Class 11 Physics Notes Chapter 13 (Chapter 13) – Examplar Problems (Hindi) Book

चलिए, आज हम भौतिकी के एक बहुत ही महत्वपूर्ण अध्याय, 'अध्याय 13: अणुगति सिद्धांत' (Kinetic Theory) का गहन अध्ययन करेंगे। यह अध्याय गैसों के व्यवहार को उनके अणुओं की गति के आधार पर समझाता है और प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है।

अध्याय 13: अणुगति सिद्धांत - विस्तृत नोट्स

इस अध्याय का मुख्य उद्देश्य गैस के स्थूल गुणों (जैसे दाब, ताप, आयतन) को उसके सूक्ष्म गुणों (अणुओं की गति, ऊर्जा) से जोड़ना है।

1. आदर्श गैस की अभिधारणाएँ (Postulates of an Ideal Gas)

आदर्श गैस एक काल्पनिक गैस है जो कुछ नियमों का पालन करती है। इसकी मुख्य अभिधारणाएँ निम्नलिखित हैं:

• अणुओं का आकार: गैस के अणुओं का आकार नगण्य होता है और वे बिंदु द्रव्यमान (point masses) माने जाते हैं। गैस के आयतन की तुलना में अणुओं का वास्तविक आयतन नगण्य होता है।
• अणुओं की गति: गैस के अणु सभी संभव दिशाओं में तीव्र गति से यादृच्छिक (random) गति करते हैं।
• टकराव (Collisions): अणु आपस में तथा बर्तन की दीवारों से लगातार टकराते रहते हैं। ये सभी टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ (perfectly elastic) होती हैं, अर्थात इनमें गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।
• अंतरा-आण्विक बल: अणुओं के बीच कोई आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता, सिवाय टक्कर के दौरान।
• गति के नियम: अणुओं की गति पर न्यूटन के गति के नियम लागू होते हैं।

2. आदर्श गैस समीकरण (Ideal Gas Equation)

यह गैस के दाब (P), आयतन (V), मोलों की संख्या (n) और परमताप (T) के बीच संबंध स्थापित करता है।

• समीकरण: PV = nRT

  • P: दाब (Pressure) - पास्कल (Pa) या N/m² में
  • V: आयतन (Volume) - m³ में
  • n: मोलों की संख्या (Number of moles)
  • R: सार्वत्रिक गैस नियतांक (Universal Gas Constant) ≈ 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹
  • T: परमताप (Absolute Temperature) - केल्विन (K) में

• दूसरा रूप: PV = NkT

  • N: अणुओं की कुल संख्या (Total number of molecules)
  • k: बोल्ट्ज़मान नियतांक (Boltzmann Constant) = R/Nₐ ≈ 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹
  • Nₐ: आवोगाद्रो संख्या (Avogadro's Number) ≈ 6.022 × 10²³ mol⁻¹

3. गैस का दाब (Pressure of a Gas)

अणुगति सिद्धांत के अनुसार, गैस का दाब बर्तन की दीवारों पर अणुओं के लगातार टकराने के कारण उत्पन्न होता है।

• दाब का सूत्र: P = (1/3) ρv̄²

  • ρ (rho): गैस का घनत्व (Density) = M/V
  • v̄²: अणुओं के वेगों के वर्गों का माध्य (Mean square velocity)

• वैकल्पिक सूत्र: P = (1/3) (mN/V) v̄²

  • m: एक अणु का द्रव्यमान
  • N: अणुओं की कुल संख्या
  • V: आयतन

4. गतिज ऊर्जा और ताप का संबंध (Relation between Kinetic Energy and Temperature)

यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष है।

• सिद्धांत: किसी गैस के अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा (average translational kinetic energy) उसके परमताप (T) के समानुपाती होती है।
• सूत्र: (1/2)mv̄² = (3/2)kT
  • यह सूत्र एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।
  • निष्कर्ष: ताप बढ़ने पर अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा और उनकी चाल बढ़ जाती है। परमताप शून्य (0 K) पर अणुओं की गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।

5. अणुओं की विभिन्न चालें (Different Molecular Speeds)

किसी गैस में सभी अणुओं की चाल समान नहीं होती। इसलिए हम तीन प्रकार की चालों को परिभाषित करते हैं:

