Class 12 Mathematics Notes Chapter 3 (आव्यूह) – Ganit-I Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित की पाठ्यपुस्तक 'गणित-I' के अध्याय 3 'आव्यूह' का विस्तृत अध्ययन करेंगे, जो आपकी विभिन्न सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। इस अध्याय को ध्यानपूर्वक समझें ताकि आप इसके मूलभूत सिद्धांतों और अनुप्रयोगों को आत्मसात कर सकें।

अध्याय 3: आव्यूह (Matrices)

आव्यूह गणितीय वस्तुओं को व्यवस्थित रूप से दर्शाने का एक शक्तिशाली उपकरण है। यह रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने, ग्राफिक्स, क्रिप्टोग्राफी और अर्थशास्त्र जैसे विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग होता है।

1. आव्यूह क्या है? (What is a Matrix?)

एक आव्यूह संख्याओं या फलनों का एक आयताकार क्रम-विन्यास (arrangement) है। इन संख्याओं या फलनों को आव्यूह के अवयव (elements) या प्रविष्टियाँ (entries) कहा जाता है।
आव्यूह को सामान्यतः बड़े कोष्ठक [ ] या छोटे कोष्ठक ( ) या दोहरी खड़ी रेखाओं || || से दर्शाया जाता है।

उदाहरण:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \ 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

पंक्ति (Row) और स्तंभ (Column):
आव्यूह में क्षैतिज रेखाओं को पंक्तियाँ (rows) और ऊर्ध्वाधर रेखाओं को स्तंभ (columns) कहते हैं।
उपरोक्त उदाहरण में, आव्यूह A में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।

आव्यूह की कोटि (Order of a Matrix):
एक आव्यूह जिसमें 'm' पंक्तियाँ और 'n' स्तंभ होते हैं, उसे $m \times n$ कोटि का आव्यूह कहा जाता है।
उपरोक्त उदाहरण में, आव्यूह A की कोटि $2 \times 3$ है।

अवयवों का निरूपण:
एक $m \times n$ कोटि के आव्यूह A को $A = [a_{ij}]$ से निरूपित किया जाता है, जहाँ $a_{ij}$ आव्यूह का वह अवयव है जो i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ में स्थित है।

उदाहरण: यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \ 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$, तो $a_{11}=2$, $a_{12}=3$, $a_{23}=5$ इत्यादि।

2. आव्यूहों के प्रकार (Types of Matrices)

1. स्तंभ आव्यूह (Column Matrix): एक आव्यूह जिसमें केवल एक स्तंभ होता है।
   उदाहरण: $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}$ (कोटि $3 \times 1$)

2. पंक्ति आव्यूह (Row Matrix): एक आव्यूह जिसमें केवल एक पंक्ति होती है।
   उदाहरण: $[1 \ 2 \ 3]$ (कोटि $1 \times 3$)

3. वर्ग आव्यूह (Square Matrix): एक आव्यूह जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है (अर्थात् $m=n$)। इसे 'n' कोटि का वर्ग आव्यूह कहा जाता है।
   उदाहरण: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ (कोटि $2 \times 2$)

   • मुख्य विकर्ण (Principal Diagonal): वर्ग आव्यूह में वे अवयव जहाँ $i=j$ होते हैं (अर्थात् $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$) मुख्य विकर्ण के अवयव कहलाते हैं।

4. विकर्ण आव्यूह (Diagonal Matrix): एक वर्ग आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के अतिरिक्त सभी अवयव शून्य होते हैं।
   उदाहरण: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$

5. अदिश आव्यूह (Scalar Matrix): एक विकर्ण आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव समान होते हैं।
   उदाहरण: $\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

6. तत्समक आव्यूह या इकाई आव्यूह (Identity Matrix): एक वर्ग आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं और शेष सभी अवयव शून्य होते हैं। इसे $I_n$ से दर्शाया जाता है, जहाँ n आव्यूह की कोटि है।
   उदाहरण: $I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

7. शून्य आव्यूह (Zero Matrix): एक आव्यूह जिसके सभी अवयव शून्य होते हैं। इसे O से दर्शाया जाता है।
   उदाहरण: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. आव्यूहों की समानता (Equality of Matrices)

दो आव्यूह A और B समान कहलाते हैं यदि:

1. उनकी कोटि समान हो।
2. उनके संगत अवयव समान हों (अर्थात् $a_{ij} = b_{ij}$ सभी $i$ और $j$ के लिए)।

उदाहरण: यदि $\begin{bmatrix} x & y \ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$, तो $x=1, y=2, z=3, w=4$.

