Class 11 Mathematics Notes Chapter 3 (त्रिकोणमितीय फलन) – Ganit Book

चलिए, आज हम ग्यारहवीं कक्षा के गणित के अध्याय 3, 'त्रिकोणमितीय फलन' (Trigonometric Functions) का गहन अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि त्रिकोणमिति के सिद्धांत और सूत्र गणित की कई अन्य शाखाओं और भौतिकी में भी प्रयोग होते हैं।

अध्याय 3: त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) - विस्तृत नोट्स

1. भूमिका (Introduction):
त्रिकोणमिति का शाब्दिक अर्थ है 'त्रिभुज का मापन'। प्रारंभ में इसका संबंध त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों से था। अब इसका क्षेत्र बहुत विस्तृत हो गया है और यह कोणों के फलनों का अध्ययन है।

2. कोण (Angles):

• परिभाषा: कोण वह माप है जो एक किरण के उसके प्रारंभिक बिंदु के परितः घूमने पर बनता है। प्रारंभिक स्थिति को प्रारंभिक भुजा और घूमने के बाद अंतिम स्थिति को अंतिम भुजा कहते हैं।
• धनात्मक और ऋणात्मक कोण: यदि घूर्णन वामावर्त (anti-clockwise) है, तो कोण धनात्मक होता है। यदि घूर्णन दक्षिणावर्त (clockwise) है, तो कोण ऋणात्मक होता है।
• कोण का मापन:
  • डिग्री माप (Degree Measure): यदि प्रारंभिक भुजा से अंतिम भुजा का घुमाव एक पूर्ण परिक्रमण का (1/360)वाँ भाग हो, तो कोण का माप एक डिग्री (1°) होता है। 1° = 60 मिनट (60') और 1' = 60 सेकंड (60")।
  • रेडियन माप (Radian Measure): इकाई वृत्त (त्रिज्या = 1) में, चाप की लंबाई द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण को रेडियन में मापा जाता है। एक पूर्ण परिक्रमण 2π रेडियन के बराबर होता है।
• डिग्री और रेडियन में संबंध:
  • 2π रेडियन = 360°
  • π रेडियन = 180°
  • 1 रेडियन = (180/π)° ≈ 57° 16'
  • 1° = (π/180) रेडियन ≈ 0.01746 रेडियन
• सूत्र:
  • रेडियन माप = (π / 180) × डिग्री माप
  • डिग्री माप = (180 / π) × रेडियन माप
• वृत्त के चाप की लम्बाई: यदि 'r' त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर कोई कोण 'θ' (रेडियन में) अंतरित होता है, तो उस कोण के सम्मुख चाप की लम्बाई l = rθ होती है।

3. त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions):

• इकाई वृत्त का उपयोग: मान लीजिए इकाई वृत्त (x² + y² = 1) पर कोई बिंदु P(x, y) है जो प्रारंभिक भुजा OA के साथ कोण θ बनाता है। तब:

  • cos θ = x
  • sin θ = y

• अन्य त्रिकोणमितीय फलन:

  • tan θ = y/x = sin θ / cos θ (जहाँ cos θ ≠ 0)
  • cot θ = x/y = cos θ / sin θ (जहाँ sin θ ≠ 0)
  • sec θ = 1/x = 1 / cos θ (जहाँ cos θ ≠ 0)
  • cosec θ = 1/y = 1 / sin θ (जहाँ sin θ ≠ 0)

• चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न (Signs in Quadrants):

  • प्रथम चतुर्थांश (0 < θ < π/2): सभी फलन धनात्मक (All Positive - A)
  • द्वितीय चतुर्थांश (π/2 < θ < π): sin θ और cosec θ धनात्मक (Sine Positive - S)
  • तृतीय चतुर्थांश (π < θ < 3π/2): tan θ और cot θ धनात्मक (Tangent Positive - T)
  • चतुर्थ चतुर्थांश (3π/2 < θ < 2π): cos θ और sec θ धनात्मक (Cosine Positive - C)
  • याद रखने का तरीका: ASTC (All Silver Tea Cups)

