Class 11 Mathematics Notes Chapter 16 (प्रायिकता) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित विषय के अध्याय 16, 'प्रायिकता' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे जुड़े प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। हम इसके मुख्य बिंदुओं और सूत्रों को विस्तार से समझेंगे।

अध्याय 16: प्रायिकता (Probability)

1. परिचय (Introduction)

प्रायिकता गणित की वह शाखा है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप प्रस्तुत करती है। दैनिक जीवन में हम अक्सर अनिश्चितता का सामना करते हैं, जैसे "आज वर्षा होने की संभावना है" या "भारत के मैच जीतने का अच्छा अवसर है"। प्रायिकता हमें इन संभावनाओं को गणितीय रूप से व्यक्त करने में मदद करती है।

2. आधारभूत शब्दावली (Basic Terminology)

• यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment): एक ऐसा प्रयोग जिसके एक से अधिक संभावित परिणाम हों और प्रयोग करने से पहले किसी निश्चित परिणाम की भविष्यवाणी करना संभव न हो।
  • उदाहरण: एक सिक्के को उछालना, एक पासे को फेंकना, ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालना।
• परिणाम (Outcome): यादृच्छिक प्रयोग का एक संभावित नतीजा।
  • उदाहरण: सिक्के को उछालने पर 'चित' (Head) आना एक परिणाम है।
• प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space): किसी यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित सभी संभावित परिणामों का समुच्चय। इसे सामान्यतः 'S' से दर्शाया जाता है।
  • उदाहरण:
    • एक सिक्के को उछालने पर S = {चित, पट} या {H, T}
    • एक पासे को फेंकने पर S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    • दो सिक्कों को उछालने पर S = {HH, HT, TH, TT}
• घटना (Event): प्रतिदर्श समष्टि S का कोई उपसमुच्चय एक घटना कहलाता है। इसे सामान्यतः E, F, A, B आदि अक्षरों से दर्शाया जाता है।
  • उदाहरण: एक पासे को फेंकने के प्रयोग में, घटना 'सम संख्या आना' E = {2, 4, 6} है, जो S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} का उपसमुच्चय है।

3. घटनाओं के प्रकार (Types of Events)

• असंभव घटना (Impossible Event): वह घटना जो कभी घटित नहीं हो सकती। इसका समुच्चय रिक्त समुच्चय (Φ) होता है। P(Φ) = 0.
  • उदाहरण: पासे को फेंकने पर संख्या 7 आना।
• निश्चित घटना (Sure Event): वह घटना जिसका घटित होना निश्चित है। यह पूरे प्रतिदर्श समष्टि (S) के बराबर होती है। P(S) = 1.
  • उदाहरण: पासे को फेंकने पर 7 से कम संख्या आना।
• सरल या प्रारंभिक घटना (Simple or Elementary Event): वह घटना जिसमें प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक ही अवयव हो।
  • उदाहरण: पासे को फेंकने पर 'संख्या 4 आना' एक सरल घटना है, E = {4}.
• मिश्र घटना (Compound Event): वह घटना जिसमें प्रतिदर्श समष्टि के एक से अधिक अवयव हों।
  • उदाहरण: पासे को फेंकने पर 'विषम संख्या आना' एक मिश्र घटना है, E = {1, 3, 5}.

4. घटनाओं का बीजगणित (Algebra of Events)

मान लीजिए A और B, प्रतिदर्श समष्टि S से संबंधित दो घटनाएँ हैं।

• पूरक घटना (Complementary Event): घटना 'A नहीं' (Not A), जिसे A' या Aᶜ से दर्शाते हैं, A की पूरक घटना कहलाती है। यह S के उन सभी परिणामों का समुच्चय है जो A में नहीं हैं।
  • A ∪ A' = S
  • A ∩ A' = Φ
• घटना 'A या B' (Event 'A or B'): यह उन सभी परिणामों का समुच्चय है जो या तो A में हैं, या B में हैं, या दोनों में हैं। इसे A ∪ B से दर्शाते हैं।
• घटना 'A और B' (Event 'A and B'): यह उन सभी परिणामों का समुच्चय है जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं। इसे A ∩ B से दर्शाते हैं।
• घटना 'A किंतु B नहीं' (Event 'A but not B'): यह उन सभी परिणामों का समुच्चय है जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं। इसे A - B या A ∩ B' से दर्शाते हैं।
• परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events): दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी कहलाती हैं यदि उनमें कोई भी परिणाम उभयनिष्ठ न हो, अर्थात् A ∩ B = Φ। यदि एक घटित होती है, तो दूसरी घटित नहीं हो सकती।
  • उदाहरण: एक पासे को फेंकने पर घटना 'सम संख्या आना' (A = {2, 4, 6}) और घटना 'विषम संख्या आना' (B = {1, 3, 5}) परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि A ∩ B = Φ।
• निःशेष घटनाएँ (Exhaustive Events): घटनाओं E₁, E₂, ..., Eₙ का समुच्चय निःशेष कहलाता है यदि उनका सम्मिलन (Union) प्रतिदर्श समष्टि S के बराबर हो, अर्थात् E₁ ∪ E₂ ∪ ... ∪ Eₙ = S।
  • उदाहरण: पासे फेंकने पर, घटनाएँ A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}, C = {6} निःशेष हैं क्योंकि A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S।

5. प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण (Axiomatic Approach to Probability)

मान लीजिए S एक प्रतिदर्श समष्टि है जिसके परिणाम ω₁, ω₂, ..., ωₙ हैं। प्रत्येक परिणाम ωᵢ से संबंधित एक वास्तविक संख्या P(ωᵢ) (प्रायिकता) इस प्रकार है कि:
(i) प्रत्येक ωᵢ ∈ S के लिए, P(ωᵢ) ≥ 0
(ii) सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है: P(ω₁) + P(ω₂) + ... + P(ωₙ) = 1

