Class 12 Mathematics Notes Chapter 2 (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन) – Examplar Problems (Hindi) Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित के अध्याय 2 'प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन' का विस्तृत अध्ययन करेंगे, जो आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। इस अध्याय से संबंधित अवधारणाओं और सूत्रों को समझना आपको प्रश्नों को हल करने में बहुत सहायता करेगा।

अध्याय 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions) - विस्तृत नोट्स

हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय फलन जैसे sin x, cos x, tan x आदि अपने पूरे प्रांत (domain) में एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) नहीं होते हैं। इसलिए, उनके प्रतिलोम सीधे परिभाषित नहीं किए जा सकते। उनके प्रतिलोम को परिभाषित करने के लिए, हम उनके प्रांत को प्रतिबंधित करते हैं ताकि वे एकैकी और आच्छादक बन जाएँ। इन प्रतिबंधित प्रांतों में प्राप्त प्रतिलोम फलनों के मानों को 'मुख्य मान शाखा' (Principal Value Branch) कहते हैं।

1. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और मुख्य मान शाखाएँ

यह सारणी अत्यंत महत्वपूर्ण है और आपको इसे याद रखना चाहिए:

मुख्य बिंदु:

• sin⁻¹x, tan⁻¹x, cosec⁻¹x की मुख्य मान शाखाएँ (-π/2, π/2) या [-π/2, π/2] के भीतर होती हैं। ये विषम फलन (odd functions) होते हैं, अर्थात f(-x) = -f(x)।
• cos⁻¹x, sec⁻¹x, cot⁻¹x की मुख्य मान शाखाएँ (0, π) या [0, π] के भीतर होती हैं।

2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के महत्वपूर्ण गुणधर्म

ये गुणधर्म प्रश्नों को हल करने में आपकी सहायता करेंगे। इन्हें ध्यान से समझें और याद रखें।

वर्ग 1: प्रतिलोम फलन के संबंध

1. sin⁻¹(sin x) = x, यदि x ∈ [-π/2, π/2]
2. cos⁻¹(cos x) = x, यदि x ∈ [0, π]
3. tan⁻¹(tan x) = x, यदि x ∈ (-π/2, π/2)
4. cosec⁻¹(cosec x) = x, यदि x ∈ [-π/2, π/2], x ≠ 0
5. sec⁻¹(sec x) = x, यदि x ∈ [0, π], x ≠ π/2
6. cot⁻¹(cot x) = x, यदि x ∈ (0, π)

नोट: इसी प्रकार, sin(sin⁻¹x) = x, यदि x ∈ [-1, 1] और अन्य फलनों के लिए भी।

7. cosec⁻¹x = sin⁻¹(1/x), यदि |x| ≥ 1
8. sec⁻¹x = cos⁻¹(1/x), यदि |x| ≥ 1
9. cot⁻¹x = tan⁻¹(1/x), यदि x > 0
cot⁻¹x = π + tan⁻¹(1/x), यदि x < 0

वर्ग 2: ऋणात्मक मानों के लिए गुणधर्म

1. sin⁻¹(-x) = -sin⁻¹x, यदि x ∈ [-1, 1]

2. tan⁻¹(-x) = -tan⁻¹x, यदि x ∈ R

3. cosec⁻¹(-x) = -cosec⁻¹x, यदि |x| ≥ 1

4. cos⁻¹(-x) = π - cos⁻¹x, यदि x ∈ [-1, 1]

5. sec⁻¹(-x) = π - sec⁻¹x, यदि |x| ≥ 1

6. cot⁻¹(-x) = π - cot⁻¹x, यदि x ∈ R

वर्ग 3: पूरक कोण संबंध

1. sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2, यदि x ∈ [-1, 1]
2. tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2, यदि x ∈ R
3. cosec⁻¹x + sec⁻¹x = π/2, यदि |x| ≥ 1

वर्ग 4: योग और अंतर सूत्र

1. tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x+y)/(1-xy)), यदि xy < 1

   • यदि xy > 1, तो tan⁻¹x + tan⁻¹y = π + tan⁻¹((x+y)/(1-xy))
   • यदि xy = 1, तो tan⁻¹x + tan⁻¹y = π/2

2. tan⁻¹x - tan⁻¹y = tan⁻¹((x-y)/(1+xy)), यदि xy > -1

3. 2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/(1+x²)), यदि |x| ≤ 1

4. 2tan⁻¹x = cos⁻¹((1-x²)/(1+x²)), यदि x ≥ 0

5. 2tan⁻¹x = tan⁻¹(2x/(1-x²)), यदि -1 < x < 1

वर्ग 5: एक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन को दूसरे में बदलना

