Class 11 Mathematics Notes Chapter 18 (Chapter 18) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित एक्सेम्प्लर के अध्याय 18: 'सीमा और अवकलज' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि कलन (Calculus) का आधार यहीं से शुरू होता है।

अध्याय 18: सीमा और अवकलज (Limits and Derivatives) - विस्तृत नोट्स

1. सीमा (Limit)

• संकल्पना: सीमा का विचार हमें यह समझने में मदद करता है कि किसी फलन का मान किसी विशेष बिंदु के अत्यंत निकट पहुँचने पर किस मान की ओर अग्रसर होता है, भले ही फलन उस बिंदु पर परिभाषित हो या न हो।

  • संकेतन: limₓ→ₐ f(x) = L
  • इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे x का मान 'a' के करीब आता जाता है (x ≠ a), वैसे-वैसे f(x) का मान 'L' के करीब आता जाता है।

• वाम पक्ष सीमा (Left Hand Limit - LHL): जब x का मान 'a' से छोटे मानों से 'a' की ओर अग्रसर होता है, तो f(x) जिस मान की ओर अग्रसर होता है, उसे वाम पक्ष सीमा कहते हैं।

  • संकेतन: limₓ→ₐ⁻ f(x) या lim<0xE1><0xB5><0x83>→₀ f(a - h)

• दक्षिण पक्ष सीमा (Right Hand Limit - RHL): जब x का मान 'a' से बड़े मानों से 'a' की ओर अग्रसर होता है, तो f(x) जिस मान की ओर अग्रसर होता है, उसे दक्षिण पक्ष सीमा कहते हैं।

  • संकेतन: limₓ→ₐ⁺ f(x) या lim<0xE1><0xB5><0x83>→₀ f(a + h)

• सीमा का अस्तित्व: किसी फलन f(x) की बिंदु x = a पर सीमा L का अस्तित्व तभी होता है, जब:

  • वाम पक्ष सीमा (LHL) = दक्षिण पक्ष सीमा (RHL) = L
  • अर्थात्, limₓ→ₐ⁻ f(x) = limₓ→ₐ⁺ f(x)

• सीमाओं का बीजगणित (Algebra of Limits):
  मान लीजिए limₓ→ₐ f(x) = L और limₓ→ₐ g(x) = M, तब:

  1. योग नियम: limₓ→ₐ [f(x) + g(x)] = L + M
  2. अंतर नियम: limₓ→ₐ [f(x) - g(x)] = L - M
  3. गुणन नियम: limₓ→ₐ [f(x) * g(x)] = L * M
  4. अदिश गुणन: limₓ→ₐ [k * f(x)] = k * L (जहाँ k एक अचर है)
  5. भाग नियम: limₓ→ₐ [f(x) / g(x)] = L / M (बशर्ते M ≠ 0)

• बहुपदीय तथा परिमेय फलनों की सीमाएँ:

  • यदि f(x) एक बहुपदीय फलन है, तो limₓ→ₐ f(x) = f(a) (सीधे मान रखकर)।
  • यदि f(x) = p(x) / q(x) एक परिमेय फलन है, और q(a) ≠ 0, तो limₓ→ₐ f(x) = p(a) / q(a)।
  • यदि q(a) = 0, तो हमें अनिर्धार्य रूप (Indeterminate Form) जैसे 0/0 प्राप्त हो सकता है। ऐसे में हम गुणनखंडन (Factorization) या परिमेयकरण (Rationalization) जैसी विधियों का प्रयोग करते हैं।

• कुछ महत्वपूर्ण सीमाएँ:

  1. त्रिकोणमितीय सीमाएँ:
     • limₓ→₀ (sin x / x) = 1 (जहाँ x रेडियन में है)
     • limₓ→₀ (tan x / x) = 1
     • limₓ→₀ (cos x) = 1
     • limₓ→₀ ((1 - cos x) / x) = 0
     • limₓ→₀ ((sin⁻¹ x) / x) = 1
     • limₓ→₀ ((tan⁻¹ x) / x) = 1
  2. चरघातांकी और लघुगणकीय सीमाएँ:
     • limₓ→₀ ((eˣ - 1) / x) = 1
     • limₓ→₀ ((aˣ - 1) / x) = logₑ a (या ln a)
     • limₓ→₀ (logₑ(1 + x) / x) = 1 (या ln(1+x)/x)
     • limₓ→∞ (1 + 1/x)ˣ = e
     • limₓ→₀ (1 + x)¹/ˣ = e

• अनिर्धार्य रूप (Indeterminate Forms): 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 × ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. इन रूपों में सीमा ज्ञात करने के लिए विशेष तकनीकों (जैसे गुणनखंडन, परिमेयकरण, मानक सूत्रों का उपयोग, एल'हॉपिटल नियम - L'Hôpital's Rule, जो कक्षा 12 में है) की आवश्यकता होती है।

2. अवकलज (Derivative)

• संकल्पना: अवकलज किसी फलन के किसी बिंदु पर परिवर्तन की तात्क्षणिक दर (instantaneous rate of change) को मापता है। ज्यामितीय रूप से, यह उस बिंदु पर फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope of the tangent) को दर्शाता है।

  • यदि y = f(x) एक फलन है, तो x के सापेक्ष y के अवकलज को dy/dx, f'(x), या y' से दर्शाते हैं।

• प्रथम सिद्धांत से अवकलज (Derivative from First Principle):
  किसी फलन f(x) का अवकलज, f'(x), निम्न सीमा द्वारा परिभाषित होता है (यदि सीमा का अस्तित्व है):
  f'(x) = lim<0xE1><0xB5><0x83>→₀ [f(x + h) - f(x)] / h

