Class 12 Mathematics Notes Chapter 4 (सारणिक) – Ganit-I Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित की पाठ्यपुस्तक 'गणित-I' के अध्याय 4 'सारणिक' का विस्तृत अध्ययन करेंगे, जो आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह अध्याय न केवल सैद्धांतिक समझ के लिए आवश्यक है, बल्कि इसमें से सीधे प्रश्न भी पूछे जाते हैं।

अध्याय 4: सारणिक (Determinants)

1. सारणिक की परिभाषा (Definition of a Determinant)
सारणिक एक वर्ग आव्यूह (square matrix) से संबंधित एक संख्या होती है। यह केवल वर्ग आव्यूहों के लिए परिभाषित होता है।

• आव्यूह और सारणिक में अंतर:
  • आव्यूह संख्याओं या फलनों का एक आयताकार विन्यास है, जिसका कोई संख्यात्मक मान नहीं होता। इसे [ ] या ( ) से दर्शाते हैं।
  • सारणिक एक वर्ग आव्यूह से संबंधित एक संख्यात्मक मान है। इसे | | से दर्शाते हैं।

2. सारणिक का मान (Value of a Determinant)

• क्रम 1 के सारणिक का मान: यदि A = [a] एक 1x1 आव्यूह है, तो det(A) = |a| = a.
• क्रम 2 के सारणिक का मान: यदि A = $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ है, तो det(A) = ad - bc.
  • उदाहरण: $\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & 5 \end{vmatrix}$ = (2)(5) - (3)(4) = 10 - 12 = -2.
• क्रम 3 के सारणिक का मान: यदि A = $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ है, तो इसका मान किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसार करके ज्ञात किया जा सकता है।
  • प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर:
    det(A) = $a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$
    = $a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$
  • चिह्न नियम: प्रसार करते समय अवयवों के साथ लगने वाले चिह्न $(-1)^{i+j}$ द्वारा निर्धारित होते हैं, जहाँ i पंक्ति संख्या और j स्तंभ संख्या है।
    $\begin{vmatrix} + & - & + \ - & + & - \ + & - & + \end{vmatrix}$

3. सारणिकों के गुणधर्म (Properties of Determinants)
ये गुणधर्म सारणिकों के मानों की गणना को सरल बनाने में बहुत सहायक होते हैं।

• गुणधर्म 1 (P1): यदि किसी सारणिक की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर बदल दिया जाए (अर्थात परिवर्त आव्यूह का सारणिक), तो सारणिक के मान में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
  • det(A) = det(Aᵀ)
• गुणधर्म 2 (P2): यदि किसी सारणिक की किन्हीं दो पंक्तियों (या स्तंभों) को परस्पर बदल दिया जाए, तो सारणिक का संख्यात्मक मान वही रहता है, परंतु उसका चिह्न बदल जाता है।
• गुणधर्म 3 (P3): यदि किसी सारणिक की कोई दो पंक्तियाँ (या स्तंभ) समान (सर्वसम) हों, तो सारणिक का मान शून्य होता है।
• गुणधर्म 4 (P4): यदि किसी सारणिक की किसी एक पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव को एक अचर k से गुणा किया जाए, तो सारणिक का मान भी k से गुणा हो जाता है।
  • महत्वपूर्ण: यदि A एक n x n आव्यूह है, तो det(kA) = kⁿ det(A). (यहाँ k सभी अवयवों से गुणा होता है, न कि केवल एक पंक्ति/स्तंभ से)।
• गुणधर्म 5 (P5): यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति (या स्तंभ) के कुछ या सभी अवयव दो या अधिक पदों के योगफल के रूप में व्यक्त हों, तो सारणिक को दो या अधिक सारणिकों के योगफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• गुणधर्म 6 (P6): यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव में दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) के संगत अवयवों के किसी अचर गुणज को जोड़ा या घटाया जाए, तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है।
  • संक्रियाएँ: Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ या Cᵢ → Cᵢ + kCⱼ

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)
शीर्षों (x₁, y₁), (x₂, y₂), और (x₃, y₃) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक विधि से निम्न प्रकार ज्ञात किया जाता है:
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}$

• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • क्षेत्रफल हमेशा एक धनात्मक राशि होती है, इसलिए यदि गणना से ऋणात्मक मान प्राप्त हो, तो उसका निरपेक्ष मान (absolute value) लें।
  • यदि तीन बिंदु संरेख (collinear) हों, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
  • यदि क्षेत्रफल दिया गया हो, तो गणना के लिए धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों का उपयोग करें।

5. उपसारणिक और सहखंड (Minors and Cofactors)

• उपसारणिक (Minor): किसी अवयव aᵢⱼ का उपसारणिक (Mᵢⱼ) वह सारणिक होता है जो आव्यूह में से i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ को हटाने पर प्राप्त होता है।
• सहखंड (Cofactor): किसी अवयव aᵢⱼ का सहखंड (Aᵢⱼ या Cᵢⱼ) निम्न प्रकार परिभाषित होता है:
  Aᵢⱼ = $(-1)^{i+j}$ Mᵢⱼ
• सारणिक का मान सहखंडों के पदों में: किसी सारणिक का मान किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अवयवों को उनके संगत सहखंडों से गुणा करके जोड़ने पर प्राप्त होता है।
  • det(A) = $a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$ (पहली पंक्ति के अनुदिश)
  • यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों को किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संगत सहखंडों से गुणा करके जोड़ा जाए, तो योगफल शून्य होता है।
  • उदाहरण: $a_{11}A_{21} + a_{12}A_{22} + a_{13}A_{23} = 0$