• त्रिकोणमितीय फलनों का प्रांत और परिसर (Domain and Range):

  फलन (Function)	प्रांत (Domain)	परिसर (Range)
  sin θ	R (सभी वास्तविक संख्याएँ)	[-1, 1]
  cos θ	R	[-1, 1]
  tan θ	R - { (2n+1)π/2, n ∈ Z }	R
  cot θ	R - { nπ, n ∈ Z }	R
  sec θ	R - { (2n+1)π/2, n ∈ Z }	R - (-1, 1)
  cosec θ	R - { nπ, n ∈ Z }	R - (-1, 1)
  (जहाँ Z पूर्णांकों का समुच्चय है)

• त्रिकोणमितीय फलनों का आवर्तनांक (Periodicity):

  • sin(2nπ + θ) = sin θ
  • cos(2nπ + θ) = cos θ
  • tan(nπ + θ) = tan θ
  • cot(nπ + θ) = cot θ
  • sec(2nπ + θ) = sec θ
  • cosec(2nπ + θ) = cosec θ
    (sin, cos, sec, cosec का आवर्तनांक 2π है; tan, cot का आवर्तनांक π है)

4. कुछ मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मान:

5. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities):

• मूलभूत सर्वसमिकाएँ:
  • sin²θ + cos²θ = 1
  • 1 + tan²θ = sec²θ
  • 1 + cot²θ = cosec²θ
• योग और अंतर सूत्र:
  • cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
  • cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
  • sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
  • sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
  • tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
  • tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
  • cot(A + B) = (cot A cot B - 1) / (cot B + cot A)
  • cot(A - B) = (cot A cot B + 1) / (cot B - cot A)
• गुणज कोण सूत्र (Multiple Angle Formulas):
  • sin 2A = 2 sin A cos A = (2 tan A) / (1 + tan²A)
  • cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A = (1 - tan²A) / (1 + tan²A)
  • tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)
  • sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A
  • cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A
  • tan 3A = (3 tan A - tan³A) / (1 - 3 tan²A)
• उप-गुणज कोण सूत्र (Sub-multiple Angle Formulas): (cos 2A सूत्रों से प्राप्त)
  • sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]
  • cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]
  • tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)] = sin A / (1 + cos A) = (1 - cos A) / sin A
    (चिह्न (±) कोण A/2 के चतुर्थांश पर निर्भर करता है)
• योग को गुणनफल में बदलना (Sum to Product):
  • sin C + sin D = 2 sin((C+D)/2) cos((C-D)/2)
  • sin C - sin D = 2 cos((C+D)/2) sin((C-D)/2)
  • cos C + cos D = 2 cos((C+D)/2) cos((C-D)/2)
  • cos C - cos D = -2 sin((C+D)/2) sin((C-D)/2) = 2 sin((C+D)/2) sin((D-C)/2)
• गुणनफल को योग में बदलना (Product to Sum):
  • 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B)
  • 2 cos A sin B = sin(A + B) - sin(A - B)
  • 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A - B)
  • 2 sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)

6. त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations):

• परिभाषा: ऐसे समीकरण जिनमें अज्ञात कोणों के त्रिकोणमितीय फलन सम्मिलित होते हैं, त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं।
• मुख्य हल (Principal Solution): समीकरण का वह हल जो अंतराल [0, 2π) में स्थित होता है।
• व्यापक हल (General Solution): पूर्णांक 'n' के पदों में व्यक्त वह व्यंजक जो समीकरण के सभी हलों को दर्शाता है।
  • यदि sin x = sin α, तब x = nπ + (-1)ⁿ α, जहाँ n ∈ Z
  • यदि cos x = cos α, तब x = 2nπ ± α, जहाँ n ∈ Z
  • यदि tan x = tan α, तब x = nπ + α, जहाँ n ∈ Z
  • यदि sin²x = sin²α, cos²x = cos²α, या tan²x = tan²α, तब x = nπ ± α, जहाँ n ∈ Z

