Class 12 Mathematics Notes Chapter 8 (समाकलों वेफ अनुप्रयोग) – Examplar Problems (Hindi) Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित के अध्याय 8 'समाकलों के अनुप्रयोग' पर विस्तृत चर्चा करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे संबंधित प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। हम यहाँ न केवल अवधारणाओं को समझेंगे, बल्कि महत्वपूर्ण सूत्रों और समस्या-समाधान की रणनीतियों पर भी ध्यान देंगे।

अध्याय 8: समाकलों के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)

परिचय:
समाकलों के अनुप्रयोग का मुख्य उद्देश्य विभिन्न प्रकार के वक्रों द्वारा घिरे हुए क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। हमने निश्चित समाकलन के मूल सिद्धांतों का अध्ययन किया है, और अब हम उनका उपयोग ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के लिए करेंगे, विशेष रूप से उन आकृतियों के लिए जिनके क्षेत्रफल के लिए कोई सीधा ज्यामितीय सूत्र उपलब्ध नहीं होता।

1. सरल वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल (Area under Simple Curves)

1.1 वक्र $y = f(x)$, x-अक्ष और कोटियों $x = a$, $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल:
यदि वक्र $y = f(x)$ x-अक्ष के ऊपर (अर्थात $f(x) \ge 0$) है, तो $x = a$ से $x = b$ तक का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_a^b y , dx = \int_a^b f(x) , dx$

• स्थिति 1: यदि वक्र x-अक्ष के ऊपर है ($f(x) \ge 0$):
  $A = \int_a^b f(x) , dx$
  उदाहरण: $y = x^2$, $x = 1$, $x = 3$ और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल।

• स्थिति 2: यदि वक्र x-अक्ष के नीचे है ($f(x) \le 0$):
  इस स्थिति में, निश्चित समाकलन का मान ऋणात्मक आएगा। चूँकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, हम निरपेक्ष मान लेते हैं:
  $A = \left| \int_a^b f(x) , dx \right|$
  उदाहरण: $y = -x^2$, $x = 1$, $x = 3$ और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल।

• स्थिति 3: यदि वक्र x-अक्ष को काटता है (अर्थात $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ में अपना चिह्न बदलता है):
  मान लीजिए $f(x)$ अंतराल $[a, c]$ में धनात्मक है और अंतराल $[c, b]$ में ऋणात्मक है।
  कुल क्षेत्रफल $A = \int_a^c f(x) , dx + \left| \int_c^b f(x) , dx \right|$
  या $A = \int_a^c f(x) , dx - \int_c^b f(x) , dx$ (क्योंकि $\int_c^b f(x) , dx$ ऋणात्मक होगा)
  उदाहरण: $y = x^3 - x$, $x = -1$, $x = 1$ और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल।

1.2 वक्र $x = g(y)$, y-अक्ष और भुजों $y = c$, $y = d$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल:
यदि वक्र $x = g(y)$ y-अक्ष के दाईं ओर (अर्थात $g(y) \ge 0$) है, तो $y = c$ से $y = d$ तक का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_c^d x , dy = \int_c^d g(y) , dy$

• स्थिति 1: यदि वक्र y-अक्ष के दाईं ओर है ($g(y) \ge 0$):
  $A = \int_c^d g(y) , dy$

• स्थिति 2: यदि वक्र y-अक्ष के बाईं ओर है ($g(y) \le 0$):
  $A = \left| \int_c^d g(y) , dy \right|$

• स्थिति 3: यदि वक्र y-अक्ष को काटता है:
  इसी प्रकार, यदि $g(y)$ अंतराल $[c, d]$ में अपना चिह्न बदलता है, तो क्षेत्रफल को उपयुक्त भागों में विभाजित करके ज्ञात किया जाता है।

2. दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल (Area between Two Curves)

यदि दो वक्र $y = f(x)$ और $y = g(x)$ हैं, जहाँ अंतराल $[a, b]$ में $f(x) \ge g(x)$ है, तो इन वक्रों और रेखाओं $x = a$, $x = b$ के बीच का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] , dx$
(ऊपरी वक्र का y-मान - निचले वक्र का y-मान)

• महत्वपूर्ण बिंदु:

  • यदि वक्र एक-दूसरे को काटते हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना होगा।
  • प्रत्येक उप-अंतराल में यह निर्धारित करना होगा कि कौन सा वक्र ऊपर है और कौन सा नीचे।
  • कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए विभिन्न उप-अंतरालों के क्षेत्रफलों को जोड़ा जाता है।
  • सामान्य सूत्र: $A = \int_a^b |f(x) - g(x)| , dx$

• इसी प्रकार, यदि वक्र $x = f(y)$ और $x = g(y)$ हैं, जहाँ अंतराल $[c, d]$ में $f(y) \ge g(y)$ है, तो इन वक्रों और रेखाओं $y = c$, $y = d$ के बीच का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
  $A = \int_c^d [f(y) - g(y)] , dy$
  (दाएँ वक्र का x-मान - बाएँ वक्र का x-मान)

3. कुछ विशिष्ट आकृतियों के क्षेत्रफल (Areas of Some Specific Figures)

