Class 11 Mathematics Notes Chapter 17 (Chapter 17) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित विषय के NCERT Exemplar (Hindi) के अध्याय 17, यानि 'गणितीय विवेचन' (Mathematical Reasoning) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय तार्किक योग्यता और कथनों की सत्यता या असत्यता की जाँच पर आधारित है, जो विभिन्न सरकारी परीक्षाओं के दृष्टिकोण से भी महत्वपूर्ण है।

अध्याय 17: गणितीय विवेचन (Mathematical Reasoning) - विस्तृत नोट्स

1. परिचय (Introduction):
गणितीय विवेचन गणित की वह शाखा है जो तार्किक सिद्धांतों का उपयोग करके कथनों (statements) की वैधता का अध्ययन करती है। इसमें हम सीखते हैं कि कैसे गणितीय कथनों को संयोजित किया जाता है, उनका निषेधन कैसे किया जाता है और उनकी सत्यता का निर्धारण कैसे किया जाता है।

2. कथन (Statement):

• परिभाषा: एक कथन एक ऐसा वाक्य होता है जो या तो सत्य (True) होता है या असत्य (False) होता है, परन्तु दोनों एक साथ नहीं हो सकता। कथनों को सामान्यतः छोटे अक्षरों p, q, r, ... इत्यादि से दर्शाया जाता है।
• उदाहरण:
  • p: "सूर्य पूर्व में उगता है।" (सत्य कथन)
  • q: "2 + 2 = 5" (असत्य कथन)
  • r: "नई दिल्ली भारत की राजधानी है।" (सत्य कथन)
• कथन क्या नहीं हैं: प्रश्नवाचक वाक्य (तुम कहाँ जा रहे हो?), आदेशात्मक वाक्य (दरवाजा बंद करो), विस्मयादिबोधक वाक्य (कितना सुंदर मौसम है!), और ऐसे वाक्य जिनकी सत्यता व्यक्तिपरक हो (गणित एक कठिन विषय है), कथन नहीं माने जाते।

3. कथनों के प्रकार (Types of Statements):

• सरल कथन (Simple Statement): ऐसा कथन जिसे और छोटे कथनों में विभाजित नहीं किया जा सकता। उपरोक्त p, q, r सरल कथन हैं।
• मिश्र कथन (Compound Statement): दो या दो से अधिक सरल कथनों को तार्किक संयोजकों (Logical Connectives) द्वारा जोड़कर बनाया गया कथन।

4. तार्किक संयोजक (Logical Connectives):
ये वे शब्द या वाक्यांश हैं जिनका उपयोग सरल कथनों को जोड़कर मिश्र कथन बनाने के लिए किया जाता है।

• (i) और (AND / संयोजन / Conjunction):

  • प्रतीक: ∧
  • यदि p और q दो कथन हैं, तो "p और q" (p ∧ q) एक मिश्र कथन है।
  • सत्यता मान (Truth Value): p ∧ q सत्य होता है केवल जब p और q दोनों सत्य हों, अन्यथा यह असत्य होता है।
  • सत्यता सारणी (Truth Table):

    p	q	p ∧ q
    T	T	T
    T	F	F
    F	T	F
    F	F	F

• (ii) या (OR / वियोजन / Disjunction):

  • प्रतीक: ∨
  • यदि p और q दो कथन हैं, तो "p या q" (p ∨ q) एक मिश्र कथन है। गणित में 'या' का प्रयोग सामान्यतः समावेशी (inclusive) अर्थ में होता है, अर्थात या तो p सत्य हो, या q सत्य हो, या दोनों सत्य हों।
  • सत्यता मान: p ∨ q असत्य होता है केवल जब p और q दोनों असत्य हों, अन्यथा यह सत्य होता है।
  • सत्यता सारणी:

    p	q	p ∨ q
    T	T	T
    T	F	T
    F	T	T
    F	F	F

• (iii) नहीं (NOT / निषेधन / Negation):

  • प्रतीक: ~
  • यदि p एक कथन है, तो "~p" (p का निषेधन) एक कथन है जिसका अर्थ है "यह असत्य है कि p"।
  • सत्यता मान: यदि p सत्य है, तो ~p असत्य है। यदि p असत्य है, तो ~p सत्य है।
  • सत्यता सारणी:

    p	~p
    T	F
    F	T

  • उदाहरण: यदि p: "दिल्ली एक शहर है", तो ~p: "यह असत्य है कि दिल्ली एक शहर है" या "दिल्ली एक शहर नहीं है"।

5. प्रतिबंधात्मक कथन (Conditional Statements / Implications):

