Class 12 Mathematics Notes Chapter 2 (समाकलनों के अनुप्रयोग) – Ganit-II Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित की पाठ्यपुस्तक 'गणित-II' के अध्याय 2 'समाकलनों के अनुप्रयोग' पर विस्तृत चर्चा करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसमें समाकलन के ज्यामितीय अनुप्रयोगों को समझाया गया है, विशेषकर वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करना। इस विषय की गहरी समझ आपको न केवल परीक्षा में अच्छे अंक दिलाएगी, बल्कि गणितीय अवधारणाओं को वास्तविक दुनिया की समस्याओं से जोड़ने में भी मदद करेगी।

अध्याय 2: समाकलनों के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)

विस्तृत नोट्स

1. परिचय (Introduction)
समाकलन का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग समतल में स्थित वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। अवकलन का उपयोग किसी फलन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जबकि समाकलन का उपयोग उन परिवर्तनों को 'जोड़ने' और कुल मात्रा या क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है। इस अध्याय में, हम मुख्य रूप से निश्चित समाकलन (definite integral) का उपयोग करके विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करना सीखेंगे।

2. साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल (Area under Simple Curves)

2.1. x-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल
यदि कोई वक्र y = f(x) है, और हमें x-अक्ष, कोटियों x = a और x = b द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, तो इसे निम्न सूत्र से दिया जाता है:
$A = \int_{a}^{b} y , dx = \int_{a}^{b} f(x) , dx$

• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • यदि वक्र x-अक्ष के ऊपर (y ≥ 0) है, तो समाकलन का मान धनात्मक होगा।
  • यदि वक्र x-अक्ष के नीचे (y ≤ 0) है, तो समाकलन का मान ऋणात्मक होगा। क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए हम समाकलन के निरपेक्ष मान (absolute value) का उपयोग करते हैं।
  • यदि वक्र x-अक्ष को a और b के बीच काटता है, तो हमें क्षेत्र को उप-अंतरालों में विभाजित करना होगा और प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल अलग से ज्ञात करके उनका योग करना होगा। उदाहरण के लिए, यदि f(x) अंतराल [a, c] में धनात्मक और [c, b] में ऋणात्मक है, तो कुल क्षेत्रफल होगा:
    $A = \int_{a}^{c} f(x) , dx + \left| \int_{c}^{b} f(x) , dx \right|$ या $A = \int_{a}^{c} f(x) , dx - \int_{c}^{b} f(x) , dx$

2.2. y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल
यदि कोई वक्र x = g(y) है, और हमें y-अक्ष, भुजों y = c और y = d द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, तो इसे निम्न सूत्र से दिया जाता है:
$A = \int_{c}^{d} x , dy = \int_{c}^{d} g(y) , dy$

• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • यदि वक्र y-अक्ष के दाईं ओर (x ≥ 0) है, तो समाकलन का मान धनात्मक होगा।
  • यदि वक्र y-अक्ष के बाईं ओर (x ≤ 0) है, तो समाकलन का मान ऋणात्मक होगा। क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए हम समाकलन के निरपेक्ष मान का उपयोग करते हैं।

3. दो वक्रों के मध्यवर्ती क्षेत्रफल (Area between Two Curves)

3.1. x-अक्ष के सापेक्ष
यदि दो वक्र y = f(x) और y = g(x) हैं, और हमें x = a और x = b के बीच उनके द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, तो:
$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| , dx$
या यदि f(x) ≥ g(x) अंतराल [a, b] में, तो:
$A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) , dx$
यहाँ, f(x) ऊपरी वक्र है और g(x) निचला वक्र है।

• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • समाकलन की सीमाएँ (a और b) आमतौर पर वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु (intersection points) से प्राप्त की जाती हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, f(x) = g(x) को हल करें।
  • यदि वक्र एक से अधिक बार प्रतिच्छेद करते हैं, या यदि f(x) और g(x) की सापेक्ष स्थिति (कौन सा वक्र ऊपर है और कौन सा नीचे) अंतराल में बदल जाती है, तो हमें क्षेत्र को उप-अंतरालों में विभाजित करना होगा और प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल अलग से ज्ञात करके उनका योग करना होगा।

