Class 11 Notes

Class 11 Mathematics Notes Chapter 8 (Chapter 8) – Examplar Problems (Hindi) Book

Philoid

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Examplar Problems (Hindi)
विद्यार्थियों, आज हम कक्षा 11 गणित एक्सेम्प्लर के अध्याय 8 - 'द्विपद प्रमेय' (Binomial Theorem) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे संबंधित प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। आइए, इसके मुख्य बिंदुओं और सूत्रों को विस्तार से समझें।

अध्याय 8: द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) - विस्तृत नोट्स

1. भूमिका (Introduction):
द्विपद प्रमेय एक बीजीय सूत्र है जो एक द्विपद (दो पदों वाले व्यंजक, जैसे a+b) की किसी भी धन पूर्णांक घात (positive integer power) के प्रसार (expansion) को व्यक्त करता है।

2. धन पूर्णांक घातांकों के लिए द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem for Positive Integral Indices):
किसी भी धन पूर्णांक 'n' के लिए:
(a + b)^n = nC₀ a^n b⁰ + nC₁ a^(n-1) b¹ + nC₂ a^(n-2) b² + ... + nCr a^(n-r) b^r + ... + nCn a⁰ b^n

इसे संक्षेप में सिग्मा (Σ) संकेतन का उपयोग करके लिखा जा सकता है:
(a + b)^n = Σ [r=0 से n तक] nCr a^(n-r) b^r

यहाँ, nCr (जिसे C(n, r) या (n¦r) भी लिखा जाता है) द्विपद गुणांक है, जिसका मान है:
nCr = n! / (r! * (n-r)!)
जहाँ n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1 (n फैक्टोरियल) और 0! = 1.

मुख्य बिंदु:

  • (a+b)^n के प्रसार में कुल पदों की संख्या (n+1) होती है।
  • प्रसार के प्रत्येक पद में a और b की घातों का योग n होता है।
  • nC₀, nC₁, nC₂, ..., nCn द्विपद गुणांक कहलाते हैं।

3. पास्कल त्रिभुज (Pascal's Triangle):
यह द्विपद गुणांकों को ज्ञात करने की एक त्रिभुजाकार व्यवस्था है।

        1        (n=0)
       1 1       (n=1)
      1 2 1      (n=2)
     1 3 3 1     (n=3)
    1 4 6 4 1    (n=4)
   1 5 10 10 5 1  (n=5)
  ... आदि ...

प्रत्येक पंक्ति n के मान के संगत (a+b)^n के गुणांकों को दर्शाती है। प्रत्येक संख्या अपने ऊपर स्थित दो संख्याओं का योग होती है (किनारों पर 1 को छोड़कर)।

4. द्विपद गुणांकों के गुणधर्म (Properties of Binomial Coefficients):

  • nCr = nC(n-r) (उदाहरण: 10C₂ = 10C₈)
  • nC₀ = nCn = 1
  • nC₁ = n
  • nCr + nC(r-1) = (n+1)Cr (पास्कल का नियम)
  • nC₀ + nC₁ + nC₂ + ... + nCn = 2^n (सभी द्विपद गुणांकों का योग)
  • nC₀ + nC₂ + nC₄ + ... = nC₁ + nC₃ + nC₅ + ... = 2^(n-1) (सम स्थानों और विषम स्थानों के गुणांकों का योग बराबर होता है)

5. व्यापक पद (General Term):
(a+b)^n के प्रसार में (r+1) वां पद (T_(r+1)) व्यापक पद कहलाता है।
T_(r+1) = nCr a^(n-r) b^r
ध्यान दें: r का मान 0 से n तक होता है। पहला पद T₁ (r=0), दूसरा पद T₂ (r=1), आदि।

(a-b)^n के प्रसार में व्यापक पद:
T_(r+1) = nCr a^(n-r) (-b)^r = (-1)^r * nCr a^(n-r) b^r

व्यापक पद का उपयोग:

  • किसी विशिष्ट पद को ज्ञात करने के लिए (जैसे, 5वाँ पद)।
  • किसी विशिष्ट घात वाले पद का गुणांक ज्ञात करने के लिए (जैसे, x⁵ का गुणांक)।
  • x से स्वतंत्र पद (अचर पद) ज्ञात करने के लिए (अर्थात वह पद जिसमें x की घात 0 हो)।

6. मध्य पद (Middle Term(s)):
(a+b)^n के प्रसार में:

  • यदि n सम (even) है: तो केवल एक मध्य पद होता है, जो (n/2 + 1) वां पद होता है।
    T_((n/2) + 1) = nC(n/2) a^(n/2) b^(n/2)
  • यदि n विषम (odd) है: तो दो मध्य पद होते हैं, जो ((n+1)/2) वां और ((n+1)/2 + 1) वां पद होते हैं।
    T_((n+1)/2) और T_(((n+1)/2) + 1)

7. अंत से r वां पद (r-th term from the end):
(a+b)^n के प्रसार में अंत से r वां पद, प्रारंभ से (n - r + 2) वां पद होता है।

