Class 11 Mathematics Notes Chapter 2 (संबंध एवं फलन) – Ganit Book

हाँ तो विद्यार्थियों, आज हम कक्षा 11 के गणित विषय के अध्याय 2, 'संबंध एवं फलन' (Relations and Functions) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसके सिद्धांत कैलकुलस और अन्य उच्च गणितीय अवधारणाओं का आधार बनते हैं। ध्यान से समझिएगा।

अध्याय 2: संबंध एवं फलन (Relations and Functions) - विस्तृत नोट्स

1. समुच्चयों का कार्तीय गुणन (Cartesian Product of Sets)

• क्रमित युग्म (Ordered Pair): दो अवयवों का एक युग्म, जिसे एक विशिष्ट क्रम में लिखा जाता है, क्रमित युग्म कहलाता है। यदि a ∈ A और b ∈ B, तो (a, b) एक क्रमित युग्म है। इसमें क्रम महत्वपूर्ण है, अर्थात (a, b) ≠ (b, a) जब तक a ≠ b न हो।
  • दो क्रमित युग्म (a, b) और (c, d) बराबर होते हैं यदि और केवल यदि a = c और b = d हो।
• कार्तीय गुणन की परिभाषा: दो अरिक्त समुच्चयों (non-empty sets) A और B का कार्तीय गुणन, जिसे A × B से दर्शाते हैं, उन सभी संभावित क्रमित युग्मों (a, b) का समुच्चय होता है जहाँ a ∈ A तथा b ∈ B हो।
  • प्रतीकात्मक रूप में: A × B = { (a, b) | a ∈ A और b ∈ B }
• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • यदि A या B में से कोई भी समुच्चय रिक्त (empty set, ∅) हो, तो A × B = ∅.
  • यदि समुच्चय A में p अवयव हैं (n(A) = p) और समुच्चय B में q अवयव हैं (n(B) = q), तो A × B में p × q अवयव होंगे। अर्थात्, n(A × B) = n(A) × n(B).
  • सामान्यतः, A × B ≠ B × A (जब तक A = B या A या B में से कोई रिक्त न हो)।
  • यदि A या B में से कोई अपरिमित (infinite) समुच्चय है, तो A × B भी एक अपरिमित समुच्चय होगा (जब तक दूसरा समुच्चय अरिक्त हो)।
  • क्रमित त्रिक (Ordered Triplet): तीन समुच्चयों A, B, C का कार्तीय गुणन A × B × C = { (a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }.

उदाहरण: यदि A = {1, 2} और B = {a, b}, तो:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
यहाँ, n(A) = 2, n(B) = 2, तो n(A × B) = 2 × 2 = 4.

2. संबंध (Relation)

• परिभाषा: किसी अरिक्त समुच्चय A से अरिक्त समुच्चय B में कोई संबंध R, कार्तीय गुणन A × B का एक उपसमुच्चय (subset) होता है। यह उपसमुच्चय A × B के क्रमित युग्मों के प्रथम तथा द्वितीय घटकों के मध्य एक संबंध स्थापित करने से प्राप्त होता है।
  • प्रतीकात्मक रूप में: R ⊆ A × B.
  • यदि (a, b) ∈ R, तो हम कहते हैं कि 'a', 'b' से संबंध R द्वारा संबंधित है और इसे a R b लिखते हैं।
• निरूपण:
  • रोस्टर रूप (Roster form): संबंध के सभी क्रमित युग्मों को सूचीबद्ध करना। जैसे: R = {(1, a), (2, b)}
  • समुच्चय निर्माण रूप (Set-builder form): संबंध के क्रमित युग्मों के घटकों के बीच के नियम को बताना। जैसे: R = {(x, y) | y = x + 1, x ∈ {1, 2}, y ∈ {2, 3}}
  • तीर आरेख (Arrow diagram): समुच्चय A और B को अंडाकार आकृतियों में दर्शाकर, संबंध के अनुसार A के अवयवों से B के अवयवों तक तीर बनाना।
• प्रांत (Domain): संबंध R के सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय, संबंध R का प्रांत कहलाता है।
  • प्रांत(R) = { a | (a, b) ∈ R }
  • प्रांत(R) ⊆ A
• परिसर (Range): संबंध R के सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय, संबंध R का परिसर कहलाता है।
  • परिसर(R) = { b | (a, b) ∈ R }
  • परिसर(R) ⊆ B
• सहप्रांत (Codomain): संपूर्ण समुच्चय B, संबंध R का सहप्रांत कहलाता है।
  • ध्यान दें: परिसर ⊆ सहप्रांत.
• संबंधों की कुल संख्या: यदि n(A) = p और n(B) = q, तो A × B में pq अवयव होते हैं। A × B के कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2^(pq) होती है। अतः, A से B में परिभाषित किए जा सकने वाले संबंधों की कुल संख्या 2^(pq) है।

उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} और B = {4, 5, 6} और संबंध R = {(x, y) | y = x + 3, x ∈ A, y ∈ B}
R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
प्रांत(R) = {1, 2, 3} = A
परिसर(R) = {4, 5, 6} = B
सहप्रांत(R) = {4, 5, 6} = B

3. फलन (Function)

• परिभाषा: समुच्चय A से समुच्चय B में एक संबंध f, एक फलन कहलाता है यदि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक और केवल एक प्रतिबिंब (image) होता है।
  • दूसरे शब्दों में, कोई भी दो भिन्न क्रमित युग्मों में प्रथम घटक समान नहीं होना चाहिए।
  • यदि f, A से B में एक फलन है, तो इसे f: A → B लिखते हैं।
• फलन की शर्तें:
  1. A के प्रत्येक अवयव का B में प्रतिबिंब होना चाहिए (कोई भी अवयव छूटना नहीं चाहिए)।
  2. A के किसी भी अवयव का B में एक से अधिक प्रतिबिंब नहीं होना चाहिए।
• फलन में प्रांत, सहप्रांत, परिसर:
  • प्रांत (Domain): समुच्चय A फलन f का प्रांत कहलाता है।
  • सहप्रांत (Codomain): समुच्चय B फलन f का सहप्रांत कहलाता है।
  • परिसर (Range): समुच्चय A के अवयवों के प्रतिबिंबों का समुच्चय, फलन f का परिसर कहलाता है। यह सहप्रांत B का एक उपसमुच्चय होता है।
    • परिसर(f) = { f(x) | x ∈ A }
    • परिसर(f) ⊆ B
• प्रतिबिंब (Image) और पूर्व-प्रतिबिंब (Pre-image): यदि f(a) = b, तो b को a का प्रतिबिंब कहते हैं और a को b का पूर्व-प्रतिबिंब कहते हैं।

उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}
f = {(1, a), (2, b), (3, c)} एक फलन है। प्रांत = {1, 2, 3}, सहप्रांत = {a, b, c, d}, परिसर = {a, b, c}.
g = {(1, a), (2, b)} फलन नहीं है (क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है)।
h = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, d)} फलन नहीं है (क्योंकि 1 के दो प्रतिबिंब a और b हैं)।

4. कुछ विशिष्ट फलन और उनके आलेख (Some Specific Functions and their Graphs)

ये फलन और उनके गुणधर्म (प्रांत, परिसर, आलेख) प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं।

• (i) तत्समक फलन (Identity Function):
  • परिभाषा: f: R → R, f(x) = x द्वारा परिभाषित।
  • प्रांत: R (सभी वास्तविक संख्याएँ)
  • परिसर: R
  • आलेख: मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा जो x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है (y = x)।
• (ii) अचर फलन (Constant Function):
  • परिभाषा: f: R → R, f(x) = c द्वारा परिभाषित, जहाँ c एक अचर है।
  • प्रांत: R
  • परिसर: {c} (केवल एक अवयव वाला समुच्चय)
  • आलेख: x-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा (y = c)।
• (iii) बहुपदीय फलन (Polynomial Function):
  • परिभाषा: f: R → R, f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ द्वारा परिभाषित, जहाँ n एक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integer) है तथा a₀, a₁, ..., aₙ ∈ R.
  • प्रांत: R
  • परिसर: बहुपद की घात और गुणांकों पर निर्भर करता है। (उदाहरण: f(x) = x² का परिसर [0, ∞) है)।
• (iv) परिमेय फलन (Rational Function):
  • परिभाषा: f(x) = p(x) / q(x) प्रकार के फलन, जहाँ p(x) और q(x) बहुपद फलन हैं तथा q(x) ≠ 0.
  • प्रांत: R - { x | q(x) = 0 } (उन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय जहाँ हर शून्य नहीं होता)।
  • परिसर: फलन पर निर्भर करता है।
• (v) मापांक फलन (Modulus Function):
  • परिभाषा: f: R → R, f(x) = |x| द्वारा परिभाषित।
    |x| = x, यदि x ≥ 0
    |x| = -x, यदि x < 0
  • प्रांत: R
  • परिसर: [0, ∞) (सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याएँ)
  • आलेख: V-आकृति का ग्राफ जो मूल बिंदु पर शीर्ष बनाता है।
• (vi) चिह्न फलन (Signum Function):
  • परिभाषा: f: R → R, f(x) द्वारा परिभाषित:
    f(x) = 1, यदि x > 0
    f(x) = 0, यदि x = 0
    f(x) = -1, यदि x < 0
  • प्रांत: R
  • परिसर: {-1, 0, 1}
  • आलेख: क्षैतिज रेखा खंडों से बना ग्राफ।
• (vii) महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function):
  • परिभाषा: f: R → R, f(x) = [x] द्वारा परिभाषित, जहाँ [x] का मान x के बराबर या x से छोटे महत्तम पूर्णांक का मान है।
  • उदाहरण: [3.7] = 3, [4] = 4, [-1.2] = -2, [0.5] = 0.
  • प्रांत: R
  • परिसर: Z (सभी पूर्णांकों का समुच्चय)
  • आलेख: सीढ़ीनुमा ग्राफ (Step function)।