3.2. y-अक्ष के सापेक्ष
यदि दो वक्र x = f(y) और x = g(y) हैं, और हमें y = c और y = d के बीच उनके द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, तो:
$A = \int_{c}^{d} |f(y) - g(y)| , dy$
या यदि f(y) ≥ g(y) अंतराल [c, d] में, तो:
$A = \int_{c}^{d} (f(y) - g(y)) , dy$
यहाँ, f(y) दाहिना वक्र है और g(y) बायां वक्र है।

4. मानक वक्रों के क्षेत्रफल (Areas of Standard Curves)

4.1. वृत्त (Circle)
समीकरण: $x^2 + y^2 = a^2$ (केंद्र (0,0) और त्रिज्या 'a' वाला वृत्त)
क्षेत्रफल: $A = \pi a^2$
व्युत्पत्ति (Derivation):
$y = \sqrt{a^2 - x^2}$ (ऊपरी अर्धवृत्त)
वृत्त सममित होता है, इसलिए हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे 4 से गुणा कर सकते हैं।
$A = 4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} , dx$
हम जानते हैं कि $\int \sqrt{a^2 - x^2} , dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$
$A = 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \right]_{0}^{a}$
$A = 4 \left[ \left( \frac{a}{2}\sqrt{a^2 - a^2} + \frac{a^2}{2}\sin{-1}\left(\frac{a}{a}\right) \right) - \left( 0 + 0 \right) \right]$
$A = 4 \left[ 0 + \frac{a^2}{2}\sin{-1}(1) \right] = 4 \left[ \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \pi a^2$

4.2. दीर्घवृत्त (Ellipse)
समीकरण: $\frac{x^2}{a2} + \frac{y^2}{b2} = 1$ (केंद्र (0,0) और अर्ध-अक्ष 'a' और 'b' वाला दीर्घवृत्त)
क्षेत्रफल: $A = \pi ab$
व्युत्पत्ति (Derivation):
$\frac{y^2}{b2} = 1 - \frac{x^2}{a2} \Rightarrow y^2 = b^2 \left( 1 - \frac{x^2}{a2} \right) \Rightarrow y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$ (ऊपरी अर्ध-दीर्घवृत्त)
दीर्घवृत्त भी सममित होता है, इसलिए हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे 4 से गुणा कर सकते हैं।
$A = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} , dx = \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} , dx$
$A = \frac{4b}{a} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \right]_{0}^{a}$
$A = \frac{4b}{a} \left[ \frac{a^2}{2}\sin{-1}(1) \right] = \frac{4b}{a} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi ab$

4.3. परवलय (Parabola)
समीकरण: $y^2 = 4ax$ या $x^2 = 4ay$
परवलय के लिए कोई सीधा क्षेत्रफल सूत्र नहीं है, बल्कि इसके क्षेत्रफल को रेखाओं या अन्य वक्रों के साथ परिबद्ध करके ज्ञात किया जाता है।

5. महत्वपूर्ण बिंदु और युक्तियाँ (Important Points and Tips)