• स्वरूप: "यदि p, तो q" (If p, then q)
• प्रतीक: p → q
• यहाँ p को परिकल्पना (Hypothesis) या पूर्ववर्ती (Antecedent) कहते हैं, और q को निष्कर्ष (Conclusion) या परिणामी (Consequent) कहते हैं।
• सत्यता मान: p → q केवल तब असत्य होता है जब p सत्य हो और q असत्य हो। अन्य सभी स्थितियों में यह सत्य होता है।
  • सत्यता सारणी:

    p	q	p → q
    T	T	T
    T	F	F
    F	T	T
    F	F	T

• महत्वपूर्ण संबंधित कथन:
  • विलोम (Converse): q → p
  • प्रतिलोम (Inverse): ~p → ~q
  • प्रतिधनात्मक (Contrapositive): ~q → ~p
  • ध्यान दें: कोई कथन (p → q) और उसका प्रतिधनात्मक (~q → ~p) तार्किक रूप से तुल्य (logically equivalent) होते हैं, अर्थात उनके सत्यता मान हमेशा समान होते हैं।

6. द्विप्रतिबंधात्मक कथन (Biconditional Statements):

• स्वरूप: "p यदि और केवल यदि q" (p if and only if q / p iff q)
• प्रतीक: p ↔ q
• यह (p → q) ∧ (q → p) के तुल्य है।
• सत्यता मान: p ↔ q सत्य होता है जब p और q दोनों के सत्यता मान समान हों (या तो दोनों सत्य हों या दोनों असत्य हों)।
  • सत्यता सारणी:

    p	q	p ↔ q
    T	T	T
    T	F	F
    F	T	F
    F	F	T

7. परिमाणवाचक (Quantifiers):
ये वाक्यांश बताते हैं कि कथन कितने उदाहरणों पर लागू होता है।

• सार्वत्रिक परिमाणवाचक (Universal Quantifier): "सभी के लिए" (For all / For every) - प्रतीक: ∀
• अस्तित्ववाचक परिमाणवाचक (Existential Quantifier): "एक ऐसा अस्तित्व है" (There exists) या "कम से कम एक के लिए" (For some / For at least one) - प्रतीक: ∃
• परिमाणवाचकों का निषेधन:
  • ~(∀x, P(x)) ≡ ∃x, ~P(x) (सभी का निषेधन 'कम से कम एक नहीं' होता है)
  • ~(∃x, P(x)) ≡ ∀x, ~P(x) ('कम से कम एक' का निषेधन 'कोई नहीं' या 'सभी नहीं' होता है)
  • उदाहरण:
    • कथन: "सभी विद्यार्थी बुद्धिमान हैं।"
    • निषेधन: "कम से कम एक विद्यार्थी ऐसा है जो बुद्धिमान नहीं है।" या "ऐसा नहीं है कि सभी विद्यार्थी बुद्धिमान हैं।"
    • कथन: "कम से कम एक संख्या सम है।"
    • निषेधन: "कोई भी संख्या सम नहीं है।" या "सभी संख्याएँ सम नहीं हैं (विषम हैं)।"

8. कथनों की वैधता (Validity of Statements):
किसी कथन को मान्य या सिद्ध करने के तरीके:

• प्रत्यक्ष उपपत्ति (Direct Proof): p को सत्य मानकर तार्किक चरणों द्वारा q को सत्य सिद्ध करना (p → q के लिए)।
• प्रतिधनात्मक द्वारा उपपत्ति (Proof by Contrapositive): ~q को सत्य मानकर तार्किक चरणों द्वारा ~p को सत्य सिद्ध करना (क्योंकि p → q ≡ ~q → ~p)।
• विरोधाभास द्वारा उपपत्ति (Proof by Contradiction): कथन को असत्य मान लेना और फिर तार्किक चरणों द्वारा एक विरोधाभास (contradiction) पर पहुँचना, जिससे सिद्ध होता है कि मूल मान्यता गलत थी और कथन सत्य है।
• प्रत्युदाहरण द्वारा खंडन (Disproof by Counterexample): किसी कथन को असत्य सिद्ध करने के लिए केवल एक ऐसा उदाहरण देना पर्याप्त है जो कथन को संतुष्ट नहीं करता।

परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण बिंदु:

• कथन की परिभाषा और पहचान।
• संयोजकों (∧, ∨, ~) के अर्थ और सत्यता सारणी।
• प्रतिबंधात्मक कथन (→) और उसके विलोम, प्रतिलोम, प्रतिधनात्मक की समझ।
• p → q और ~q → ~p की तार्किक तुल्यता।
• द्विप्रतिबंधात्मक कथन (↔) की समझ।
• कथनों का निषेधन ज्ञात करना, विशेषकर मिश्र कथनों और परिमाणवाचक युक्त कथनों का।
• सत्यता सारणी का उपयोग करके मिश्र कथनों के सत्यता मान ज्ञात करना।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य एक कथन नहीं है?
(a) 5 एक अभाज्य संख्या है।
(b) सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ हैं।
(c) कृपया दरवाजा बंद करें।
(d) गाय के चार पैर होते हैं।