5. वास्तविक मान फलनों का बीजगणित (Algebra of Real Functions)

मान लीजिए f: X → R और g: X → R दो वास्तविक मान फलन हैं, जहाँ X ⊆ R.

• योग (Addition): (f + g): X → R, (f + g)(x) = f(x) + g(x) द्वारा परिभाषित।
• व्यवकलन (Subtraction): (f - g): X → R, (f - g)(x) = f(x) - g(x) द्वारा परिभाषित।
• अदिश गुणन (Scalar Multiplication): (αf): X → R, (αf)(x) = α * f(x) द्वारा परिभाषित, जहाँ α एक अदिश (वास्तविक संख्या) है।
• गुणन (Multiplication): (fg): X → R, (fg)(x) = f(x) * g(x) द्वारा परिभाषित।
• भागफल (Quotient): (f/g): X' → R, (f/g)(x) = f(x) / g(x) द्वारा परिभाषित, जहाँ X' = {x ∈ X | g(x) ≠ 0}.

नोट: दो फलनों के योग, व्यवकलन, गुणन का प्रांत उनके प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) होता है। भागफल के प्रांत में से उन बिंदुओं को हटा दिया जाता है जहाँ हर वाला फलन शून्य होता है।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

अब, इस अध्याय की आपकी समझ का परीक्षण करने के लिए कुछ बहुविकल्पीय प्रश्न:

प्रश्न 1: यदि A = {a, b} और B = {1, 2, 3}, तो n(A × B) का मान क्या है?
(a) 5
(b) 6
(c) 2
(d) 3

प्रश्न 2: यदि (x + 1, y - 2) = (3, 1), तो x और y के मान क्रमशः हैं:
(a) (2, 3)
(b) (3, 2)
(c) (4, -1)
(d) (2, -3)

प्रश्न 3: समुच्चय A = {1, 2, 3} से समुच्चय B = {a, b} में परिभाषित किए जा सकने वाले संबंधों की कुल संख्या कितनी है?
(a) 2⁶ = 64
(b) 2⁵ = 32
(c) 6
(d) 9

प्रश्न 4: संबंध R = {(x, y) | y = x + 5, x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} का परिसर (Range) क्या है?
(a) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
(b) {5, 6, 7, 8, 9, 10}
(c) {0, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(d) {1, 2, 3, 4, 5}

प्रश्न 5: निम्नलिखित में से कौन सा संबंध एक फलन है? (A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c})
(a) R₁ = {(1, a), (2, b)}
(b) R₂ = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)}
(c) R₃ = {(1, a), (2, b), (3, c)}
(d) R₄ = {(1, a), (2, a), (3, a), (2, b)}

प्रश्न 6: फलन f(x) = |x - 3| का प्रांत (Domain) क्या है?
(a) [3, ∞)
(b) (-∞, 3]
(c) R (सभी वास्तविक संख्याएँ)
(d) R - {3}

प्रश्न 7: फलन f(x) = [x] (महत्तम पूर्णांक फलन) का परिसर (Range) क्या है?
(a) R (सभी वास्तविक संख्याएँ)
(b) Z (सभी पूर्णांक)
(c) N (सभी प्राकृत संख्याएँ)
(d) [0, ∞)

प्रश्न 8: फलन f(x) = 7 (अचर फलन) का परिसर (Range) क्या है?
(a) R
(b) {0}
(c) {7}
(d) N

प्रश्न 9: यदि f(x) = x² और g(x) = 2x + 1, तो (f + g)(2) का मान क्या है?
(a) 8
(b) 9
(c) 5
(d) 4

प्रश्न 10: फलन f(x) = 1 / (x - 2) का प्रांत (Domain) क्या है?
(a) R
(b) R - {0}
(c) R - {2}
(d) (2, ∞)

उत्तरमाला (MCQs):

1. (b)
2. (a)
3. (a)
4. (b)
5. (c)
6. (c)
7. (b)
8. (c)
9. (b) [ (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 2² + (2*2 + 1) = 4 + 5 = 9 ]
10. (c)

इन नोट्स का अच्छी तरह से अध्ययन करें और प्रश्नों का अभ्यास करें। यदि कोई शंका हो तो पूछने में संकोच न करें। शुभकामनाएँ!