Class 12 Mathematics Notes Chapter 6 (अवकलज वेफ अनुप्रयोग) – Examplar Problems (Hindi) Book

प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 12 गणित के अध्याय 6 'अवकलज के अनुप्रयोग' का यह खंड आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह अध्याय हमें सिखाता है कि अवकलज का उपयोग वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने में कैसे किया जा सकता है, जैसे कि राशियों के परिवर्तन की दर ज्ञात करना, फलनों के व्यवहार (बढ़ना या घटना) का विश्लेषण करना, वक्रों पर स्पर्श रेखाओं और अभिलंबों के समीकरण निकालना, मानों का सन्निकटन करना और सबसे महत्वपूर्ण, किसी फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना। आइए, इस अध्याय के महत्वपूर्ण बिंदुओं को विस्तार से समझते हैं।

अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)

इस अध्याय में हम अवकलज के विभिन्न अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे:

1. राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Quantities)

• यदि एक राशि $y$ किसी अन्य राशि $x$ से संबंधित है, तो $y$ के परिवर्तन की दर $x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
• यदि $y$ और $x$ दोनों किसी तीसरे चर $t$ (जैसे समय) के फलन हैं, तो $y$ के परिवर्तन की दर $t$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dt}$ होगी, और $x$ के परिवर्तन की दर $t$ के सापेक्ष $\frac{dx}{dt}$ होगी।
• श्रृंखला नियम का उपयोग करके, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ (जहाँ $\frac{dx}{dt} \neq 0$)।
• यह दर धनात्मक हो सकती है (यदि राशि बढ़ रही है) या ऋणात्मक हो सकती है (यदि राशि घट रही है)।
• उदाहरण: क्षेत्रफल, आयतन, दूरी आदि में परिवर्तन की दर।

2. वर्धमान और ह्रासमान फलन (Increasing and Decreasing Functions)

एक फलन $f(x)$ एक अंतराल $(a, b)$ में:

• निरंतर वर्धमान (Strictly Increasing) कहलाता है: यदि $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in (a, b)$ के लिए।
  • शर्त: यदि $f'(x) > 0$ उस अंतराल में।
• वर्धमान (Increasing) कहलाता है: यदि $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \le f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in (a, b)$ के लिए।
  • शर्त: यदि $f'(x) \ge 0$ उस अंतराल में।
• निरंतर ह्रासमान (Strictly Decreasing) कहलाता है: यदि $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in (a, b)$ के लिए।
  • शर्त: यदि $f'(x) < 0$ उस अंतराल में।
• ह्रासमान (Decreasing) कहलाता है: यदि $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \ge f(x_2)$ सभी $x_1, x_2 \in (a, b)$ के लिए।
  • शर्त: यदि $f'(x) \le 0$ उस अंतराल में।
• स्थिर फलन (Constant function): यदि $f'(x) = 0$ उस अंतराल में, तो फलन स्थिर है।
• अंतराल ज्ञात करने की विधि:
  1. फलन $f(x)$ का अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
  2. $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करें।
  3. इन क्रांतिक बिंदुओं का उपयोग करके संख्या रेखा को उप-अंतरालों में विभाजित करें।
  4. प्रत्येक अंतराल में $f'(x)$ के चिह्न का परीक्षण करें। यदि चिह्न धनात्मक है, तो फलन वर्धमान है; यदि चिह्न ऋणात्मक है, तो फलन ह्रासमान है।

3. स्पर्श रेखाएँ और अभिलंब (Tangents and Normals)

वक्र $y = f(x)$ के बिंदु $(x_0, y_0)$ पर:

• स्पर्श रेखा की प्रवणता (Slope of Tangent): $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_0, y_0)}$ द्वारा दी जाती है।
• स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - y_0 = m(x - x_0)$, जहाँ $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_0, y_0)}$।
• अभिलंब की प्रवणता (Slope of Normal): $-\frac{1}{m}$ (यदि $m \neq 0$)।
• अभिलंब का समीकरण: $y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)$।
• विशेष स्थितियाँ:
  • यदि स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो $m = 0$।
  • यदि स्पर्श रेखा y-अक्ष के समानांतर है, तो $m$ अपरिभाषित है (अर्थात, $\frac{dx}{dy} = 0$)।
  • यदि दो वक्र एक बिंदु पर समकोण पर काटते हैं, तो उस बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाओं की प्रवणताओं का गुणनफल -1 होता है।

4. सन्निकटन (Approximations)

• यदि $y = f(x)$ है और $x$ में एक छोटा परिवर्तन $\Delta x$ होता है, तो $y$ में संगत परिवर्तन $\Delta y$ लगभग $dy$ के बराबर होता है।
• $\Delta y \approx dy = f'(x) \Delta x$
• अतः, $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$
• इसका उपयोग किसी संख्या के वर्गमूल, घनमूल या किसी अन्य फलन के मान का सन्निकटन करने के लिए किया जाता है।
  • उदाहरण: $\sqrt{25.3}$ का सन्निकटन ज्ञात करने के लिए, $f(x) = \sqrt{x}$, $x = 25$, $\Delta x = 0.3$ लें।

5. उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima)

• स्थानीय उच्चिष्ठ (Local Maxima): एक फलन $f(x)$ का बिंदु $c$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ होता है यदि $f(c) > f(x)$ सभी $x$ के लिए जो $c$ के पर्याप्त निकट हैं।

• स्थानीय निम्निष्ठ (Local Minima): एक फलन $f(x)$ का बिंदु $c$ पर स्थानीय निम्निष्ठ होता है यदि $f(c) < f(x)$ सभी $x$ के लिए जो $c$ के पर्याप्त निकट हैं।

• क्रांतिक बिंदु (Critical Point): एक बिंदु $c$ जहाँ $f'(c) = 0$ या $f'(c)$ अपरिभाषित है। स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ केवल क्रांतिक बिंदुओं पर ही हो सकते हैं।

• प्रथम अवकलज परीक्षण (First Derivative Test):

  1. $f'(x)$ ज्ञात करें।
  2. $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु $c$ ज्ञात करें।
  3. प्रत्येक क्रांतिक बिंदु $c$ के लिए:
     • यदि $x$ के मान $c$ से थोड़ा कम होने पर $f'(x)$ का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है, तो $x = c$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है। $f(c)$ स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
     • यदि $x$ के मान $c$ से थोड़ा कम होने पर $f'(x)$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है, तो $x = c$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है। $f(c)$ स्थानीय निम्निष्ठ मान है।
     • यदि $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है, तो $x = c$ न तो स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है और न ही स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।

• द्वितीय अवकलज परीक्षण (Second Derivative Test):

  1. $f'(x)$ और $f''(x)$ ज्ञात करें।
  2. $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु $c_1, c_2, \dots$ ज्ञात करें।
  3. प्रत्येक क्रांतिक बिंदु $c$ के लिए:
     • यदि $f''(c) < 0$, तो $x = c$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है। $f(c)$ स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
     • यदि $f''(c) > 0$, तो $x = c$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है। $f(c)$ स्थानीय निम्निष्ठ मान है।
     • यदि $f''(c) = 0$, तो द्वितीय अवकलज परीक्षण विफल रहता है। इस स्थिति में प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करें।

• बंद अंतराल में निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान (Absolute Maxima and Minima in a Closed Interval):
  एक बंद अंतराल $[a, b]$ में एक सतत फलन $f(x)$ के निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान ज्ञात करने के लिए:

  1. $f'(x)$ ज्ञात करें और $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें जो अंतराल $[a, b]$ में स्थित हों।
  2. फलन के मान इन क्रांतिक बिंदुओं पर और अंतराल के अंत्य बिंदुओं $a$ और $b$ पर ज्ञात करें।
  3. इन सभी मानों में से सबसे बड़ा मान निरपेक्ष उच्चिष्ठ मान होगा और सबसे छोटा मान निरपेक्ष निम्निष्ठ मान होगा।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

यहाँ अध्याय 6 'अवकलज के अनुप्रयोग' पर आधारित 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं:

1. एक घन का आयतन 9 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। जब किनारे की लंबाई 10 cm है, तो उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि की दर क्या है?
   (a) 18 cm²/s
   (b) 36 cm²/s
   (c) 24 cm²/s
   (d) 12 cm²/s

2. फलन $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है?
   (a) $(-\infty, \infty)$
   (b) $(-\infty, 1)$
   (c) $(1, \infty)$
   (d) $(0, \infty)$

3. वक्र $y = x^3 - x + 1$ के बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता क्या है?
   (a) 1
   (b) 2
   (c) 3
   (d) 0

4. वक्र $y = x^2 - 2x + 7$ पर उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानांतर है।
   (a) $(1, 6)$
   (b) $(2, 7)$
   (c) $(0, 7)$
   (d) $(-1, 10)$

5. $\sqrt{25.3}$ का सन्निकट मान क्या है? (दशमलव के दो स्थानों तक)
   (a) 5.01
   (b) 5.02
   (c) 5.03
   (d) 5.04

6. फलन $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 1$ का स्थानीय उच्चिष्ठ मान क्या है?
   (a) 29
   (b) 28
   (c) 30
   (d) 32

7. फलन $f(x) = x^2 + \frac{250}{x}$ का स्थानीय निम्निष्ठ मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?
   (a) $x = 5$
   (b) $x = -5$
   (c) $x = 10$
   (d) $x = 0$

8. एक आयत की लंबाई x, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm है, तो आयत के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर क्या है?
   (a) 2 cm²/min
   (b) 22 cm²/min
   (c) -2 cm²/min
   (d) -22 cm²/min

9. बंद अंतराल $[0, 3]$ में फलन $f(x) = 2x^3 - 24x + 107$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ मान क्या है?
   (a) 107
   (b) 75
   (c) 35
   (d) 23

10. यदि $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15$ है, तो $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु क्या हैं?
    (a) 1, 3
    (b) 0, 1
    (c) 3, 5
    (d) 0, 3

MCQs के उत्तर:

1. (b)
2. (a)
3. (b)
4. (a)
5. (c)
6. (a)
7. (a)
8. (c)
9. (b)
10. (a)