Class 11 Mathematics Notes Chapter 6 (रैखिक असमिकाएँ) – Ganit Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित विषय के अध्याय 6, 'रैखिक असमिकाएँ' (Linear Inequalities) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसके सिद्धांत आगे चलकर रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) जैसी अवधारणाओं को समझने में मदद करते हैं।

अध्याय 6: रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities)

1. परिचय (Introduction)

समीकरणों (equations) में हम समता (=) चिह्न का प्रयोग करते हैं, जैसे ax + b = 0। लेकिन जब हम दो वास्तविक संख्याओं या बीजीय व्यंजकों के बीच < (से कम), > (से अधिक), ≤ (से कम या बराबर), ≥ (से अधिक या बराबर) जैसे चिह्नों का प्रयोग करते हैं, तो हमें असमिका (inequality) प्राप्त होती है।

• उदाहरण: 3 < 5, x > 2, 2y + 1 ≤ 7, ax + b ≥ 0

रैखिक असमिका (Linear Inequality):
एक असमिका रैखिक कहलाती है यदि उसमें चर (variable) की उच्चतम घात एक हो।

• एक चर वाली रैखिक असमिका: ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0 (जहाँ a ≠ 0)
• दो चर वाली रैखिक असमिका: ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, ax + by ≥ c (जहाँ a ≠ 0 और b ≠ 0)

2. एक चर वाली रैखिक असमिकाओं का हल (Solution of Linear Inequalities in One Variable)

किसी असमिका का हल चर के उन सभी मानों का समुच्चय होता है जो असमिका को सत्य बनाते हैं।

असमिकाओं को हल करने के नियम:

• नियम 1: असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जा सकती है, इससे असमिका के चिह्न पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
  • यदि a < b, तो a + c < b + c और a - c < b - c
• नियम 2: असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, इससे असमिका के चिह्न पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
  • यदि a < b और c > 0, तो ac < bc और a/c < b/c
• नियम 3: असमिका के दोनों पक्षों को समान ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिह्न उलट (reverse) जाता है (< का > हो जाता है, ≤ का ≥ हो जाता है, आदि)।
  • यदि a < b और c < 0, तो ac > bc और a/c > b/c

हल का संख्या रेखा पर निरूपण (Representation on Number Line):

• x < a: a से बाईं ओर की पूरी रेखा ( a शामिल नहीं, a पर खुला वृत्त 'o')
• x > a: a से दाईं ओर की पूरी रेखा ( a शामिल नहीं, a पर खुला वृत्त 'o')
• x ≤ a: a से बाईं ओर की पूरी रेखा ( a शामिल है, a पर बंद वृत्त '•')
• x ≥ a: a से दाईं ओर की पूरी रेखा ( a शामिल है, a पर बंद वृत्त '•')

उदाहरण: 3x - 6 ≥ 0 को हल करें और संख्या रेखा पर दर्शाएं।
हल:
3x - 6 ≥ 0
3x ≥ 6 (नियम 1: दोनों पक्षों में 6 जोड़ने पर)
x ≥ 6/3 (नियम 2: दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर)
x ≥ 2

संख्या रेखा पर निरूपण: 2 पर बंद वृत्त (•) और दाईं ओर की पूरी रेखा को गहरा किया जाएगा।
----o----o----•----->
0 1 2 3

3. दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का आलेखी हल (Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables)

दो चरों वाली रैखिक असमिका का हल कार्तीय तल (Cartesian plane) में एक क्षेत्र (region) होता है।

हल ज्ञात करने की विधि:

