Class 11 Mathematics Notes Chapter 15 (Chapter 15) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित एक्सेम्पलर के अध्याय 15, 'सांख्यिकी' (Statistics) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि आंकड़ों का विश्लेषण और उनकी व्याख्या कई प्रतियोगी परीक्षाओं का हिस्सा होता है।

अध्याय 15: सांख्यिकी (Statistics) - विस्तृत नोट्स

1. परिचय (Introduction)
सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जिसमें आंकड़ों का संग्रहण, संगठन, प्रस्तुतिकरण, विश्लेषण तथा निर्वचन (interpretation) किया जाता है। इस अध्याय में, हम मुख्य रूप से आंकड़ों के प्रकीर्णन या बिखराव (dispersion) के मापों पर ध्यान केंद्रित करेंगे। केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (माध्य, माध्यिका, बहुलक) हमें आंकड़ों के केंद्र के बारे में बताते हैं, लेकिन यह नहीं बताते कि आंकड़े उस केंद्र के आसपास कितने फैले हुए हैं। इसी फैलाव को मापने के लिए हम प्रकीर्णन के मापों का उपयोग करते हैं।

2. प्रकीर्णन की माप (Measures of Dispersion)
प्रकीर्णन की माप यह दर्शाती है कि आंकड़े अपने केंद्रीय मान (आमतौर पर माध्य) से औसतन कितनी दूर तक फैले हुए हैं। मुख्य माप निम्नलिखित हैं:

• क) परिसर (Range):

  • यह प्रकीर्णन का सबसे सरल माप है।
  • यह आंकड़ों के अधिकतम मान (L) और न्यूनतम मान (S) के बीच का अंतर होता है।
  • सूत्र: परिसर = L - S
  • गुण: गणना में आसान।
  • दोष: यह केवल चरम मानों पर निर्भर करता है और आंकड़ों के बाकी वितरण के बारे में कोई जानकारी नहीं देता। यह बाह्य मानों (outliers) से अत्यधिक प्रभावित होता है।

• ख) माध्य विचलन (Mean Deviation):

  • यह आंकड़ों का उनके केंद्रीय मान (माध्य या माध्यिका) से विचलनों के निरपेक्ष मानों (absolute values) का औसत होता है।
  • i) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (M.D.(x̄)):
    • अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए: M.D.(x̄) = Σ |xᵢ - x̄| / n, जहाँ x̄ माध्य है और n प्रेक्षणों की संख्या है।
    • वर्गीकृत आंकड़ों के लिए (असंतत/संतत): M.D.(x̄) = Σ fᵢ |xᵢ - x̄| / N, जहाँ N = Σ fᵢ कुल बारंबारता है, xᵢ वर्ग का मध्य-बिंदु (संतत के लिए) या चर मान (असंतत के लिए) है।
  • ii) माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (M.D.(M)):
    • अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए: M.D.(M) = Σ |xᵢ - M| / n, जहाँ M माध्यिका है।
    • वर्गीकृत आंकड़ों के लिए (असंतत/संतत): M.D.(M) = Σ fᵢ |xᵢ - M| / N, जहाँ M माध्यिका है।
  • गुण: यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित होता है।
  • दोष: निरपेक्ष मानों (+) या (-) चिन्हों को अनदेखा करने के कारण गणितीय गुणों की कमी।

• ग) प्रसरण (Variance) और मानक विचलन (Standard Deviation):

  • ये प्रकीर्णन के सबसे महत्वपूर्ण और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले माप हैं।
  • प्रसरण (σ²): यह माध्य से प्रेक्षणों के विचलनों के वर्गों का औसत होता है।
    • अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए:
      σ² = Σ (xᵢ - x̄)² / n
      या (शॉर्टकट विधि): σ² = Σ xᵢ² / n - (Σ xᵢ / n)² = Σ xᵢ² / n - (x̄)²
    • वर्गीकृत आंकड़ों के लिए (असंतत/संतत):
      σ² = Σ fᵢ (xᵢ - x̄)² / N
      या (शॉर्टकट विधि): σ² = Σ fᵢ xᵢ² / N - (Σ fᵢ xᵢ / N)² = Σ fᵢ xᵢ² / N - (x̄)²
      या (पद विचलन विधि - संतत के लिए): σ² = h² [ Σ fᵢ uᵢ² / N - (Σ fᵢ uᵢ / N)² ], जहाँ uᵢ = (xᵢ - A) / h, A कल्पित माध्य है और h वर्ग माप है।
  • मानक विचलन (σ): यह प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल होता है।
    • σ = √प्रसरण
    • इसकी इकाई वही होती है जो मूल आंकड़ों की होती है, इसलिए इसकी व्याख्या करना आसान होता है।
  • गुण: ये सभी प्रेक्षणों पर आधारित होते हैं, गणितीय गुणों से युक्त होते हैं और बीजगणितीय विवेचन के लिए उपयुक्त हैं।
  • दोष: गणना जटिल हो सकती है। बाह्य मानों से प्रभावित होते हैं।

