Class 11 Mathematics Notes Chapter 16 (Chapter 16) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित एक्सेम्पलर के अध्याय 16 - प्रायिकता (Probability) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसमें हम किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप ज्ञात करना सीखते हैं।

अध्याय 16: प्रायिकता - विस्तृत नोट्स

1. यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment):

   • एक ऐसा प्रयोग जिसके एक से अधिक संभावित परिणाम हों।
   • प्रयोग करने से पहले यह निश्चित रूप से नहीं बताया जा सकता कि कौन सा परिणाम आएगा।
   • उदाहरण: एक सिक्के को उछालना, एक पासे को फेंकना, ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालना।

2. परिणाम (Outcome):

   • यादृच्छिक प्रयोग के किसी संभावित नतीजे को परिणाम कहते हैं।
   • उदाहरण: एक पासे को फेंकने पर '4' आना एक परिणाम है।

3. प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space - S):

   • किसी यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित सभी संभव परिणामों का समुच्चय प्रतिदर्श समष्टि कहलाता है। इसे 'S' से दर्शाते हैं।
   • उदाहरण:
     • एक सिक्के को उछालने पर S = {चित्त (H), पट (T)}
     • एक पासे को फेंकने पर S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
     • दो सिक्कों को उछालने पर S = {HH, HT, TH, TT}

4. घटना (Event - E):

   • प्रतिदर्श समष्टि S का कोई उपसमुच्चय एक घटना कहलाता है। इसे 'E' से दर्शाते हैं।
   • सरल घटना (Simple Event): ऐसी घटना जिसमें प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक ही अवयव हो। उदाहरण: पासा फेंकने पर '3' आना, E = {3}।
   • मिश्र घटना (Compound Event): ऐसी घटना जिसमें प्रतिदर्श समष्टि के एक से अधिक अवयव हों। उदाहरण: पासा फेंकने पर एक सम संख्या आना, E = {2, 4, 6}।
   • असंभव घटना (Impossible Event): ऐसी घटना जो कभी घटित नहीं हो सकती। इसका समुच्चय रिक्त (∅) होता है। उदाहरण: पासा फेंकने पर '7' आना। P(∅) = 0।
   • निश्चित घटना (Sure Event): ऐसी घटना जिसका घटित होना निश्चित है। यह पूरे प्रतिदर्श समष्टि (S) के बराबर होती है। उदाहरण: पासा फेंकने पर 7 से कम अंक आना। P(S) = 1।

5. घटनाओं के प्रकार:

   • परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events): दो या दो से अधिक घटनाएँ परस्पर अपवर्जी कहलाती हैं यदि उनमें कोई भी परिणाम उभयनिष्ठ न हो, अर्थात् उनका सर्वनिष्ठ (Intersection) रिक्त समुच्चय हो। यदि E और F परस्पर अपवर्जी हैं, तो E ∩ F = ∅। उदाहरण: एक पासे की फेंक में, सम संख्या आना (A = {2, 4, 6}) और विषम संख्या आना (B = {1, 3, 5}) परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि A ∩ B = ∅।
   • निःशेष घटनाएँ (Exhaustive Events): दो या दो से अधिक घटनाएँ निःशेष कहलाती हैं यदि उनका सम्मिलन (Union) प्रतिदर्श समष्टि के बराबर हो। यदि E₁, E₂, ..., Eₙ निःशेष घटनाएँ हैं, तो E₁ ∪ E₂ ∪ ... ∪ Eₙ = S। उदाहरण: पासे की फेंक में, घटना A = {1, 2, 3} और घटना B = {3, 4, 5, 6} निःशेष नहीं हैं क्योंकि A ∪ B ≠ S। लेकिन A = {1, 2, 3, 4} और B = {4, 5, 6} निःशेष हैं क्योंकि A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S।
   • पूरक घटना (Complementary Event): किसी घटना E के संगत एक अन्य घटना 'E नहीं' (जिसे E' या Eᶜ से दर्शाते हैं) होती है, जो E की पूरक घटना कहलाती है। E' में वे सभी परिणाम होते हैं जो S में हैं परन्तु E में नहीं हैं। E ∪ E' = S और E ∩ E' = ∅।

6. घटनाओं का बीजगणित (Algebra of Events):

   • घटना 'A या B' (A or B): इसे A ∪ B से दर्शाते हैं। इसमें वे सभी परिणाम शामिल होते हैं जो A में हैं, या B में हैं, या दोनों में हैं।
   • घटना 'A और B' (A and B): इसे A ∩ B से दर्शाते हैं। इसमें वे सभी परिणाम शामिल होते हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं।
   • घटना 'A नहीं' (Not A): इसे A' या Aᶜ से दर्शाते हैं। इसमें वे सभी परिणाम शामिल होते हैं जो A में नहीं हैं।

7. प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण (Axiomatic Approach to Probability):

   • मान लीजिए S एक प्रतिदर्श समष्टि है। S के प्रत्येक घटना E के संगत एक वास्तविक संख्या P(E) संबद्ध होती है, जिसे घटना E की प्रायिकता कहते हैं। यह निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है:
     • (i) अनृणात्मकता (Non-negativity): किसी भी घटना E के लिए, P(E) ≥ 0.
     • (ii) निश्चितता (Certainty): प्रतिदर्श समष्टि S की प्रायिकता 1 होती है, अर्थात् P(S) = 1.
     • (iii) सम्मिलन (Union): यदि E और F दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं (अर्थात् E ∩ F = ∅), तो P(E ∪ F) = P(E) + P(F).
   • इन अभिगृहीतों से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी घटना E के लिए, 0 ≤ P(E) ≤ 1.