1. समीकरण बनाएं: दी गई असमिका (ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, या ax + by ≥ c) को संगत समीकरण ax + by = c में बदलें। यह एक सरल रेखा को निरूपित करेगा।
2. रेखा खींचें: कार्तीय तल पर रेखा ax + by = c खींचें।
   • यदि असमिका में < या > चिह्न है, तो रेखा को खंडित (dashed or dotted line) बनाएं, क्योंकि रेखा पर स्थित बिंदु हल में शामिल नहीं हैं।
   • यदि असमिका में ≤ या ≥ चिह्न है, तो रेखा को ठोस (solid line) बनाएं, क्योंकि रेखा पर स्थित बिंदु हल में शामिल हैं।
3. हल क्षेत्र का निर्धारण: यह रेखा कार्तीय तल को दो अर्ध-तलों (half-planes) में विभाजित करती है। हमें यह निर्धारित करना है कि कौन सा अर्ध-तल असमिका का हल क्षेत्र है।
   • इसके लिए, एक परीक्षण बिंदु (test point) चुनें जो रेखा पर स्थित न हो। सामान्यतः मूल बिंदु (0, 0) सबसे आसान होता है, यदि रेखा मूल बिंदु से नहीं गुजरती है।
   • इस परीक्षण बिंदु के निर्देशांकों को दी गई असमिका में रखें।
   • यदि परीक्षण बिंदु असमिका को संतुष्ट करता है, तो उस अर्ध-तल को छायांकित (shade) करें जिसमें परीक्षण बिंदु स्थित है। यही हल क्षेत्र है।
   • यदि परीक्षण बिंदु असमिका को संतुष्ट नहीं करता है, तो दूसरे अर्ध-तल को छायांकित करें। वही हल क्षेत्र होगा।

उदाहरण: x + 2y ≤ 8 का आलेखीय हल ज्ञात करें।
हल:

1. संगत समीकरण: x + 2y = 8
2. रेखा खींचें:
   • जब x = 0, 2y = 8 => y = 4 (बिंदु (0, 4))
   • जब y = 0, x = 8 (बिंदु (8, 0))
   • इन बिंदुओं को मिलाएं। चूँकि असमिका में ≤ है, रेखा ठोस (solid) होगी।
3. हल क्षेत्र: परीक्षण बिंदु (0, 0) लेते हैं।
   • असमिका में x=0, y=0 रखने पर: 0 + 2(0) ≤ 8 => 0 ≤ 8, जो सत्य है।
   • अतः, हल क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिसमें मूल बिंदु (0, 0) स्थित है। इस क्षेत्र को छायांकित करें।

4. रैखिक असमिकाओं के निकाय का आलेखी हल (Graphical Solution of System of Linear Inequalities)

जब दो या दो से अधिक रैखिक असमिकाएं एक साथ दी जाती हैं, तो उसे असमिकाओं का निकाय (system of inequalities) कहते हैं।

हल ज्ञात करने की विधि:

1. प्रत्येक असमिका का आलेखीय हल उसी कार्तीय तल पर ज्ञात करें (जैसा ऊपर बताया गया है)।
2. सभी असमिकाओं के हल क्षेत्रों का उभयनिष्ठ (common) क्षेत्र ज्ञात करें।
3. यह उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र ही असमिकाओं के निकाय का हल समुच्चय (solution set) होता है।

उदाहरण:
x + y ≥ 5
x - y ≤ 3
का हल ज्ञात करें।

हल:

1. x + y = 5 रेखा खींचें (ठोस)। (0,0) रखने पर 0 ≥ 5 (असत्य), अतः मूल बिंदु से विपरीत वाला क्षेत्र छायांकित करें।
2. x - y = 3 रेखा खींचें (ठोस)। (0,0) रखने पर 0 ≤ 3 (सत्य), अतः मूल बिंदु वाला क्षेत्र छायांकित करें।
3. दोनों छायांकित क्षेत्रों का उभयनिष्ठ भाग ही निकाय का हल होगा।

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए महत्व:

• यह अध्याय रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं (Linear Programming Problems - LPP) का आधार है, जो प्रबंधन, अर्थशास्त्र और संचालन अनुसंधान में व्यापक रूप से उपयोग होती हैं।
• कई अनुकूलन (optimization) समस्याओं को समझने के लिए असमिकाओं का ज्ञान आवश्यक है।
• बीजगणित और ज्यामिति के बीच संबंध स्थापित करता है।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: असमिका 3x - 9 > 0 का हल है:
(a) x < 3
(b) x > 3
(c) x ≤ 3
(d) x ≥ 3

