Class 11 Mathematics Notes Chapter 7 (Chapter 7) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित एक्सेम्पलर (Exemplar) पुस्तक के अध्याय 7 - 'क्रमचय और संचय' (Permutations and Combinations) का विस्तृत अध्ययन करते हैं। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के दृष्टिकोण से बहुत महत्वपूर्ण है।

अध्याय 7: क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) - विस्तृत नोट्स

1. भूमिका (Introduction)
यह अध्याय वस्तुओं को व्यवस्थित करने (arranging) या चुनने (selecting) के विभिन्न तरीकों की गणना करने से संबंधित है। क्रमचय में वस्तुओं के क्रम का महत्व होता है, जबकि संचय में क्रम का महत्व नहीं होता।

2. गणना का आधारभूत सिद्धांत (Fundamental Principle of Counting)
इसके दो मुख्य सिद्धांत हैं:

• गुणन का सिद्धांत (Multiplication Principle): यदि कोई एक कार्य 'm' विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है और उसके उपरांत (स्वतंत्र रूप से) दूसरा कार्य 'n' विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है, तो दोनों कार्यों को एक साथ करने के कुल तरीकों की संख्या m × n होगी।

  • उदाहरण: यदि आपके पास 3 शर्ट और 2 पैंट हैं, तो आप कुल 3 × 2 = 6 विभिन्न तरीकों से शर्ट और पैंट पहन सकते हैं।

• योग का सिद्धांत (Addition Principle): यदि कोई एक कार्य 'm' विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है और दूसरा कार्य (जो पहले कार्य के साथ नहीं हो सकता, यानी परस्पर अपवर्जी/mutually exclusive) 'n' विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है, तो दोनों में से किसी एक कार्य को करने के कुल तरीकों की संख्या m + n होगी।

  • उदाहरण: यदि एक कक्षा में 10 लड़के और 8 लड़कियाँ हैं, और शिक्षक को मॉनिटर के रूप में या तो एक लड़का या एक लड़की चुननी है, तो कुल 10 + 8 = 18 तरीके हैं।

3. क्रमगुणित संकेतन (Factorial Notation)
प्रथम n प्राकृत संख्याओं के सतत गुणनफल को 'क्रमगुणित n' कहते हैं और इसे n! से दर्शाते हैं।
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• विशेष रूप से, 0! = 1 (परिभाषा के अनुसार)।
• 1! = 1
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

4. क्रमचय (Permutations)
क्रमचय का अर्थ है दी गई वस्तुओं में से कुछ या सभी को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करना। यहाँ क्रम महत्वपूर्ण है।

• n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक समय में लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या (जबकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है): इसे P(n, r) या nPr से दर्शाते हैं।
  nPr = n! / (n-r)!
  जहाँ 0 ≤ r ≤ n.

  • उदाहरण: शब्द 'ROSE' के अक्षरों से, बिना पुनरावृत्ति के, 3 अक्षरों वाले कितने शब्द बन सकते हैं? यहाँ n=4, r=3. तो 4P3 = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 24.

• n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक समय में लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या (जबकि पुनरावृत्ति की अनुमति है):
  n^r

  • उदाहरण: अंक 1, 2, 3 से, अंकों की पुनरावृत्ति के साथ, 2 अंकों की कितनी संख्याएँ बन सकती हैं? यहाँ n=3, r=2. तो 3^2 = 9 संख्याएँ बन सकती हैं (11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33)।

• उन वस्तुओं के क्रमचय जब सभी वस्तुएँ भिन्न नहीं हैं: यदि कुल n वस्तुएँ हैं, जिनमें p₁ वस्तुएँ एक प्रकार की, p₂ वस्तुएँ दूसरे प्रकार की, ..., pk वस्तुएँ k-वें प्रकार की हैं (जहाँ p₁ + p₂ + ... + pk = n), तो इन n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या है:
  n! / (p₁! × p₂! × ... × pk!)

  • उदाहरण: शब्द 'ALLAHABAD' के अक्षरों से कितने भिन्न शब्द बन सकते हैं? कुल अक्षर n=9. A=4 बार, L=2 बार, H=1 बार, B=1 बार, D=1 बार। तो कुल शब्द = 9! / (4! × 2!) = (362880) / (24 × 2) = 7560.

5. संचय (Combinations)
संचय का अर्थ है दी गई वस्तुओं में से कुछ या सभी को चुनना या चयन करना। यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।

• n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं को एक समय में लेकर बनने वाले संचयों (चयन) की संख्या: इसे C(n, r) या nCr या (n r) से दर्शाते हैं।
  nCr = n! / (r! × (n-r)!)
  जहाँ 0 ≤ r ≤ n.

  • उदाहरण: 5 खिलाड़ियों में से 3 खिलाड़ियों की एक टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है? यहाँ n=5, r=3. तो 5C3 = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10.

• nCr के महत्वपूर्ण गुणधर्म:

  1. nCr = nC(n-r)
     • उदाहरण: 10C8 = 10C(10-8) = 10C2
  2. nC0 = 1, nCn = 1
  3. nCr + nC(r-1) = (n+1)Cr (पास्कल का नियम)
  4. nPr = nCr × r!

6. क्रमचय और संचय पर आधारित मिश्रित समस्याएँ
अक्सर समस्याओं में क्रमचय और संचय दोनों के सिद्धांतों का उपयोग होता है। पहले चयन (संचय) किया जाता है और फिर चयनित वस्तुओं को व्यवस्थित (क्रमचय) किया जाता है।

• उदाहरण: 5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 2 लड़कियों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

  • 5 लड़कों में से 3 लड़के चुनने के तरीके = 5C3 = 10
  • 4 लड़कियों में से 2 लड़कियाँ चुनने के तरीके = 4C2 = 6
  • गुणन सिद्धांत के अनुसार, कुल तरीके = 10 × 6 = 60.