किसी घटना E की प्रायिकता P(E), घटना E को बनाने वाले सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग होती है।

प्रायिकता के अभिगृहीत (Axioms of Probability):

मान लीजिए S एक प्रतिदर्श समष्टि है और P प्रायिकता फलन है। तब:

1. किसी भी घटना E के लिए, P(E) ≥ 0.
2. P(S) = 1.
3. यदि E₁ और E₂ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो P(E₁ ∪ E₂) = P(E₁) + P(E₂). (इसे परिमित संख्या में परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए विस्तारित किया जा सकता है)।

महत्वपूर्ण परिणाम:

• P(Φ) = 0 (असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है)।
• किसी भी घटना E के लिए, 0 ≤ P(E) ≤ 1.
• P(A') = 1 - P(A) (पूरक घटना की प्रायिकता)।
• किन्हीं दो घटनाओं A और B के लिए (योग प्रमेय):
  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• यदि A और B परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(A ∩ B) = 0, इसलिए P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)
• P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B)

6. समसंभाव्य परिणाम (Equally Likely Outcomes)

यदि किसी प्रयोग के सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों (जैसे निष्पक्ष सिक्के को उछालना या निष्पक्ष पासे को फेंकना), तो किसी घटना E की प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

P(E) = (घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल संभावित परिणामों की संख्या)
P(E) = n(E) / n(S)

• n(E): घटना E में अवयवों की संख्या।
• n(S): प्रतिदर्श समष्टि S में अवयवों की संख्या।

उदाहरण: एक पासे को फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6
E = सम संख्या आना = {2, 4, 6} ⇒ n(E) = 3
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 6 = 1/2

प्रतियोगी परीक्षाओं हेतु विशेष ध्यान:

• ताश के पत्तों (52 पत्ते, 4 सूट, 13 रैंक), सिक्के उछालने, पासे फेंकने से संबंधित प्रश्नों का अभ्यास करें।
• 'कम से कम' (at least) और 'अधिक से अधिक' (at most) वाले प्रश्नों को ध्यान से समझें। इनमें अक्सर पूरक घटना का उपयोग सहायक होता है।
• P(A ∪ B) और परस्पर अपवर्जी घटनाओं के सूत्रों का सही उपयोग समझें।
• क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) का ज्ञान प्रायिकता के कुछ प्रश्नों को हल करने में सहायक हो सकता है, खासकर जब n(S) और n(E) ज्ञात करना हो।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: एक पासे को एक बार फेंका जाता है। संख्या 3 या 4 आने की प्रायिकता क्या है?
(a) 1/6
(b) 2/6
(c) 3/6
(d) 4/6

प्रश्न 2: दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। कम से कम एक चित (Head) आने की प्रायिकता क्या है?
(a) 1/4
(b) 2/4
(c) 3/4
(d) 1

प्रश्न 3: अच्छी तरह से फेंटी गई 52 ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। पत्ते के बादशाह (King) होने की प्रायिकता क्या है?
(a) 1/52
(b) 4/52
(c) 1/13
(d) (b) और (c) दोनों

प्रश्न 4: यदि P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 और P(A ∩ B) = 0.2 है, तो P(A ∪ B) का मान क्या है?
(a) 0.7
(b) 0.9
(c) 0.1
(d) 0.5

प्रश्न 5: यदि A और B दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो निम्न में से कौन सा सत्य है?
(a) P(A ∩ B) = 1
(b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(c) P(A') = P(B)
(d) P(A) = P(B)

प्रश्न 6: एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। थैले से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?
(a) 3/5
(b) 5/8
(c) 3/8
(d) 1

प्रश्न 7: घटना 'A नहीं' (Not A) को किससे दर्शाया जाता है?
(a) A ∪ B
(b) A ∩ B
(c) A'
(d) Φ

प्रश्न 8: किसी निश्चित घटना की प्रायिकता क्या होती है?
(a) 0
(b) 1
(c) 1/2
(d) परिभाषित नहीं

प्रश्न 9: एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। ठीक दो पट (Tail) आने की प्रायिकता क्या है?
(a) 1/8
(b) 2/8
(c) 3/8
(d) 4/8

प्रश्न 10: यदि P(E) = 0.45 है, तो P(E नहीं) का मान क्या है?
(a) 0.55
(b) 0.45
(c) 0
(d) 1

उत्तरमाला (MCQs):

1. (b) 2/6 (या 1/3) [अनुकूल परिणाम {3, 4}, कुल परिणाम 6]
2. (c) 3/4 [S = {HH, HT, TH, TT}, अनुकूल परिणाम {HH, HT, TH}]
3. (d) (b) और (c) दोनों [4 बादशाह होते हैं, P(बादशाह) = 4/52 = 1/13]
4. (a) 0.7 [P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.6 + 0.3 - 0.2 = 0.7]
5. (b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) [अपवर्जी घटनाओं के लिए P(A ∩ B) = 0]
6. (c) 3/8 [कुल गेंदें = 3 + 5 = 8, लाल गेंदें = 3]
7. (c) A'
8. (b) 1
9. (c) 3/8 [S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, अनुकूल परिणाम {HTT, THT, TTH}]
10. (a) 0.55 [P(E नहीं) = 1 - P(E) = 1 - 0.45 = 0.55]

इन नोट्स का अच्छी तरह अध्ययन करें और दिए गए प्रश्नों को हल करने का प्रयास करें। प्रतियोगी परीक्षाओं में सफलता के लिए अवधारणाओं की स्पष्ट समझ और नियमित अभ्यास अत्यंत आवश्यक है। शुभकामनाएँ!