• वृत्त (Circle): वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ का क्षेत्रफल $\pi a^2$ होता है। इसे समाकलन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
  $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ (ऊपरी अर्धवृत्त)
  कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} , dx$
  सूत्र: $\int \sqrt{a^2 - x^2} , dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$

• दीर्घवृत्त (Ellipse): दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a2} + \frac{y^2}{b2} = 1$ का क्षेत्रफल $\pi ab$ होता है। इसे भी समाकलन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
  $y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$ (ऊपरी अर्ध-दीर्घवृत्त)
  कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} , dx$

• परवलय (Parabola): परवलय $y^2 = 4ax$ या $x^2 = 4ay$ द्वारा किसी रेखा या अन्य वक्र के साथ घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए समाकलन का उपयोग किया जाता है।

समाकलन के अनुप्रयोग में महत्वपूर्ण बिंदु और परीक्षा के लिए सुझाव:

1. आरेखण (Sketching): वक्रों का सही आरेखण समस्या को समझने और हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह आपको समाकलन की सही सीमाएँ निर्धारित करने में मदद करता है।
2. प्रतिच्छेदन बिंदु (Intersection Points): दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करना आवश्यक है। ये बिंदु समाकलन की सीमाएँ निर्धारित करते हैं।
3. समरूपता (Symmetry): यदि आकृति सममित है (जैसे वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय), तो आप केवल एक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करके उसे 2 या 4 से गुणा कर सकते हैं, जिससे गणना सरल हो जाती है।
4. सही सूत्र का चयन (Choosing Correct Formula): यह तय करें कि आप x-अक्ष के सापेक्ष समाकलन कर रहे हैं ($y , dx$) या y-अक्ष के सापेक्ष ($x , dy$)। यह वक्र की प्रकृति और दिए गए सीमाओं पर निर्भर करता है।
5. क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक (Area is Always Positive): यदि आपकी गणना में ऋणात्मक मान आता है, तो उसका निरपेक्ष मान लें।
6. गणना में सावधानी (Careful Calculation): निश्चित समाकलन की गणना करते समय ऊपरी और निचली सीमाओं को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

यहाँ 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं जो आपकी सरकारी परीक्षा की तैयारी में सहायक होंगे:

प्रश्न 1: वक्र $y = x^2$, x-अक्ष और रेखाओं $x = 1$, $x = 2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:
(A) $\frac{7}{3}$ वर्ग इकाई
(B) $\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई
(C) $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई
(D) $\frac{5}{3}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 2: वक्र $y = \sin x$, x-अक्ष और रेखाओं $x = 0$, $x = \pi$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:
(A) 1 वर्ग इकाई
(B) 2 वर्ग इकाई
(C) $\pi$ वर्ग इकाई
(D) 0 वर्ग इकाई

प्रश्न 3: वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ का क्षेत्रफल है:
(A) $4\pi$ वर्ग इकाई
(B) $8\pi$ वर्ग इकाई
(C) $16\pi$ वर्ग इकाई
(D) $32\pi$ वर्ग इकाई

प्रश्न 4: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ का क्षेत्रफल है:
(A) $6\pi$ वर्ग इकाई
(B) $9\pi$ वर्ग इकाई
(C) $4\pi$ वर्ग इकाई
(D) $12\pi$ वर्ग इकाई

प्रश्न 5: परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:
(A) $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई
(B) $\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई
(C) $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई
(D) $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 6: रेखा $y = x$ और परवलय $y = x^2$ के बीच का क्षेत्रफल है:
(A) $\frac{1}{6}$ वर्ग इकाई
(B) $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई
(C) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई
(D) $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 7: वक्र $y = |x|$, x-अक्ष और रेखाओं $x = -1$, $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:
(A) 0 वर्ग इकाई
(B) 1 वर्ग इकाई
(C) 2 वर्ग इकाई
(D) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 8: वक्र $x = y^2$, y-अक्ष और रेखाओं $y = 1$, $y = 2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:
(A) $\frac{7}{3}$ वर्ग इकाई
(B) $\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई
(C) $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई
(D) $\frac{5}{3}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 9: दो परवलयों $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ के बीच का क्षेत्रफल है:
(A) $\frac{8}{3}$ वर्ग इकाई
(B) $\frac{16}{3}$ वर्ग इकाई
(C) $\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई
(D) $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई

प्रश्न 10: वक्र $y = \cos x$, x-अक्ष और रेखाओं $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है:
(A) 0 वर्ग इकाई
(B) 1 वर्ग इकाई
(C) $\frac{\pi}{2}$ वर्ग इकाई
(D) $\frac{1}{2}$ वर्ग इकाई

MCQ उत्तरमाला:

1. (A)
2. (B)
3. (C)
4. (A)
5. (B)
6. (A)
7. (B)
8. (A)
9. (B)
10. (B)

मुझे आशा है कि यह विस्तृत नोट्स और बहुविकल्पीय प्रश्न आपकी तैयारी में अत्यंत सहायक सिद्ध होंगे। अभ्यास करते रहें और अपनी अवधारणाओं को मजबूत करें। शुभकामनाएँ!