• घ) विचरण गुणांक (Coefficient of Variation - C.V.):

  • यह प्रकीर्णन का एक सापेक्ष माप है। इसका उपयोग दो या दो से अधिक श्रृंखलाओं की स्थिरता या विसंगति (variability) की तुलना करने के लिए किया जाता है, खासकर जब उनकी इकाइयाँ या माध्य अलग-अलग हों।
  • सूत्र: C.V. = (σ / x̄) * 100 (जहाँ x̄ ≠ 0)
  • व्याख्या:
    • जिस श्रृंखला का C.V. कम होता है, वह अधिक स्थिर (consistent) या कम परिवर्तनशील (less variable) मानी जाती है।
    • जिस श्रृंखला का C.V. अधिक होता है, वह कम स्थिर या अधिक परिवर्तनशील मानी जाती है।

3. प्रसरण और मानक विचलन के गुणधर्म:

• मानक विचलन हमेशा एक गैर-ऋणात्मक (non-negative) राशि होती है।
• यदि सभी प्रेक्षण समान हैं, तो मानक विचलन शून्य होता है।
• मूल बिंदु में परिवर्तन का प्रभाव (Effect of Change of Origin): यदि प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिर राशि 'a' जोड़ी या घटाई जाती है, तो प्रसरण और मानक विचलन अपरिवर्तित रहते हैं।
  • यदि yᵢ = xᵢ ± a, तो σ²(y) = σ²(x) और σ(y) = σ(x)
• पैमाने में परिवर्तन का प्रभाव (Effect of Change of Scale): यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिर राशि 'b' (b ≠ 0) से गुणा या भाग किया जाता है, तो:
  • नया प्रसरण = b² * (पुराना प्रसरण)
  • नया मानक विचलन = |b| * (पुराना मानक विचलन)
  • यदि yᵢ = b * xᵢ, तो σ²(y) = b² * σ²(x) और σ(y) = |b| * σ(x)
  • यदि yᵢ = (xᵢ / b), तो σ²(y) = (1/b²) * σ²(x) और σ(y) = (1/|b|) * σ(x)
  • यदि yᵢ = a + b*xᵢ, तो σ²(y) = b² * σ²(x) और σ(y) = |b| * σ(x)

4. आंकड़ों का विश्लेषण (Analysis of Data):

• प्रकीर्णन के विभिन्न मापों का उपयोग करके, हम आंकड़ों के फैलाव की प्रकृति को समझ सकते हैं।
• विचरण गुणांक (C.V.) का उपयोग करके विभिन्न समूहों (जैसे विभिन्न खिलाड़ियों के प्रदर्शन, विभिन्न फैक्ट्रियों के उत्पादन) की स्थिरता की तुलना की जा सकती है।

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

• सभी सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें, खासकर मानक विचलन और प्रसरण के विभिन्न रूपों (अवर्गीकृत, वर्गीकृत, शॉर्टकट, पद-विचलन) को।
• माध्य विचलन की गणना माध्य और माध्यिका दोनों के सापेक्ष करना सीखें।
• प्रसरण और मानक विचलन पर मूल बिंदु और पैमाने में परिवर्तन के प्रभाव को समझें। इस पर आधारित प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।
• विचरण गुणांक (C.V.) की गणना और उसकी व्याख्या (कौन सा समूह अधिक स्थिर है) करना सीखें।
• समझें कि किस स्थिति में कौन सा माप अधिक उपयुक्त है (जैसे, परिसर सरल है लेकिन कम जानकारी देता है, माध्य विचलन निरपेक्ष मानों का उपयोग करता है, मानक विचलन सबसे व्यापक रूप से उपयोग होता है)।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: आंकड़ों 3, 10, 4, 7, 10, 5 का परिसर (Range) क्या है?
(a) 7
(b) 6
(c) 5
(d) 3

प्रश्न 2: प्रथम पाँच धन पूर्णांकों (1, 2, 3, 4, 5) का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (Mean Deviation about Mean) क्या है?
(a) 1.0
(b) 1.2
(c) 1.5
(d) 2.0

प्रश्न 3: यदि आंकड़ों के एक समुच्चय का प्रसरण 144 है, तो मानक विचलन क्या है?
(a) 12
(b) 24
(c) 72
(d) 144

प्रश्न 4: आंकड़ों 2, 4, 6, 8, 10 का प्रसरण (Variance) क्या है?
(a) 6
(b) 8
(c) 10
(d) √8