• कुछ मानक फलनों के अवकलज:

  1. d/dx (xⁿ) = n * xⁿ⁻¹
  2. d/dx (c) = 0 (जहाँ c अचर है)
  3. d/dx (sin x) = cos x
  4. d/dx (cos x) = -sin x
  5. d/dx (tan x) = sec² x
  6. d/dx (cot x) = -cosec² x
  7. d/dx (sec x) = sec x tan x
  8. d/dx (cosec x) = -cosec x cot x
  9. d/dx (eˣ) = eˣ
  10. d/dx (aˣ) = aˣ logₑ a
  11. d/dx (logₑ x) = 1/x (या ln x का अवकलज 1/x)
  12. d/dx (logₐ x) = 1 / (x logₑ a)

• अवकलजों का बीजगणित (Algebra of Derivatives):
  मान लीजिए u = f(x) और v = g(x) अवकलनीय फलन हैं, तब:

  1. योग/अंतर नियम: d/dx (u ± v) = du/dx ± dv/dx
  2. गुणन नियम (Product Rule / Leibniz Rule): d/dx (u * v) = u * (dv/dx) + v * (du/dx)
     (पहले फलन * दूसरे का अवकलज + दूसरा फलन * पहले का अवकलज)
  3. भाग नियम (Quotient Rule): d/dx (u / v) = [v * (du/dx) - u * (dv/dx)] / v² (जहाँ v ≠ 0)
     ((हर * अंश का अवकलज - अंश * हर का अवकलज) / (हर)²)

परीक्षा की तैयारी के लिए सुझाव:

• सभी मानक सीमाओं और अवकलजों के सूत्रों को अच्छी तरह याद करें।
• प्रथम सिद्धांत से अवकलज ज्ञात करने का अभ्यास करें।
• सीमा ज्ञात करने की विभिन्न विधियों (गुणनखंडन, परिमेयकरण, मानक सूत्र) का अभ्यास करें।
• अवकलजों के योग, अंतर, गुणन और भाग नियमों का उपयोग करके प्रश्नों को हल करने का अभ्यास करें।
• एक्सेम्प्लर में दिए गए विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल करें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: limₓ→₂ (x² - 4) / (x - 2) का मान है:
(a) 0
(b) 2
(c) 4
(d) अस्तित्व नहीं है

प्रश्न 2: limₓ→₀ (sin 3x) / x का मान है:
(a) 1
(b) 0
(c) 3
(d) 1/3

प्रश्न 3: यदि f(x) = |x| / x, तो limₓ→₀ f(x) का मान है:
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) अस्तित्व नहीं है

प्रश्न 4: limₓ→₀ (e²ˣ - 1) / x का मान है:
(a) 1
(b) 2
(c) e
(d) 1/2

प्रश्न 5: फलन f(x) = x³ का अवकलज x = 1 पर है:
(a) 1
(b) 3
(c) 3x²
(d) 0

प्रश्न 6: यदि y = x sin x, तो dy/dx का मान है:
(a) sin x + x cos x
(b) cos x
(c) x cos x
(d) sin x - x cos x

प्रश्न 7: फलन f(x) = √(x+1) का अवकलज प्रथम सिद्धांत से ज्ञात करने पर प्राप्त होता है:
(a) 1 / (2√(x+1))
(b) √(x+1)
(c) 1/2
(d) 2√(x+1)

प्रश्न 8: यदि y = (x² + 1) / (x - 1), तो dy/dx का मान है:
(a) (x² - 2x - 1) / (x - 1)²
(b) (3x² - 2x + 1) / (x - 1)²
(c) (2x) / 1
(d) (x² + 2x + 1) / (x - 1)²

प्रश्न 9: limₓ→π/₂ (1 - sin x) / cos²x का मान है:
(a) 1
(b) 0
(c) 1/2
(d) 2

प्रश्न 10: फलन f(x) = 5 का अवकलज है:
(a) 5
(b) 1
(c) 0
(d) 5x

उत्तर:

1. (c) 4 [हल: limₓ→₂ (x-2)(x+2)/(x-2) = limₓ→₂ (x+2) = 2+2 = 4]
2. (c) 3 [हल: limₓ→₀ 3*(sin 3x)/(3x) = 3 * 1 = 3]
3. (d) अस्तित्व नहीं है [हल: LHL = limₓ→₀⁻ (-x)/x = -1, RHL = limₓ→₀⁺ (x)/x = 1. LHL ≠ RHL]
4. (b) 2 [हल: limₓ→₀ 2*(e²ˣ - 1)/(2x) = 2 * 1 = 2]
5. (b) 3 [हल: f'(x) = 3x². f'(1) = 3(1)² = 3]
6. (a) sin x + x cos x [हल: गुणन नियम: d/dx(x) * sin x + x * d/dx(sin x) = 1sin x + xcos x]
7. (a) 1 / (2√(x+1)) [हल: प्रथम सिद्धांत या मानक सूत्र d/dx(√u) = (1/2√u) * du/dx से]
8. (a) (x² - 2x - 1) / (x - 1)² [हल: भाग नियम: [(x-1)*2x - (x²+1)*1] / (x-1)² = (2x²-2x-x²-1)/(x-1)² = (x²-2x-1)/(x-1)²]
9. (c) 1/2 [हल: limₓ→π/₂ (1 - sin x) / (1 - sin²x) = limₓ→π/₂ (1 - sin x) / ((1 - sin x)(1 + sin x)) = limₓ→π/₂ 1 / (1 + sin x) = 1 / (1 + sin(π/2)) = 1 / (1+1) = 1/2]
10. (c) 0 [हल: अचर फलन का अवकलज शून्य होता है।]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। शुभकामनाएँ!