6. आव्यूह का सहखंडज (Adjoint of a Matrix)
एक वर्ग आव्यूह A का सहखंडज (adj A) उसके सहखंड आव्यूह (cofactor matrix) का परिवर्त (transpose) होता है।

• यदि A = $[a_{ij}]$ एक n x n आव्यूह है और $A_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का सहखंड है, तो सहखंड आव्यूह $C = [A_{ij}]$ है।
• तब, adj A = Cᵀ = $[A_{ji}]$
• महत्वपूर्ण गुणधर्म: A (adj A) = (adj A) A = |A| I, जहाँ I तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।

7. आव्यूह का व्युत्क्रम (Inverse of a Matrix)
एक वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम (A⁻¹) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
A⁻¹ = $\frac{1}{|A|}$ adj A

• व्युत्क्रमणीय आव्यूह (Invertible Matrix): एक वर्ग आव्यूह A व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि |A| ≠ 0 हो।
• अव्युत्क्रमणीय आव्यूह (Singular Matrix): एक वर्ग आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय होता है यदि |A| = 0 हो। अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम संभव नहीं होता है।
• व्युत्क्रम के गुणधर्म:
  • (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
  • (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
  • |A⁻¹| = 1/|A|

8. सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग (Applications of Determinants and Matrices)
रैखिक समीकरण निकाय का हल (Solving System of Linear Equations):
तीन चरों x, y, z में रैखिक समीकरणों का निकाय:
$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$
इसे आव्यूह समीकरण AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ:
A = $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$, X = $\begin{vmatrix} x \ y \ z \end{vmatrix}$, B = $\begin{vmatrix} d_1 \ d_2 \ d_3 \end{vmatrix}$
यदि A व्युत्क्रमणीय है (|A| ≠ 0), तो X = A⁻¹B द्वारा अद्वितीय हल प्राप्त होता है।

• निकाय की संगतता (Consistency of System):
  • केस 1: यदि |A| ≠ 0
    • निकाय संगत होता है और इसका एक अद्वितीय हल (unique solution) होता है।
  • केस 2: यदि |A| = 0
    • हमें (adj A) B की गणना करनी होगी।
    • उप-केस 2.1: यदि (adj A) B ≠ 0
      • निकाय असंगत होता है और इसका कोई हल (no solution) नहीं होता है।
    • उप-केस 2.2: यदि (adj A) B = 0
      • निकाय संगत हो सकता है या असंगत हो सकता है। यदि संगत है, तो इसके अपरिमित रूप से अनेक हल (infinitely many solutions) होते हैं। (यह स्थिति तब आती है जब समीकरण एक दूसरे पर निर्भर होते हैं।)

अभ्यास प्रश्न (MCQs)

यहाँ 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं जो आपकी सरकारी परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण हैं:

1. यदि $\begin{vmatrix} x & 2 \ 18 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \ 18 & 6 \end{vmatrix}$ है, तो x का मान है:
(A) 6
(B) $\pm 6$
(C) -6
(D) 0

2. यदि A एक 3x3 कोटि का आव्यूह है, तो $|kA|$ का मान है:
(A) $k|A|$
(B) $k^2|A|$
(C) $k^3|A|$
(D) $3k|A|$

3. यदि $\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & 5 \end{vmatrix}$ का मान है:
(A) 2
(B) -2
(C) 22
(D) -22

4. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ सर्वसम हों, तो सारणिक का मान क्या होगा?
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) सारणिक के अन्य अवयवों पर निर्भर करता है

5. बिंदुओं (2, 7), (1, 1), और (10, 8) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
(A) 15 वर्ग इकाई
(B) 30 वर्ग इकाई
(C) 0 वर्ग इकाई
(D) 45 वर्ग इकाई

6. आव्यूह A = $\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{vmatrix}$ के अवयव $a_{12}$ का सहखंड है:
(A) 3
(B) -3
(C) 2
(D) -2

7. यदि A एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो $A^{-1}$ का सूत्र क्या है?
(A) $\frac{1}{|A|} \text{adj A}$
(B) $\frac{1}{\text{adj A}} |A|$
(C) $|A| \text{adj A}$
(D) $\frac{1}{|A|} A$

8. यदि A एक 3x3 आव्यूह है और $|A| = 5$ है, तो $|\text{adj A}|$ का मान क्या है?
(A) 5
(B) 25
(C) 125
(D) 1/5

9. समीकरण निकाय $x + 2y = 3$ और $2x + 4y = 6$ के हल की प्रकृति क्या है?
(A) अद्वितीय हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अपरिमित रूप से अनेक हल
(D) असंगत

10. यदि A एक 2x2 आव्यूह है और $A(\text{adj A}) = \begin{vmatrix} 8 & 0 \ 0 & 8 \end{vmatrix}$ है, तो $|A|$ का मान है:
(A) 0
(B) 8
(C) 64
(D) 1

उत्तरमाला:

1. (B)
2. (C)
3. (B)
4. (C)
5. (C)
6. (B)
7. (A)
8. (B) (क्योंकि $|\text{adj A}| = |A|^{n-1}$, यहाँ n=3, तो $|A|^{3-1} = 5^2 = 25$)
9. (C) (यहाँ $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$। चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, अतः अपरिमित रूप से अनेक हल।)
10. (B) (क्योंकि $A(\text{adj A}) = |A|I$, तो $|A|I = \begin{vmatrix} 8 & 0 \ 0 & 8 \end{vmatrix} = 8 \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = 8I$, अतः $|A|=8$)

मुझे आशा है कि यह विस्तृत नोट्स और अभ्यास प्रश्न आपकी तैयारी में सहायक सिद्ध होंगे। शुभकामनाएँ!