8. महत्वपूर्ण परिणाम:

   • किसी घटना E की पूरक घटना E' की प्रायिकता: P(E') = 1 - P(E).
   • यदि E और F कोई दो घटनाएँ हैं, तो P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F).
   • यदि E और F परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(E ∩ F) = 0, इसलिए P(E ∪ F) = P(E) + P(F).
   • P(∅) = 0 (असंभव घटना की प्रायिकता).

9. समसंभाव्य परिणामों के लिए प्रायिकता (Probability for Equally Likely Outcomes):

   • यदि किसी यादृच्छिक प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि S में n परिमित परिणाम हैं जो सभी समसंभाव्य हैं (अर्थात् प्रत्येक परिणाम के घटित होने की संभावना समान है), और घटना E के अनुकूल m परिणाम हैं (जहाँ m ≤ n), तो घटना E की प्रायिकता है:
     P(E) = (घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल संभावित परिणामों की संख्या) = m / n = n(E) / n(S)
   • उदाहरण: एक निष्पक्ष पासे को फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता।
     S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, तो n(S) = 6.
     सम संख्या आने की घटना E = {2, 4, 6}, तो n(E) = 3.
     अतः, P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 6 = 1/2.

उदाहरण:

• सिक्का: एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने पर चित्त आने की प्रायिकता 1/2 है।
• पासा: एक निष्पक्ष पासे को फेंकने पर 5 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता। S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = {6}. P(E) = 1/6.
• ताश: 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकालने पर उसके इक्का होने की प्रायिकता। कुल पत्ते n(S) = 52. इक्के n(E) = 4. P(E) = 4/52 = 1/13.

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: एक पासे को एक बार फेंका जाता है। संख्या 3 या 4 आने की प्रायिकता क्या है?
(a) 1/6
(b) 2/6
(c) 3/6
(d) 4/6

प्रश्न 2: यदि P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.2 है, तो P(A ∪ B) का मान क्या है?
(a) 0.7
(b) 0.9
(c) 0.3
(d) 0.1

प्रश्न 3: एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। थैले से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?
(a) 3/5
(b) 5/8
(c) 3/8
(d) 1

प्रश्न 4: दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। कम से कम एक पट (Tail) आने की प्रायिकता क्या है?
(a) 1/4
(b) 2/4
(c) 3/4
(d) 1

प्रश्न 5: यदि E एक निश्चित घटना है, तो P(E) का मान क्या है?
(a) 0
(b) 1
(c) 1/2
(d) परिभाषित नहीं

प्रश्न 6: यदि A और B दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो P(A ∩ B) का मान क्या है?
(a) 1
(b) 0
(c) P(A) * P(B)
(d) P(A) + P(B)

प्रश्न 7: 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। पत्ते के बादशाह या बेगम होने की प्रायिकता क्या है?
(a) 1/13
(b) 2/13
(c) 4/13
(d) 8/52

प्रश्न 8: किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता 0.63 है। उस घटना के घटित होने की प्रायिकता क्या है?
(a) 0.37
(b) 0.63
(c) 1
(d) 0

प्रश्न 9: एक असंभव घटना की प्रायिकता होती है:
(a) 1
(b) 0
(c) 1/2
(d) अनिश्चित

प्रश्न 10: शब्द 'PROBABILITY' से यादृच्छया एक अक्षर चुना जाता है। चुने गए अक्षर के स्वर (Vowel) होने की प्रायिकता क्या है?
(a) 3/11
(b) 4/11
(c) 5/11
(d) 7/11

उत्तरमाला (MCQs):

1. (b) 2/6 (या 1/3) [अनुकूल परिणाम {3, 4}, कुल परिणाम {1, 2, 3, 4, 5, 6}]
2. (a) 0.7 [P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7]
3. (c) 3/8 [कुल गेंदें = 3 + 5 = 8, लाल गेंदें = 3]
4. (c) 3/4 [S = {HH, HT, TH, TT}, कम से कम एक पट वाले परिणाम = {HT, TH, TT}]
5. (b) 1
6. (b) 0
7. (b) 2/13 [बादशाह = 4, बेगम = 4, कुल अनुकूल = 8. प्रायिकता = 8/52 = 2/13]
8. (a) 0.37 [P(E) = 1 - P(E') = 1 - 0.63 = 0.37]
9. (b) 0
10. (b) 4/11 [कुल अक्षर = 11, स्वर (O, A, I, I) = 4]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह अभ्यास करें। प्रायिकता के मूल सिद्धांतों को समझना प्रतियोगी परीक्षाओं में सफलता के लिए आवश्यक है। शुभकामनाएँ!