किसी भी एक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन को दूसरे में बदलने के लिए समकोण त्रिभुज विधि का उपयोग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, यदि sin⁻¹x = θ है, तो sinθ = x = x/1।
एक समकोण त्रिभुज में, लंब (opposite) x और कर्ण (hypotenuse) 1 होगा।
आधार (adjacent) √(1² - x²) = √(1-x²) होगा।
तो, cosθ = √(1-x²)/1 ⇒ θ = cos⁻¹(√(1-x²))
और tanθ = x/√(1-x²) ⇒ θ = tan⁻¹(x/√(1-x²))
अतः, sin⁻¹x = cos⁻¹(√(1-x²)) = tan⁻¹(x/√(1-x²))

3. सरकारी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण सुझाव

1. मुख्य मान शाखाएँ: सभी 6 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और मुख्य मान शाखाओं को अच्छी तरह से याद रखें। यह सीधे प्रश्नों में पूछा जा सकता है या गणनाओं में आवश्यक होगा।
2. सूत्रों का अनुप्रयोग: सभी गुणधर्मों और सूत्रों को समझकर याद करें। विशेष रूप से tan⁻¹x + tan⁻¹y के विभिन्न मामलों पर ध्यान दें।
3. सरलीकरण के लिए प्रतिस्थापन: जटिल व्यंजकों को सरल करने के लिए उचित प्रतिस्थापन (substitution) का उपयोग करें:
   • यदि √(a² - x²) दिखे, तो x = a sinθ या x = a cosθ रखें।
   • यदि √(a² + x²) दिखे, तो x = a tanθ या x = a cotθ रखें।
   • यदि √(x² - a²) दिखे, तो x = a secθ या x = a cosecθ रखें।
   • यदि √( (a-x)/(a+x) ) या √( (a+x)/(a-x) ) दिखे, तो x = a cos2θ रखें।
   • यदि (1-x²)/(1+x²) या 2x/(1+x²) दिखे, तो x = tanθ रखें।
4. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग: प्रतिलोम फलनों को सरल करते समय त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (sin2θ, cos2θ, tan2θ आदि) का उपयोग अक्सर होता है।
5. अभ्यास: पिछले वर्षों के प्रश्नों का खूब अभ्यास करें ताकि आप विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल करने में निपुण हो सकें।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

यहाँ 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं जो आपकी सरकारी परीक्षा की तैयारी में सहायक होंगे:

प्रश्न 1: sin⁻¹(1/2) का मुख्य मान क्या है?
(A) π/6
(B) π/3
(C) π/4
(D) π/2

प्रश्न 2: cos⁻¹(-1/2) का मुख्य मान क्या है?
(A) π/3
(B) 2π/3
(C) -π/3
(D) π/6

प्रश्न 3: फलन y = tan⁻¹x की मुख्य मान शाखा (range) क्या है?
(A) [0, π]
(B) (-π/2, π/2)
(C) [-π/2, π/2]
(D) (0, π)

प्रश्न 4: sin⁻¹x + cos⁻¹x का मान किसके बराबर है?
(A) π
(B) π/2
(C) 0
(D) 2π

प्रश्न 5: tan⁻¹(1) + cos⁻¹(1/2) + sin⁻¹(1/2) का मान ज्ञात कीजिए।
(A) π
(B) 2π/3
(C) 3π/4
(D) 5π/4

प्रश्न 6: tan⁻¹(-1) का मुख्य मान क्या है?
(A) π/4
(B) -π/4
(C) 3π/4
(D) -3π/4

प्रश्न 7: tan⁻¹(2cos(2sin⁻¹(1/2))) का मान ज्ञात कीजिए।
(A) π/4
(B) π/2
(C) π/3
(D) π/6

प्रश्न 8: यदि x = 1/2 और y = 1/3 हो, तो tan⁻¹x + tan⁻¹y का मान क्या होगा?
(A) tan⁻¹(1/7)
(B) tan⁻¹(5/6)
(C) tan⁻¹(1)
(D) tan⁻¹(7/5)

प्रश्न 9: tan⁻¹((cos x - sin x)/(cos x + sin x)) का सरलीकृत रूप क्या है?
(A) π/4 + x
(B) π/4 - x
(C) x - π/4
(D) x

प्रश्न 10: यदि sin⁻¹x = y हो, तो
(A) 0 ≤ y ≤ π
(B) -π/2 ≤ y ≤ π/2
(C) 0 < y < π
(D) -π/2 < y < π/2

मुझे आशा है कि ये विस्तृत नोट्स और बहुविकल्पीय प्रश्न आपको 'प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन' अध्याय की तैयारी में बहुत मदद करेंगे। अपनी पढ़ाई जारी रखें और सफलता प्राप्त करें!