4. आव्यूहों पर संक्रियाएँ (Operations on Matrices)

a. आव्यूहों का योग (Addition of Matrices):
दो आव्यूहों A और B को तभी जोड़ा जा सकता है जब उनकी कोटि समान हो।
यदि $A = [a_{ij}]$ और $B = [b_{ij}]$ समान कोटि के आव्यूह हैं, तो उनका योग $A+B = [a_{ij} + b_{ij}]$ होता है।
गुणधर्म:

• क्रमविनिमेय नियम (Commutative Law): $A+B = B+A$
• साहचर्य नियम (Associative Law): $(A+B)+C = A+(B+C)$
• योग का तत्समक (Additive Identity): $A+O = O+A = A$ (जहाँ O शून्य आव्यूह है)
• योग का प्रतिलोम (Additive Inverse): $A+(-A) = O$ (जहाँ $-A = [-a_{ij}]$ है)

b. एक आव्यूह का अदिश से गुणन (Multiplication of a Matrix by a Scalar):
यदि $A = [a_{ij}]$ एक आव्यूह है और $k$ कोई अदिश (संख्या) है, तो $kA = [ka_{ij}]$ होता है।
गुणधर्म:

• $k(A+B) = kA + kB$
• $(k+l)A = kA + lA$
• $k(lA) = (kl)A$
• $(-1)A = -A$

c. आव्यूहों का व्यवकलन (Subtraction of Matrices):
दो आव्यूहों A और B को तभी घटाया जा सकता है जब उनकी कोटि समान हो।
$A-B = A + (-B) = [a_{ij} - b_{ij}]$

d. आव्यूहों का गुणन (Multiplication of Matrices):
दो आव्यूहों A और B का गुणन $AB$ तभी संभव है जब आव्यूह A के स्तंभों की संख्या आव्यूह B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।
यदि $A$ की कोटि $m \times n$ है और $B$ की कोटि $n \times p$ है, तो गुणनफल $AB$ की कोटि $m \times p$ होगी।
$(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$ (अर्थात् $i$-वीं पंक्ति और $j$-वें स्तंभ के अवयव को प्राप्त करने के लिए, A की $i$-वीं पंक्ति के अवयवों को B के $j$-वें स्तंभ के संगत अवयवों से गुणा करके जोड़ा जाता है)।

गुणधर्म:

• क्रमविनिमेयता (Non-Commutative): सामान्यतः $AB \neq BA$ (आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है)।
• साहचर्य नियम (Associative Law): $(AB)C = A(BC)$
• वितरण नियम (Distributive Law):
  • $A(B+C) = AB + AC$
  • $(A+B)C = AC + BC$
• गुणन का तत्समक (Multiplicative Identity): $AI = IA = A$ (जहाँ I तत्समक आव्यूह है, जिसकी कोटि गुणन के लिए उपयुक्त हो)।
• शून्य आव्यूह से गुणन: यदि $AB = O$ हो, तो यह आवश्यक नहीं है कि $A=O$ या $B=O$ हो।

5. परिवर्त आव्यूह (Transpose of a Matrix)

एक आव्यूह A का परिवर्त (transpose) वह आव्यूह होता है जो A की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर बदलने से प्राप्त होता है। इसे $A'$ या $A^T$ से दर्शाया जाता है।
यदि $A = [a_{ij}]$ एक $m \times n$ कोटि का आव्यूह है, तो $A^T = [a_{ji}]$ एक $n \times m$ कोटि का आव्यूह होगा।

उदाहरण: यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{bmatrix}$, तो $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

परिवर्त के गुणधर्म:

• $(A^T)T = A$
• $(kA)^T = kA^T$ (जहाँ k कोई अदिश है)
• $(A+B)^T = A^T + B^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (यह गुणधर्म बहुत महत्वपूर्ण है)

6. सममित और विषम सममित आव्यूह (Symmetric and Skew-Symmetric Matrices)

a. सममित आव्यूह (Symmetric Matrix):
एक वर्ग आव्यूह A सममित कहलाता है यदि $A^T = A$ हो।
अर्थात्, $a_{ij} = a_{ji}$ सभी $i$ और $j$ के लिए।
उदाहरण: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 5 \ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

b. विषम सममित आव्यूह (Skew-Symmetric Matrix):
एक वर्ग आव्यूह A विषम सममित कहलाता है यदि $A^T = -A$ हो।
अर्थात्, $a_{ij} = -a_{ji}$ सभी $i$ और $j$ के लिए।
महत्वपूर्ण बिंदु: विषम सममित आव्यूह के मुख्य विकर्ण के सभी अवयव शून्य होते हैं (क्योंकि $a_{ii} = -a_{ii} \implies 2a_{ii} = 0 \implies a_{ii} = 0$)।
उदाहरण: $\begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \ -2 & 0 & 4 \ -3 & -4 & 0 \end{bmatrix}$

प्रमेय:

• किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए, $A+A^T$ एक सममित आव्यूह होता है।
• किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए, $A-A^T$ एक विषम सममित आव्यूह होता है।
• किसी भी वर्ग आव्यूह को एक सममित आव्यूह और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है:
  $A = \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)$

7. प्रारंभिक संक्रियाएँ (Elementary Operations)

आव्यूह पर छह प्रारंभिक संक्रियाएँ होती हैं (तीन पंक्तियों पर और तीन स्तंभों पर):

1. किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) को परस्पर बदलना ($R_i \leftrightarrow R_j$ या $C_i \leftrightarrow C_j$)
2. किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों को एक शून्येतर अदिश से गुणा करना ($R_i \to kR_i$ या $C_i \to kC_i$)
3. किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों में किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संगत अवयवों को एक शून्येतर अदिश से गुणा करके जोड़ना ($R_i \to R_i + kR_j$ या $C_i \to C_i + kC_j$)

इन संक्रियाओं का उपयोग आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

8. व्युत्क्रमणीय आव्यूह (Invertible Matrices)

यदि A एक $n \times n$ कोटि का वर्ग आव्यूह है, और यदि एक अन्य $n \times n$ कोटि का वर्ग आव्यूह B इस प्रकार विद्यमान है कि $AB = BA = I$ (जहाँ I तत्समक आव्यूह है), तो B को A का व्युत्क्रम आव्यूह कहा जाता है और इसे $A^{-1}$ से दर्शाया जाता है।

• आव्यूह A व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि उसका व्युत्क्रम विद्यमान हो।
• किसी आव्यूह का व्युत्क्रम, यदि विद्यमान है, तो वह अद्वितीय होता है।
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A{-1}$ (यह गुणधर्म भी बहुत महत्वपूर्ण है)
• केवल वर्ग आव्यूह ही व्युत्क्रमणीय हो सकते हैं।
• एक वर्ग आव्यूह A व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि यह व्युत्क्रमणीय (non-singular) हो (अर्थात् $\det(A) \neq 0$ हो, यह अवधारणा सारणिक अध्याय में विस्तृत है)।

यह विस्तृत नोट्स आपको आव्यूह अध्याय की गहन समझ प्रदान करेंगे। अब, अपनी समझ का परीक्षण करने के लिए कुछ बहुविकल्पीय प्रश्न हल करें।

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions - MCQs)

निर्देश: प्रत्येक प्रश्न के लिए सही विकल्प चुनें।

1. यदि एक आव्यूह में 8 अवयव हैं, तो इसकी संभावित कोटियाँ क्या हो सकती हैं?
(a) $2 \times 4, 4 \times 2$
(b) $1 \times 8, 8 \times 1$
(c) $2 \times 4, 4 \times 2, 1 \times 8, 8 \times 1$
(d) $2 \times 2, 4 \times 4$

2. यदि आव्यूह $A = [a_{ij}]$ एक $2 \times 3$ कोटि का आव्यूह है, जहाँ $a_{ij} = \frac{(i+j)^2}{2}$ है, तो $a_{12}$ का मान क्या होगा?
(a) $\frac{9}{2}$
(b) $\frac{25}{2}$
(c) $\frac{4}{2}$
(d) $\frac{1}{2}$

3. यदि $\begin{bmatrix} x+y & 2 \ 5+z & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \ 5 & 8 \end{bmatrix}$, तो $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?
(a) $2, 4$
(b) $4, 2$
(c) $2, 4$ या $4, 2$
(d) $3, 3$

4. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$, तो $A+B$ क्या होगा?
(a) $\begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$
(b) $\begin{bmatrix} 5 & 12 \ 21 & 32 \end{bmatrix}$
(c) $\begin{bmatrix} 6 & 10 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$
(d) $\begin{bmatrix} 6 & 8 \ 12 & 10 \end{bmatrix}$

5. यदि $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ है, तो $A A^T$ का मान क्या होगा?
(a) $O$ (शून्य आव्यूह)
(b) $I$ (तत्समक आव्यूह)
(c) $A$
(d) $A^T$

6. यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है, तो $AB$ का मान क्या होगा?
(a) $\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$
(b) $\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
(c) $\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$
(d) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

7. यदि आव्यूह A सममित और विषम सममित दोनों है, तो A क्या होगा?
(a) विकर्ण आव्यूह
(b) शून्य आव्यूह
(c) वर्ग आव्यूह
(d) तत्समक आव्यूह

8. यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & 5 \end{bmatrix}$ है, तो $A^T$ क्या होगा?
(a) $\begin{bmatrix} 2 & 4 \ 3 & 5 \end{bmatrix}$
(b) $\begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & 5 \end{bmatrix}$
(c) $\begin{bmatrix} 5 & 4 \ 3 & 2 \end{bmatrix}$
(d) $\begin{bmatrix} -2 & -3 \ -4 & -5 \end{bmatrix}$

9. यदि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं, तो $(A-B)^T$ किसके बराबर होगा?
(a) $A^T - B^T$
(b) $B^T - A^T$
(c) $A^T + B^T$
(d) $-(A+B)^T$

10. यदि $A$ एक $m \times n$ आव्यूह है और $B$ एक $n \times p$ आव्यूह है, तो $AB$ की कोटि क्या होगी?
(a) $m \times n$
(b) $n \times p$
(c) $m \times p$
(d) $p \times m$

MCQ उत्तर:

1. (c)
2. (a)
3. (c)
4. (a)
5. (b)
6. (c)
7. (b)
8. (a)
9. (a)
10. (c)

आशा है यह विस्तृत नोट्स और अभ्यास प्रश्न आपकी तैयारी में सहायक होंगे। शुभकामनाएँ!