• उदाहरण: शब्द 'EQUATION' के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि सभी स्वर एक साथ आएँ?

  • स्वर हैं: E, U, A, I, O (5 स्वर)
  • व्यंजन हैं: Q, T, N (3 व्यंजन)
  • सभी स्वरों को एक इकाई (X) मानें। अब हमारे पास X, Q, T, N (कुल 4 इकाइयाँ) हैं। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके = 4!
  • 5 स्वरों को आपस में व्यवस्थित करने के तरीके = 5!
  • कुल तरीके = 4! × 5! = 24 × 120 = 2880.

महत्वपूर्ण बिंदु (परीक्षा के लिए):

• प्रश्न को ध्यान से पढ़ें और समझें कि क्या व्यवस्था (क्रमचय) या चयन (संचय) की आवश्यकता है।
• पहचानें कि क्या वस्तुओं की पुनरावृत्ति की अनुमति है।
• पहचानें कि क्या सभी वस्तुएँ भिन्न हैं या कुछ समान हैं।
• 'कम से कम' (at least) या 'अधिक से अधिक' (at most) जैसे शब्दों पर विशेष ध्यान दें। इनमें अक्सर कुल तरीकों में से अवांछित तरीकों को घटाना पड़ता है या विभिन्न मामलों (cases) को जोड़ना पड़ता है।
• सूत्रों को सही ढंग से लागू करें और गणना में सावधानी बरतें।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: यदि nP4 = 360 है, तो n का मान क्या है?
(a) 5
(b) 6
(c) 7
(d) 8

प्रश्न 2: 10 विभिन्न पुस्तकों में से 4 पुस्तकें कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं?
(a) 10P4
(b) 10! / 4!
(c) 10C4
(d) 4^10

प्रश्न 3: शब्द 'MATHEMATICS' के अक्षरों से कितने विभिन्न शब्द बनाए जा सकते हैं?
(a) 11!
(b) 11! / (2! × 2! × 2!)
(c) 11! / 8!
(d) 11C8

प्रश्न 4: 5 पुरुषों और 4 महिलाओं में से 3 व्यक्तियों की एक समिति बनानी है जिसमें कम से कम एक महिला हो। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?
(a) 84
(b) 74
(c) 10
(d) 9C3

प्रश्न 5: अंक 1, 2, 3, 4, 5 का प्रयोग करके, बिना पुनरावृत्ति के, 3 अंकों की कितनी सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
(a) 60
(b) 24
(c) 12
(d) 36

प्रश्न 6: यदि nC8 = nC6 है, तो nC2 का मान क्या है?
(a) 14
(b) 28
(c) 56
(d) 91

प्रश्न 7: 6 लड़कों और 4 लड़कियों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें?
(a) 6! × 4!
(b) 10! / (6! × 4!)
(c) 6! × 7P4
(d) 4! × 7C6

प्रश्न 8: एक बहुभुज में 44 विकर्ण हैं। इसकी भुजाओं की संख्या कितनी है?
(a) 9
(b) 10
(c) 11
(d) 12

प्रश्न 9: ताश की गड्डी के 52 पत्तों में से 4 पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?
(a) 52P4
(b) 52C4
(c) 52! / 4!
(d) 4^52

प्रश्न 10: 5 विभिन्न हरी गेंदों, 4 विभिन्न नीली गेंदों और 3 विभिन्न लाल गेंदों में से 3 गेंदों का चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है ताकि चयनित गेंदों में कम से कम एक हरी गेंद हो?
(a) 12C3 - 7C3
(b) 5C1 × 11C2
(c) 12C3 - 5C3
(d) 5C1 + 5C2 + 5C3

उत्तरमाला (MCQs):

1. (b) [n(n-1)(n-2)(n-3) = 360 => 6×5×4×3 = 360, अतः n=6]
2. (c) [चयन करना है, इसलिए संचय]
3. (b) [कुल 11 अक्षर, M=2, A=2, T=2]
4. (b) [कुल तरीके (9C3) - केवल पुरुषों वाली समिति के तरीके (5C3) = 84 - 10 = 74]
5. (b) [इकाई स्थान पर 2 या 4 (2 तरीके)। शेष 2 स्थान भरने के लिए 4 शेष अंकों में से 2 चुनें और व्यवस्थित करें (4P2 तरीके)। कुल = 2 × 4P2 = 2 × 12 = 24]
6. (d) [nC8 = nC6 => n = 8+6 = 14. तो 14C2 = (14 × 13) / (2 × 1) = 91]
7. (c) [पहले 6 लड़कों को बैठाएं (6! तरीके)। उनके बीच और किनारों पर 7 स्थान (B_B_B_B_B_B) बनेंगे। इन 7 स्थानों पर 4 लड़कियों को बैठाएं (7P4 तरीके)। कुल = 6! × 7P4]
8. (c) [विकर्णों की संख्या = nC2 - n = 44 => n(n-1)/2 - n = 44 => n(n-3)/2 = 44 => n(n-3) = 88 => 11 × 8 = 88, अतः n=11]
9. (b) [52 में से 4 पत्ते चुनना है, क्रम महत्वपूर्ण नहीं]
10. (a) [कुल चयन (12C3) - वे चयन जिनमें कोई हरी गेंद न हो (अर्थात केवल नीली और लाल में से चयन, 7C3)। 12C3 - 7C3 = 220 - 35 = 185. Correction: Option (a) logic is correct, calculation needs recheck if options were provided based on this logic. Let's re-evaluate the options provided. Option (a) represents the correct logic.]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!