1. वर्ग-माध्य-मूल चाल (Root Mean Square Speed, v_rms):
   v_rms = √v̄² = √(3RT/M) = √(3kT/m)

   • M: गैस का मोलर द्रव्यमान (kg/mol में)
   • m: एक अणु का द्रव्यमान (kg में)

2. औसत चाल (Average Speed, v_av):
   v_av = √(8RT/πM) = √(8kT/πm)

3. प्रायिकतम चाल (Most Probable Speed, v_mp):
   v_mp = √(2RT/M) = √(2kT/m)

• महत्वपूर्ण संबंध: v_rms > v_av > v_mp
• अनुपात: v_rms : v_av : v_mp ≈ 1.732 : 1.596 : 1.414

6. ऊर्जा का समविभाजन का नियम (Law of Equipartition of Energy)

• नियम: तापीय साम्यावस्था में, किसी निकाय की कुल ऊर्जा उसकी सभी संभव स्वतंत्र कोटियों (degrees of freedom) में समान रूप से विभाजित होती है, और प्रत्येक स्वतंत्र कोटि से संबद्ध औसत ऊर्जा (1/2)kT होती है।

• स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom, f): किसी निकाय की स्थिति और विन्यास को पूरी तरह से व्यक्त करने के लिए आवश्यक स्वतंत्र निर्देशांकों की संख्या।

  • एकपरमाणुक गैस (Monatomic gas - He, Ar): f = 3 (केवल स्थानांतरीय)
  • द्विपरमाणुक गैस (Diatomic gas - O₂, N₂, H₂):
    • सामान्य ताप पर: f = 5 (3 स्थानांतरीय + 2 घूर्णी)
    • उच्च ताप पर: f = 7 (3 स्थानांतरीय + 2 घूर्णी + 2 काम्पनिक)
  • बहुपरमाणुक गैस (Polyatomic gas):
    • रैखिक (जैसे CO₂): f = 5
    • गैर-रैखिक (जैसे H₂O, CH₄): f = 6

7. गैसों की विशिष्ट ऊष्मा (Specific Heat of Gases)

ऊर्जा समविभाजन नियम का उपयोग करके हम गैसों की विशिष्ट ऊष्मा की गणना कर सकते हैं।

• आंतरिक ऊर्जा (Internal Energy, U): U = (f/2)nRT
• नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा (C_V): C_V = dU/dT = (f/2)R
• नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा (C_P): C_P = C_V + R = ((f/2) + 1)R
• मेयर का सूत्र: C_P - C_V = R
• विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात (γ - गामा): γ = C_P / C_V = 1 + (2/f)

8. माध्य मुक्त पथ (Mean Free Path, λ)

• परिभाषा: किसी गैस के अणु द्वारा दो क्रमिक टक्करों के बीच तय की गई औसत दूरी को माध्य मुक्त पथ कहते हैं।
• सूत्र: λ = 1 / (√2 * πd²n)
  • d: अणु का व्यास
  • n: प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या (Number density, n = N/V)
• निर्भरता:
  • λ ∝ 1/P (दाब के व्युत्क्रमानुपाती)
  • λ ∝ T (ताप के समानुपाती)

अभ्यास के लिए बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1: आदर्श गैस की अभिधारणा के अनुसार, दो अणुओं के बीच टक्कर होती है:
(क) पूर्णतः अप्रत्यास्थ
(ख) आंशिक रूप से प्रत्यास्थ
(ग) पूर्णतः प्रत्यास्थ
(घ) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 2: किसी गैस का परमताप चार गुना कर दिया जाए, तो उसके अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल (rms) चाल हो जाएगी:
(क) चार गुनी
(ख) दोगुनी
(ग) आधी
(घ) एक-चौथाई

प्रश्न 3: ऊर्जा समविभाजन नियम के अनुसार, एक द्विपरमाणुक गैस के अणु की प्रत्येक स्थानांतरीय स्वतंत्र कोटि से संबद्ध औसत ऊर्जा क्या होगी? (T = परमताप, k = बोल्ट्ज़मान नियतांक)
(क) (3/2)kT
(ख) (5/2)kT
(ग) kT
(घ) (1/2)kT