प्रश्न 5: यदि प्रेक्षणों x₁, x₂, ..., x<0xE2><0x82><0x99> के समुच्चय का मानक विचलन σ है, तो प्रेक्षणों 3x₁ + 5, 3x₂ + 5, ..., 3x<0xE2><0x82><0x99> + 5 का मानक विचलन क्या होगा?
(a) σ
(b) 3σ
(c) 3σ + 5
(d) 9σ²

प्रश्न 6: दो कारखानों A और B के मजदूरों की मजदूरी के लिए निम्नलिखित आंकड़े दिए गए हैं:
| कारखाना A | कारखाना B
-------------|------------|------------
मजदूरों की संख्या | 50 | 60
औसत मासिक मजदूरी | ₹ 5250 | ₹ 5250
मजदूरी बंटन का प्रसरण | 100 | 121

किस कारखाने की मजदूरी में अधिक विचरण (variability) है?
(a) कारखाना A
(b) कारखाना B
(c) दोनों में समान विचरण है
(d) निर्धारित नहीं किया जा सकता

प्रश्न 7: प्रकीर्णन का कौन सा माप चरम मानों (extreme values) से सबसे अधिक प्रभावित होता है?
(a) परिसर
(b) माध्य विचलन
(c) मानक विचलन
(d) चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation)

प्रश्न 8: मानक विचलन (σ) और प्रसरण (σ²) के बीच सही संबंध क्या है?
(a) σ = σ²
(b) σ² = √σ
(c) σ = √σ² (σ ≥ 0)
(d) σ = (σ²)²

प्रश्न 9: आंकड़ों 5, 8, 4, 10, 6, 7 का माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (Mean Deviation about Median) क्या है?
(a) 1.5
(b) 1.67
(c) 1.83
(d) 2.0

प्रश्न 10: यदि किसी बारंबारता बंटन का माध्य (x̄) 50 है और विचरण गुणांक (C.V.) 40% है, तो मानक विचलन (σ) क्या है?
(a) 10
(b) 20
(c) 25
(d) 40

उत्तरमाला (MCQs):

1. (a) [L=10, S=3, परिसर = 10-3=7]
2. (b) [माध्य = (1+2+3+4+5)/5 = 3. M.D.(x̄) = (|1-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|5-3|)/5 = (2+1+0+1+2)/5 = 6/5 = 1.2]
3. (a) [मानक विचलन = √प्रसरण = √144 = 12]
4. (b) [माध्य = (2+4+6+8+10)/5 = 6. प्रसरण = Σ(xᵢ - x̄)² / n = [(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5 = [16+4+0+4+16]/5 = 40/5 = 8]
5. (b) [गुणधर्म: σ(ax+b) = |a|σ(x). यहाँ a=3, b=5. नया σ = |3|σ = 3σ]
6. (b) [तुलना के लिए C.V. निकालें. C.V.(A) = (√100 / 5250) * 100 = (10/5250)*100 ≈ 0.19%. C.V.(B) = (√121 / 5250) * 100 = (11/5250)*100 ≈ 0.21%. चूँकि C.V.(B) > C.V.(A), कारखाना B में अधिक विचरण है।]
7. (a) [परिसर केवल अधिकतम और न्यूनतम मान पर निर्भर करता है।]
8. (c) [मानक विचलन प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल होता है।]
9. (c) [आंकड़ों को क्रम में रखें: 4, 5, 6, 7, 8, 10. माध्यिका (M) = (6+7)/2 = 6.5. M.D.(M) = (|4-6.5|+|5-6.5|+|6-6.5|+|7-6.5|+|8-6.5|+|10-6.5|)/6 = (2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+3.5)/6 = 10/6 ≈ 1.67. Correction: Let's recheck calculation. (2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+3.5) = 10. 10/6 = 5/3 ≈ 1.67. Option (b) seems correct. Let me double check the options provided or my calculation. Re-calculating: |4-6.5|=2.5, |5-6.5|=1.5, |6-6.5|=0.5, |7-6.5|=0.5, |8-6.5|=1.5, |10-6.5|=3.5. Sum = 2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+3.5 = 10.0. Mean Deviation = 10.0 / 6 = 5/3 ≈ 1.67. Option (b) is correct. My initial option (c) was wrong. Let's stick with (b). ]
10. (b) [C.V. = (σ / x̄) * 100 => 40 = (σ / 50) * 100 => 40 = 2σ => σ = 20]

Correction for Q9: The correct answer is (b) 1.67.

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छे से अभ्यास करें। सांख्यिकी में सूत्रों को समझना और सही तरीके से लागू करना बहुत महत्वपूर्ण है। शुभकामनाएँ!