Class 12 Mathematics Notes Chapter 7 (समाकल) – Examplar Problems (Hindi) Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित के अध्याय 7 'समाकल' (Integrals) का विस्तृत अध्ययन करेंगे, जो आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह अध्याय कैलकुलस का एक आधारभूत स्तंभ है और इसमें दिए गए सिद्धांतों व सूत्रों की गहरी समझ आपको उच्च अंक प्राप्त करने में सहायता करेगी।

अध्याय 7: समाकल (Integrals)

परिचय:
समाकलन अवकलन की व्युत्क्रम प्रक्रिया है। यदि किसी फलन $F(x)$ का अवकलज $f(x)$ है, अर्थात् $\frac{d}{dx} F(x) = f(x)$, तो $f(x)$ का समाकल $F(x)$ होता है। इसे $\int f(x) dx = F(x) + C$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $C$ समाकलन नियतांक (Constant of Integration) कहलाता है। यह $C$ इसलिए आता है क्योंकि किसी भी नियतांक का अवकलज शून्य होता है।

समाकलन के प्रकार:

1. अनिश्चित समाकल (Indefinite Integrals): वे समाकल जिनकी सीमाओं का निर्धारण नहीं होता है। इनमें समाकलन नियतांक ($C$) जोड़ा जाता है।
2. निश्चित समाकल (Definite Integrals): वे समाकल जिनकी ऊपरी और निचली सीमाएँ (Upper and Lower Limits) निर्धारित होती हैं। ये एक निश्चित संख्यात्मक मान देते हैं और इनमें समाकलन नियतांक नहीं होता।

भाग 1: अनिश्चित समाकल (Indefinite Integrals)

1. मूलभूत समाकलन सूत्र (Basic Integration Formulas):

2. समाकलन के गुणधर्म (Properties of Indefinite Integrals):

• $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$, जहाँ $k$ एक अचर है।
• $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

3. समाकलन की विधियाँ (Methods of Integration):

a) प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन (Integration by Substitution):
यह विधि तब उपयोगी होती है जब समाकल्य फलन $f(g(x))g'(x)$ के रूप में हो।

• प्रक्रिया:
  1. $g(x) = t$ मानें।
  2. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें: $g'(x) dx = dt$।
  3. दिए गए समाकल को $t$ के पदों में परिवर्तित करें और समाकलित करें।
  4. अंत में $t$ का मान वापस $g(x)$ के रूप में रखें।
• उदाहरण: $\int \sin(ax+b) dx$ में $ax+b = t$ रखने पर $a dx = dt \Rightarrow dx = \frac{1}{a} dt$।
  $\int \sin t \frac{1}{a} dt = \frac{1}{a} (-\cos t) + C = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$।

b) खंडशः समाकलन (Integration by Parts):
यह विधि दो फलनों के गुणनफल के समाकलन के लिए उपयोग की जाती है।

• सूत्र: $\int u v dx = u \int v dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v dx \right) dx$
  (जहाँ $u$ पहला फलन और $v$ दूसरा फलन है।)
• फलन के चयन का नियम (LIATE Rule): पहले फलन ($u$) का चयन इस क्रम में किया जाता है:
  • L - Logarithmic functions (लघुगणकीय फलन)
  • I - Inverse trigonometric functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन)
  • A - Algebraic functions (बीजीय फलन)
  • T - Trigonometric functions (त्रिकोणमितीय फलन)
  • E - Exponential functions (चरघातांकी फलन)
• विशेष सूत्र: $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$

c) आंशिक भिन्न द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions):
यह विधि परिमेय फलनों (Rational Functions) के समाकलन के लिए उपयोग की जाती है, जहाँ समाकल्य $\frac{P(x)}{Q(x)}$ के रूप में होता है और $P(x)$ तथा $Q(x)$ बहुपद हैं।

• प्रक्रिया:
  1. यदि $\frac{P(x)}{Q(x)}$ एक विषम परिमेय फलन (Improper Rational Function) है (अर्थात् $P(x)$ की घात $Q(x)$ की घात से अधिक या बराबर है), तो पहले इसे भाग देकर उचित परिमेय फलन (Proper Rational Function) में बदलें।
  2. $Q(x)$ के गुणनखंड करें।
  3. $Q(x)$ के गुणनखंडों के आधार पर आंशिक भिन्नों में वियोजित करें:
     • रेखीय अनावर्ती गुणनखंड: $\frac{px+q}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
     • रेखीय पुनरावर्ती गुणनखंड: $\frac{px+q}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$
     • अखंडनीय द्विघाती गुणनखंड: $\frac{px^{2+qx+r}{(x-a)(x}2+bx+c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$ (जहाँ $x^2+bx+c$ के वास्तविक गुणनखंड नहीं होते)
  4. $A, B, C$ आदि के मान ज्ञात करें।
  5. प्रत्येक आंशिक भिन्न को अलग-अलग समाकलित करें।

4. कुछ विशेष समाकल (Some Special Integrals):
ये सूत्र सीधे परीक्षाओं में पूछे जाते हैं या अन्य प्रश्नों को हल करने में सहायक होते हैं।

1. $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$
2. $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$
3. $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$
4. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C$
5. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C$
6. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$
7. $\int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C$
8. $\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \log \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C$
9. $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$

भाग 2: निश्चित समाकल (Definite Integrals)