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन सी चाल का मान किसी गैस के लिए अधिकतम होता है?
(क) औसत चाल (v_av)
(ख) प्रायिकतम चाल (v_mp)
(ग) वर्ग-माध्य-मूल चाल (v_rms)
(घ) सभी बराबर होती हैं

प्रश्न 5: एक एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात (γ = C_P/C_V) कितना होता है?
(क) 7/5
(ख) 5/3
(ग) 4/3
(घ) 9/7

प्रश्न 6: यदि किसी गैस का दाब स्थिर रखा जाए और उसका आयतन बढ़ाया जाए, तो उसका माध्य मुक्त पथ (λ):
(क) बढ़ेगा
(ख) घटेगा
(ग) अपरिवर्तित रहेगा
(घ) पहले बढ़ेगा फिर घटेगा

प्रश्न 7: आदर्श गैस समीकरण PV = nRT में, 'R' का मान किस पर निर्भर करता है?
(क) गैस की प्रकृति पर
(ख) गैस के ताप पर
(ग) गैस के दाब पर
(घ) मात्रकों की प्रणाली पर

प्रश्न 8: किसी गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा सीधे समानुपाती होती है:
(क) गैस के दाब के
(ख) गैस के आयतन के
(ग) गैस के परमताप के
(घ) गैस के द्रव्यमान के

प्रश्न 9: एक द्विपरमाणुक गैस (जैसे ऑक्सीजन) की सामान्य ताप पर स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) कितनी होती है?
(क) 3
(ख) 5
(ग) 6
(घ) 7

प्रश्न 10: बोल्ट्ज़मान नियतांक (k) और सार्वत्रिक गैस नियतांक (R) के बीच सही संबंध क्या है? (Nₐ = आवोगाद्रो संख्या)
(क) R = k * Nₐ
(ख) k = R * Nₐ
(ग) R = k / Nₐ
(घ) R और k में कोई संबंध नहीं है

उत्तर और व्याख्या

1. (ग) पूर्णतः प्रत्यास्थ - आदर्श गैस की यह एक मूल अभिधारणा है कि अणुओं के बीच टक्कर में ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती।
2. (ख) दोगुनी - क्योंकि v_rms ∝ √T। यदि T को 4T किया जाता है, तो v_rms, √4T के समानुपाती होगी, जो कि 2√T के बराबर है। अतः चाल दोगुनी हो जाएगी।
3. (घ) (1/2)kT - ऊर्जा समविभाजन नियम के अनुसार, प्रत्येक स्वतंत्र कोटि (चाहे वह स्थानांतरीय हो या घूर्णी) से संबद्ध औसत ऊर्जा (1/2)kT होती है।
4. (ग) वर्ग-माध्य-मूल चाल (v_rms) - संबंध है: v_rms > v_av > v_mp।
5. (ख) 5/3 - एकपरमाणुक गैस के लिए, f=3। इसलिए γ = 1 + 2/f = 1 + 2/3 = 5/3।
6. (क) बढ़ेगा - माध्य मुक्त पथ λ ∝ T/P। आदर्श गैस समीकरण (PV=nRT) से T ∝ PV। अतः λ ∝ (PV)/P यानी λ ∝ V। दाब स्थिर होने पर आयतन बढ़ने से माध्य मुक्त पथ बढ़ेगा।
7. (घ) मात्रकों की प्रणाली पर - R एक सार्वत्रिक नियतांक है, इसका मान केवल प्रयुक्त मात्रकों (जैसे SI या CGS) पर निर्भर करता है, गैस की प्रकृति या अवस्था पर नहीं।
8. (ग) गैस के परमताप के - अणुगति सिद्धांत के अनुसार, E_avg = (3/2)kT, अर्थात औसत गतिज ऊर्जा परमताप के समानुपाती होती है।
9. (ख) 5 - सामान्य ताप पर द्विपरमाणुक गैस में 3 स्थानांतरीय और 2 घूर्णी गतियाँ होती हैं, इसलिए f=5।
10. (क) R = k * Nₐ - बोल्ट्ज़मान नियतांक प्रति अणु गैस नियतांक है, जबकि R प्रति मोल गैस नियतांक है। इसलिए R = k * Nₐ।

इन नोट्स को अच्छी तरह से पढ़ें और सूत्रों को याद रखें। यह अध्याय आपकी परीक्षा के लिए बहुत उपयोगी सिद्ध होगा। शुभकामनाएँ