प्रश्न 2: कथन "√7 एक अपरिमेय संख्या है" का निषेधन क्या है?
(a) √7 एक परिमेय संख्या है।
(b) √7 एक सम्मिश्र संख्या है।
(c) यह असत्य है कि √7 एक अपरिमेय संख्या नहीं है।
(d) √7 एक पूर्णांक है।

प्रश्न 3: यदि p: "3 + 5 = 8" और q: "सूर्य पश्चिम में उगता है", तो मिश्र कथन p ∧ q का सत्यता मान क्या है?
(a) सत्य (True)
(b) असत्य (False)
(c) निर्धारित नहीं किया जा सकता
(d) दोनों (सत्य और असत्य)

प्रश्न 4: यदि p: "बर्फ ठंडी होती है" और q: "2 एक विषम संख्या है", तो मिश्र कथन p ∨ q का सत्यता मान क्या है?
(a) सत्य (True)
(b) असत्य (False)
(c) निर्धारित नहीं किया जा सकता
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 5: कथन "यदि x = 3, तो x² = 9" का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) क्या है?
(a) यदि x² = 9, तो x = 3
(b) यदि x ≠ 3, तो x² ≠ 9
(c) यदि x² ≠ 9, तो x ≠ 3
(d) यदि x² ≠ 9, तो x = 3

प्रश्न 6: कथन "यदि कोई त्रिभुज समबाहु है, तो वह समद्विबाहु होता है" का विलोम (Converse) क्या है?
(a) यदि कोई त्रिभुज समद्विबाहु है, तो वह समबाहु होता है।
(b) यदि कोई त्रिभुज समबाहु नहीं है, तो वह समद्विबाहु नहीं होता है।
(c) यदि कोई त्रिभुज समद्विबाहु नहीं है, तो वह समबाहु नहीं होता है।
(d) कोई त्रिभुज समबाहु और समद्विबाहु दोनों होता है।

प्रश्न 7: कथन p → q असत्य होता है, जब:
(a) p सत्य है और q सत्य है।
(b) p सत्य है और q असत्य है।
(c) p असत्य है और q सत्य है।
(d) p असत्य है और q असत्य है।

प्रश्न 8: कथन "सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांक होती हैं" का निषेधन है:
(a) सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांक नहीं होती हैं।
(b) कोई भी प्राकृतिक संख्या पूर्णांक नहीं होती है।
(c) कम से कम एक प्राकृतिक संख्या ऐसी है जो पूर्णांक नहीं है।
(d) कम से कम एक पूर्णांक ऐसा है जो प्राकृतिक संख्या नहीं है।

प्रश्न 9: मिश्र कथन ~(p ∨ q) किसके तुल्य है?
(a) (~p) ∨ (~q)
(b) (~p) ∧ (~q)
(c) p ∨ (~q)
(d) (~p) ∧ q

प्रश्न 10: द्विप्रतिबंधात्मक कथन p ↔ q सत्य होता है, जब:
(a) p सत्य है और q असत्य है।
(b) p असत्य है और q सत्य है।
(c) p और q दोनों के सत्यता मान समान हैं।
(d) p और q दोनों के सत्यता मान भिन्न हैं।

उत्तरमाला (MCQs):

1. (c) - यह एक आदेशात्मक वाक्य है।
2. (a) - अपरिमेय का निषेधन परिमेय होता है।
3. (b) - क्योंकि p सत्य है (T) और q असत्य है (F), T ∧ F = F (असत्य)।
4. (a) - क्योंकि p सत्य है (T) और q असत्य है (F), T ∨ F = T (सत्य)।
5. (c) - p → q का प्रतिधनात्मक ~q → ~p होता है। यहाँ p: x = 3, q: x² = 9. तो ~q: x² ≠ 9, ~p: x ≠ 3. अतः ~q → ~p है "यदि x² ≠ 9, तो x ≠ 3"।
6. (a) - p → q का विलोम q → p होता है।
7. (b) - परिभाषा के अनुसार।
8. (c) - "सभी" (∀) का निषेधन "कम से कम एक नहीं" (∃~) होता है।
9. (b) - यह डी मॉर्गन का नियम है: ~(p ∨ q) ≡ (~p) ∧ (~q)।
10. (c) - परिभाषा के अनुसार, p ↔ q सत्य होता है जब या तो दोनों सत्य हों (T ↔ T = T) या दोनों असत्य हों (F ↔ F = T)।

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छे से अध्ययन करें। यह अध्याय आपकी तार्किक क्षमता को विकसित करने में सहायक होगा। शुभकामनाएँ!