1. समाकलन का मूलभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Calculus):
यदि $f(x)$ एक सतत फलन है और $\int f(x) dx = F(x)$ है, तो
$\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$
जहाँ $a$ निचली सीमा और $b$ ऊपरी सीमा है।

2. निश्चित समाकल के गुणधर्म (Properties of Definite Integrals):
ये गुणधर्म निश्चित समाकलों को हल करने में बहुत सहायक होते हैं, खासकर जब सीधे समाकलन कठिन हो।

• P0: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt$ (चर बदलने से मान नहीं बदलता)
• P1: $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$
• P2: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$, जहाँ $a < c < b$
• P3: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$
• P4: $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ (यह P3 का एक विशेष रूप है और अत्यंत महत्वपूर्ण है)
• P5: $\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a-x) dx$
• P6: $\int_0^{2a} f(x) dx = \begin{cases} 2 \int_0^a f(x) dx, & \text{यदि } f(2a-x) = f(x) \ 0, & \text{यदि } f(2a-x) = -f(x) \end{cases}$
• P7: $\int_{-a}^a f(x) dx = \begin{cases} 2 \int_0^a f(x) dx, & \text{यदि } f(x) \text{ एक सम फलन है } (f(-x) = f(x)) \ 0, & \text{यदि } f(x) \text{ एक विषम फलन है } (f(-x) = -f(x)) \end{cases}$

महत्वपूर्ण बिंदु:

• समाकलन नियतांक $C$ को अनिश्चित समाकलों में कभी न भूलें।
• प्रतिस्थापन विधि में सीमाओं को भी बदलना न भूलें यदि निश्चित समाकल हल कर रहे हों।
• खंडशः समाकलन में $u$ और $v$ का सही चुनाव परिणाम को बहुत आसान बना सकता है।
• निश्चित समाकल के गुणधर्मों का उपयोग करके कई कठिन प्रश्नों को आसानी से हल किया जा सकता है।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) - 10 प्रश्न

यहाँ समाकल अध्याय पर आधारित 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं, जो आपकी सरकारी परीक्षा की तैयारी में सहायक होंगे:

1. $\int (x^2 + \frac{1}{x^2}) dx$ का मान क्या है?
(A) $\frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} + C$
(B) $\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} + C$
(C) $\frac{x^3}{3} + \log|x^2| + C$
(D) $\frac{x^3}{3} - \frac{2}{x^3} + C$

2. $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ का मान क्या है?
(A) $2 \cos \sqrt{x} + C$
(B) $-2 \cos \sqrt{x} + C$
(C) $\frac{1}{2} \cos \sqrt{x} + C$
(D) $-\frac{1}{2} \cos \sqrt{x} + C$

3. $\int e^x (\tan x + \sec^2 x) dx$ का मान क्या है?
(A) $e^x \sec x + C$
(B) $e^x \tan x + C$
(C) $e^x \cot x + C$
(D) $e^x \sin x + C$

4. $\int \frac{1}{x^2 + 4} dx$ का मान क्या है?
(A) $\frac{1}{2} \tan^{-1} (\frac{x}{2}) + C$
(B) $\tan^{-1} (\frac{x}{2}) + C$
(C) $\frac{1}{4} \tan^{-1} (\frac{x}{2}) + C$
(D) $\frac{1}{2} \tan^{-1} (2x) + C$

5. $\int x \cos x dx$ का मान क्या है?
(A) $x \sin x + \cos x + C$
(B) $x \sin x - \cos x + C$
(C) $-x \sin x + \cos x + C$
(D) $-x \sin x - \cos x + C$

6. $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$ का मान क्या है?
(A) $\frac{\pi}{4}$
(B) $\frac{\pi}{2}$
(C) $\pi$
(D) $0$

7. $\int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$ का मान क्या है?
(A) $\pi$
(B) $\frac{\pi}{2}$
(C) $\frac{\pi}{4}$
(D) $0$

8. $\int_{-1}^1 (x^3 + x) dx$ का मान क्या है?
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
(D) $-1$

9. $\int \frac{dx}{x^2 - 9}$ का मान क्या है?
(A) $\frac{1}{6} \log \left| \frac{x-3}{x+3} \right| + C$
(B) $\frac{1}{3} \log \left| \frac{x-3}{x+3} \right| + C$
(C) $\frac{1}{6} \log \left| \frac{x+3}{x-3} \right| + C$
(D) $\frac{1}{3} \log \left| \frac{x+3}{x-3} \right| + C$

10. $\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ का मान क्या है?
(A) $\sin^{-1} (\frac{x}{3}) + C$
(B) $\cos^{-1} (\frac{x}{3}) + C$
(C) $\frac{1}{3} \sin^{-1} (\frac{x}{3}) + C$
(D) $\frac{1}{3} \cos^{-1} (\frac{x}{3}) + C$

उत्तरमाला:

1. (B)
2. (B)
3. (B)
4. (A)
5. (A)
6. (A)
7. (C)
8. (C)
9. (A)
10. (A)

मुझे आशा है कि यह विस्तृत नोट्स और बहुविकल्पीय प्रश्न आपकी 'समाकल' अध्याय की तैयारी में अत्यंत सहायक सिद्ध होंगे। अपनी तैयारी को निरंतर जारी रखें और सफलता अवश्य मिलेगी।