प्रश्न 2: असमिका -2x + 4 ≤ 10 का हल है:
(a) x ≤ -3
(b) x ≥ -3
(c) x < -3
(d) x > -3

प्रश्न 3: संख्या रेखा पर x ≥ -1 का निरूपण होगा:
(a) -1 पर खुला वृत्त और दाईं ओर रेखा
(b) -1 पर बंद वृत्त और दाईं ओर रेखा
(c) -1 पर खुला वृत्त और बाईं ओर रेखा
(d) -1 पर बंद वृत्त और बाईं ओर रेखा

प्रश्न 4: यदि a < b और c < 0 हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
(a) ac < bc
(b) ac > bc
(c) a/c < b/c
(d) a+c < b+c

प्रश्न 5: असमिका y < 2 का आलेखीय निरूपण है:
(a) y=2 रेखा के ऊपर का क्षेत्र (रेखा शामिल नहीं)
(b) y=2 रेखा के नीचे का क्षेत्र (रेखा शामिल नहीं)
(c) y=2 रेखा के ऊपर का क्षेत्र (रेखा शामिल)
(d) y=2 रेखा के नीचे का क्षेत्र (रेखा शामिल)

प्रश्न 6: असमिका 2x + 3y ≤ 6 के आलेख में रेखा 2x + 3y = 6 कैसी होगी?
(a) खंडित (Dashed)
(b) ठोस (Solid)
(c) बिंदुदार (Dotted)
(d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 7: असमिका x + y > 4 के हल क्षेत्र के निर्धारण के लिए परीक्षण बिंदु (0, 0) रखने पर 0 > 4 प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसका अर्थ है कि हल क्षेत्र:
(a) मूल बिंदु वाला अर्ध-तल है।
(b) मूल बिंदु के विपरीत वाला अर्ध-तल है।
(c) केवल रेखा x+y=4 है।
(d) पूरा कार्तीय तल है।

प्रश्न 8: एक फल विक्रेता के पास कुछ सेब हैं। यदि वह 5 सेब और खरीद ले, तो भी उसके पास 20 से कम सेब रहते हैं। यदि सेबों की संख्या x हो, तो इसे किस असमिका से दर्शाएंगे?
(a) x + 5 > 20
(b) x + 5 < 20
(c) x - 5 < 20
(d) x + 5 ≤ 20

प्रश्न 9: निकाय x ≥ 0, y ≥ 0 का हल क्षेत्र कार्तीय तल का कौन सा चतुर्थांश (quadrant) है?
(a) प्रथम चतुर्थांश
(b) द्वितीय चतुर्थांश
(c) तृतीय चतुर्थांश
(d) चतुर्थ चतुर्थांश

प्रश्न 10: असमिका 5x - 3 < 3x + 1 का हल है, जब x एक पूर्णांक है:
(a) {..., 0, 1}
(b) {1, 2, 3, ...}
(c) {..., -1, 0, 1, 2}
(d) {2, 3, 4, ...}

उत्तरमाला (MCQs):

1. (b)
2. (b) [ध्यान दें: -2 से भाग देने पर चिह्न उलट जाएगा]
3. (b)
4. (b) [ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न उलट जाता है]
5. (b)
6. (b) [≤ चिह्न के कारण]
7. (b)
8. (b)
9. (a) [x और y दोनों धनात्मक या शून्य प्रथम चतुर्थांश में होते हैं]
10. (a) [हल करने पर 2x < 4 => x < 2। पूर्णांक मान जो 2 से कम हैं: ..., 0, 1]

इन नोट्स का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें और दिए गए प्रश्नों को हल करने का प्रयास करें। असमिकाओं के नियमों को समझना और आलेखीय विधि का अभ्यास करना बहुत महत्वपूर्ण है। शुभकामनाएँ!