8. कुछ महत्वपूर्ण प्रसार (Some Important Expansions):

  • (1+x)^n = nC₀ + nC₁ x + nC₂ x² + ... + nCr x^r + ... + nCn x^n
  • (1-x)^n = nC₀ - nC₁ x + nC₂ x² - ... + (-1)^r nCr x^r + ... + (-1)^n nCn x^n

प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए विशेष ध्यान:

  • गुणांकों के गुणधर्मों पर आधारित प्रश्न।
  • व्यापक पद का उपयोग करके किसी विशिष्ट पद, गुणांक या स्वतंत्र पद को ज्ञात करना।
  • मध्य पद ज्ञात करना।
  • शेषफल ज्ञात करने के लिए द्विपद प्रमेय का अनुप्रयोग (जैसे, 7¹⁰³ को 50 से भाग देने पर शेषफल)।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: (2x + 3y)^7 के प्रसार में कुल कितने पद हैं?
(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 14

प्रश्न 2: (x - 1/x)^10 के प्रसार में मध्य पद कौन सा है?
(a) 5वाँ पद
(b) 6वाँ पद
(c) 7वाँ पद
(d) 5वाँ और 6वाँ पद

प्रश्न 3: (x^2 + 2/x)^9 के प्रसार में x से स्वतंत्र पद (अचर पद) कौन सा है?
(a) 5वाँ पद
(b) 6वाँ पद
(c) 7वाँ पद
(d) 8वाँ पद

प्रश्न 4: (1 + x)^15 के प्रसार में x^5 का गुणांक क्या है?
(a) 15C₄
(b) 15C₅
(c) 15C₁₀
(d) 15P₅

प्रश्न 5: 15C₀ + 15C₁ + 15C₂ + ... + 15C₁₅ का मान क्या है?
(a) 2^14
(b) 15!
(c) 2^15 - 1
(d) 2^15

प्रश्न 6: (1 - 2x)^8 के प्रसार में चौथा पद (T₄) क्या है?
(a) -56 * 8x³
(b) 56 * 8x³
(c) -70 * 8x⁴
(d) -8C₃ * (2x)³

प्रश्न 7: (x + 1/x^2)^12 के प्रसार में x^6 का गुणांक क्या है?
(a) 12C₃
(b) 12C₄
(c) 12C₂
(d) 12C₆

प्रश्न 8: nC₁ + nC₂ + nC₃ + ... + nCn का मान किसके बराबर है?
(a) 2^n
(b) 2^n - 1
(c) 2^(n-1)
(d) n!

प्रश्न 9: (a - b)^n के प्रसार में व्यापक पद T_(r+1) क्या है?
(a) nCr a^(n-r) b^r
(b) (-1)^r * nCr a^(n-r) b^r
(c) (-1)^(r+1) * nCr a^(n-r) b^r
(d) nCr a^r b^(n-r)

प्रश्न 10: (x + y)^7 के प्रसार में अंत से तीसरा पद कौन सा है?
(a) प्रारंभ से 5वाँ पद
(b) प्रारंभ से 6वाँ पद
(c) प्रारंभ से 7वाँ पद
(d) प्रारंभ से 4वाँ पद

उत्तरमाला (MCQs):

  1. (c) 8 (क्योंकि पदों की संख्या n+1 होती है, यहाँ n=7)
  2. (b) 6वाँ पद (क्योंकि n=10 सम है, मध्य पद (10/2 + 1) = 6वाँ पद)
  3. (c) 7वाँ पद (T_(r+1) में x की घात = 2(9-r) - r = 18 - 3r. इसे 0 के बराबर रखने पर 3r=18, r=6. अतः पद T_(6+1) = T₇)
  4. (b) 15C₅ (T_(r+1) = 15Cr (1)^(15-r) x^r. x^5 के लिए r=5. गुणांक = 15C₅)
  5. (d) 2^15 (द्विपद गुणांकों का योग)
  6. (d) -8C₃ * (2x)³ (T₄ = T_(3+1) = 8C₃ (1)^(8-3) (-2x)³ = 8C₃ (-1)³ (2x)³ = - 8C₃ * 8x³)
  7. (c) 12C₂ (T_(r+1) = 12Cr (x)^(12-r) (1/x²)ʳ = 12Cr x^(12-r-2r) = 12Cr x^(12-3r). x⁶ के लिए 12-3r=6, 3r=6, r=2. गुणांक = 12C₂)
  8. (b) 2^n - 1 (क्योंकि nC₀ + nC₁ + ... + nCn = 2^n, और nC₀ = 1)
  9. (b) (-1)^r * nCr a^(n-r) b^r (परिभाषा से)
  10. (b) प्रारंभ से 6वाँ पद (अंत से r वां पद = प्रारंभ से (n-r+2) वां पद. यहाँ n=7, r=3. तो पद = (7-3+2) = 6वाँ पद)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!

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