)
(d) p ∨ q

प्रश्न 8: कथन "कम से कम एक भारतीय नागरिक ऐसा है जो ईमानदार है" का निषेध है:
(a) कम से कम एक भारतीय नागरिक ऐसा है जो ईमानदार नहीं है।
(b) सभी भारतीय नागरिक ईमानदार हैं।
(c) कोई भी भारतीय नागरिक ईमानदार नहीं है।
(d) सभी भारतीय नागरिक ईमानदार नहीं हैं।

प्रश्न 9: कथन p ↔ q सत्य होता है यदि:
(a) p सत्य है और q असत्य है।
(b) p असत्य है और q सत्य है।
(c) p और q दोनों सत्य हैं या दोनों असत्य हैं।
(d) p और q में से कम से कम एक सत्य है।

प्रश्न 10: कथन "यदि x = 3, तो x² = 9" का प्रतिलोम (Inverse) है:
(a) यदि x² = 9, तो x = 3
(b) यदि x ≠ 3, तो x² ≠ 9
(c) यदि x² ≠ 9, तो x ≠ 3
(d) यदि x = 3, तो x² ≠ 9

उत्तर कुंजी (Answer Key):

1. (d)
2. (d) - (a) और (c) दोनों निषेध व्यक्त करते हैं।
3. (b)
4. (c)
5. (c) - डी मॉर्गन नियम: ~(p ∧ q) ≡ (~p) ∨ (~q)
6. (b)
7. (d) - p सत्य है, q सत्य है। p ∨ q सत्य होगा।
8. (c) - "कम से कम एक है" का निषेध "कोई नहीं है" या "सभी नहीं हैं"। यहाँ "कोई नहीं है" अधिक सटीक है।
9. (c)
10. (b)

इन नोट्स और प्रश्नों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें। गणितीय विवेचन आपकी तार्किक क्षमता को बढ़ाता है, जो सभी प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए आवश्यक है। शुभकामनाएँ!