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

• सभी सूत्र और सर्वसमिकाएँ अच्छी तरह याद रखें।
• विभिन्न चतुर्थांशों में फलनों के चिह्न और मान ज्ञात करना सीखें।
• कोणों को डिग्री से रेडियन और रेडियन से डिग्री में बदलना।
• त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर की समझ।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों के मुख्य और व्यापक हल ज्ञात करना।
• ऊँचाई और दूरी की समस्याओं में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग (हालाँकि यह मुख्यतः कक्षा 10 का विषय है, पर प्रश्न आ सकते हैं)।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: 120° का मान रेडियन में क्या है?
(a) π/3
(b) 2π/3
(c) π/2
(d) 3π/4

प्रश्न 2: sin(5π/6) का मान क्या है?
(a) 1/2
(b) -1/2
(c) √3/2
(d) -√3/2

प्रश्न 3: यदि cos θ = -√3/2 और θ तृतीय चतुर्थांश में है, तो tan θ का मान क्या है?
(a) 1/√3
(b) -1/√3
(c) √3
(d) -√3

प्रश्न 4: व्यंजक cos²A - sin²A किसके बराबर है?
(a) sin 2A
(b) cos 2A
(c) tan 2A
(d) cot 2A

प्रश्न 5: sin 75° का मान क्या है?
(a) (√3 + 1) / 2√2
(b) (√3 - 1) / 2√2
(c) (1 - √3) / 2√2
(d) (√2 + 1) / 2√3

प्रश्न 6: समीकरण sin x = 1/2 का व्यापक हल क्या है? (n ∈ Z)
(a) x = nπ + π/6
(b) x = 2nπ + π/6
(c) x = nπ + (-1)ⁿ π/6
(d) x = 2nπ ± π/6

प्रश्न 7: फलन f(x) = cos x का परिसर (Range) क्या है?
(a) R
(b) [-1, 1]
(c) R - (-1, 1)
(d) [0, 1]

प्रश्न 8: 2 sin(22.5°) cos(22.5°) का मान क्या है?
(a) 1/2
(b) 1/√2
(c) √3/2
(d) 1

प्रश्न 9: यदि tan A = 1/2 और tan B = 1/3, तो tan(A + B) का मान क्या है?
(a) 1
(b) 5/6
(c) 1/6
(d) 0

प्रश्न 10: कोण -750° किस चतुर्थांश में स्थित है?
(a) प्रथम
(b) द्वितीय
(c) तृतीय
(d) चतुर्थ

उत्तरमाला (MCQs):

1. (b) 2π/3 [हल: 120 * (π/180) = 2π/3]
2. (a) 1/2 [हल: sin(5π/6) = sin(π - π/6) = sin(π/6) = 1/2]
3. (a) 1/√3 [हल: तृतीय चतुर्थांश में sin θ ऋणात्मक होगा, sin θ = -√(1 - cos²θ) = -√(1 - 3/4) = -1/2. tan θ = sin θ / cos θ = (-1/2) / (-√3/2) = 1/√3]
4. (b) cos 2A [सूत्र]
5. (a) (√3 + 1) / 2√2 [हल: sin 75° = sin(45°+30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2) = (√3+1)/2√2]
6. (c) x = nπ + (-1)ⁿ π/6 [हल: sin x = 1/2 = sin(π/6), व्यापक हल सूत्र से]
7. (b) [-1, 1] [परिभाषा]
8. (b) 1/√2 [हल: 2 sin(22.5°) cos(22.5°) = sin(2 * 22.5°) = sin(45°) = 1/√2]
9. (a) 1 [हल: tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) = (1/2 + 1/3) / (1 - (1/2)(1/3)) = (5/6) / (1 - 1/6) = (5/6) / (5/6) = 1]
10. (d) चतुर्थ [हल: -750° = -2 * 360° - 30°. यह -30° के तुल्य है, जो चतुर्थ चतुर्थांश में है।]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। त्रिकोणमिति में सफलता के लिए सूत्रों को याद रखना और उनका सही अनुप्रयोग करना आवश्यक है। शुभकामनाएं!