• आरेखण (Sketching): हमेशा दिए गए वक्रों और क्षेत्र का एक मोटा आरेख (rough sketch) बनाएँ। इससे आपको समाकलन की सही सीमाएँ और ऊपरी/निचले वक्रों की पहचान करने में मदद मिलेगी।
• प्रतिच्छेदन बिंदु (Intersection Points): यदि समाकलन की सीमाएँ नहीं दी गई हैं, तो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। ये अक्सर समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाएँ होती हैं।
• सममिति (Symmetry): यदि क्षेत्र सममित है (जैसे वृत्त, दीर्घवृत्त, या कुछ परवलय), तो आप केवल एक सममित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे उपयुक्त संख्या से गुणा कर सकते हैं। इससे गणना सरल हो जाती है।
• dx या dy का चुनाव: तय करें कि आप x के सापेक्ष समाकलन करेंगे (dx) या y के सापेक्ष (dy)। यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा तरीका गणना को सरल बनाता है। यदि y को x के फलन के रूप में व्यक्त करना आसान है, तो dx का उपयोग करें। यदि x को y के फलन के रूप में व्यक्त करना आसान है, तो dy का उपयोग करें।
• निरपेक्ष मान (Absolute Value): क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है। यदि समाकलन का मान ऋणात्मक आता है, तो उसका निरपेक्ष मान लें। यदि वक्र x-अक्ष को काटता है, तो आपको समाकलन को तोड़ना होगा और प्रत्येक भाग का निरपेक्ष मान लेकर जोड़ना होगा।
• मानक समाकलन सूत्र: समाकलन के मूल सूत्र और त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से संबंधित सूत्र (जैसे $\int \sqrt{a^2 - x^2} , dx$) याद रखें।

10 बहुविकल्पीय प्रश्न (10 Multiple Choice Questions - MCQs)

निर्देश: प्रत्येक प्रश्न के लिए सही विकल्प चुनें।

1. वक्र $y = x^2$, x-अक्ष और रेखाओं $x=1$, $x=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) $\frac{7}{3}$ वर्ग इकाई
(b) $\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई
(c) $\frac{5}{3}$ वर्ग इकाई
(d) $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई

2. वक्र $y = \sin x$, x-अक्ष और रेखाओं $x=0$, $x=\pi$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) 1 वर्ग इकाई
(b) 2 वर्ग इकाई
(c) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई
(d) $\pi$ वर्ग इकाई

3. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ का क्षेत्रफल क्या है?
(a) $6\pi$ वर्ग इकाई
(b) $9\pi$ वर्ग इकाई
(c) $4\pi$ वर्ग इकाई
(d) $36\pi$ वर्ग इकाई

4. वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ का क्षेत्रफल क्या है?
(a) $4\pi$ वर्ग इकाई
(b) $8\pi$ वर्ग इकाई
(c) $16\pi$ वर्ग इकाई
(d) $32\pi$ वर्ग इकाई

5. वक्र $y = x$ और $y = x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) $\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई
(b) $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई
(c) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई
(d) 1 वर्ग इकाई

6. वक्र $y^2 = 4x$ और रेखा $x = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) $4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई
(b) $8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई
(c) $12\sqrt{3}$ वर्ग इकाई
(d) $16\sqrt{3}$ वर्ग इकाई

7. वक्र $y = x^3$, x-अक्ष और रेखाओं $x = -1$, $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) 0 वर्ग इकाई
(b) $\frac{1}{4}$ वर्ग इकाई
(c) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई
(d) 1 वर्ग इकाई

8. रेखा $y = 2x$ और परवलय $y = x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई
(b) $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई
(c) $\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई
(d) $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई

9. वक्र $y = \cos x$, x-अक्ष और रेखाओं $x=0$, $x=\pi/2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) 0 वर्ग इकाई
(b) 1 वर्ग इकाई
(c) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई
(d) $\pi$ वर्ग इकाई

10. वक्र $x = y^2$ और रेखा $x = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
(a) $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई
(b) $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई
(c) $\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई
(d) $\frac{64}{3}$ वर्ग इकाई

उत्तरमाला (Answer Key):

1. (a)
2. (b)
3. (a)
4. (c)
5. (a)
6. (c)
7. (c)
8. (b)
9. (b)
10. (b)

मुझे आशा है कि ये विस्तृत नोट्स और बहुविकल्पीय प्रश्न आपको इस अध्याय की तैयारी में अत्यंत सहायक सिद्ध होंगे। अभ्यास करते रहें और अपनी शंकाओं को दूर करने के लिए हमेशा तत्पर रहें। शुभकामनाएँ!