Class 11 Mathematics Notes Chapter 2 (Chapter 2) – Examplar Problems (Hindi) Book

हाँ, तो विद्यार्थियों, आज हम कक्षा 11 गणित एक्सेम्प्लर के अध्याय 2, 'संबंध एवं फलन' (Relations and Functions) पर विस्तार से चर्चा करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे संबंधित प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। हम इसके मुख्य बिंदुओं और अवधारणाओं को समझेंगे।

अध्याय 2: संबंध एवं फलन (Relations and Functions) - विस्तृत नोट्स

1. समुच्चयों का कार्तीय गुणन (Cartesian Product of Sets)

• परिभाषा: दो अरिक्त समुच्चयों (non-empty sets) P और Q का कार्तीय गुणन P × Q उन सभी क्रमित युग्मों (ordered pairs) (p, q) का समुच्चय है, जहाँ p ∈ P तथा q ∈ Q.
  • अर्थात्, P × Q = {(p, q) : p ∈ P, q ∈ Q}
• क्रमित युग्म (Ordered Pair): एक विशिष्ट क्रम में लिखे गए अवयवों का युग्म। (a, b) ≠ (b, a) जब तक a ≠ b.
  • दो क्रमित युग्म (a, b) और (c, d) बराबर होते हैं यदि और केवल यदि a = c और b = d.
• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • यदि समुच्चय P में m अवयव हैं [n(P) = m] और समुच्चय Q में n अवयव हैं [n(Q) = n], तो P × Q में m × n अवयव होंगे [n(P × Q) = mn]।
  • यदि P या Q में से कोई भी रिक्त समुच्चय (empty set, ∅) है, तो P × Q भी रिक्त समुच्चय होगा (P × Q = ∅)।
  • सामान्यतः, A × B ≠ B × A.
  • यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं और या तो A या B अपरिमित (infinite) है, तो A × B भी अपरिमित होता है।
  • A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A}. यहाँ (a, b, c) को क्रमित त्रिक (ordered triplet) कहते हैं।

उदाहरण: यदि P = {1, 2} और Q = {a, b}, तो
P × Q = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
Q × P = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
यहाँ n(P) = 2, n(Q) = 2, तो n(P × Q) = 2 × 2 = 4.

2. संबंध (Relation)

• परिभाषा: किसी अरिक्त समुच्चय A से अरिक्त समुच्चय B में संबंध (Relation) R, कार्तीय गुणन A × B का एक उपसमुच्चय (subset) होता है। यह उपसमुच्चय A × B के क्रमित युग्मों के प्रथम तथा द्वितीय घटकों के मध्य एक संबंध स्थापित करने से प्राप्त होता है।
  • R ⊆ A × B
  • यदि (x, y) ∈ R, तो हम लिखते हैं x R y (x, y से संबंधित है)।
• प्रांत (Domain): संबंध R के क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय, संबंध R का प्रांत कहलाता है।
  • प्रांत(R) = {x : (x, y) ∈ R}
• परिसर (Range): संबंध R के क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय, संबंध R का परिसर कहलाता है।
  • परिसर(R) = {y : (x, y) ∈ R}
• सहप्रांत (Codomain): पूरा समुच्चय B संबंध R का सहप्रांत कहलाता है।
• महत्वपूर्ण बिंदु:
  • परिसर ⊆ सहप्रांत।
  • यदि n(A) = m और n(B) = n, तो A से B में परिभाषित किए जा सकने वाले संबंधों की कुल संख्या 2^(mn) होती है (क्योंकि A × B में mn अवयव होते हैं और किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2^(अवयवों की संख्या) होती है)।
• संबंध का निरूपण: रोस्टर रूप (Roster form), समुच्चय निर्माण रूप (Set-builder form), तीर आरेख (Arrow diagram) द्वारा।

उदाहरण: माना A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}. एक संबंध R, A से B में इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(x, y) : y = x + 3, x ∈ A, y ∈ B}.
A × B के अवयव होंगे: {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}
अब, R के लिए शर्त y = x + 3 देखें:
x=1 ⇒ y=1+3=4. (1, 4) ∈ R.
x=2 ⇒ y=2+3=5. (2, 5) ∈ R.
x=3 ⇒ y=3+3=6. (3, 6) ∈ R.
अतः, R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}.
प्रांत(R) = {1, 2, 3} = A
परिसर(R) = {4, 5, 6} = B
सहप्रांत(R) = B = {4, 5, 6}

3. फलन (Function)

• परिभाषा: समुच्चय A से समुच्चय B में संबंध f एक फलन कहलाता है यदि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक और केवल एक प्रतिबिंब (image) होता है।
  • दूसरे शब्दों में, कोई भी दो क्रमित युग्मों का प्रथम घटक समान नहीं होना चाहिए।
  • इसे f: A → B से निरूपित करते हैं।
• महत्वपूर्ण शब्दावली:
  • यदि (a, b) ∈ f, तो b को f के अंतर्गत a का प्रतिबिंब (image) कहते हैं और a को b का पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) कहते हैं।
  • फलन f का प्रांत (Domain) समुच्चय A होता है।
  • फलन f का सहप्रांत (Codomain) समुच्चय B होता है।
  • फलन f का परिसर (Range) समुच्चय B के उन अवयवों का समुच्चय होता है जो समुच्चय A के किसी न किसी अवयव के प्रतिबिंब होते हैं। परिसर ⊆ सहप्रांत।
• फलन की पहचान:
  • तीर आरेख: A के प्रत्येक अवयव से केवल एक तीर निकलना चाहिए।
  • क्रमित युग्म: किसी भी दो युग्मों का पहला घटक समान नहीं होना चाहिए।
  • ग्राफ (ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण - Vertical Line Test): यदि फलन के ग्राफ पर कोई भी ऊर्ध्वाधर रेखा ग्राफ को एक से अधिक बिंदु पर काटती है, तो वह ग्राफ फलन का नहीं है।

उदाहरण: माना A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}.
f1 = {(1, a), (2, b), (3, c)} - यह एक फलन है। प्रांत={1,2,3}, परिसर={a,b,c}.
f2 = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, d)} - यह फलन नहीं है, क्योंकि अवयव 2 के दो प्रतिबिंब b और c हैं।
f3 = {(1, a), (2, b)} - यह फलन नहीं है, क्योंकि अवयव 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है।

4. कुछ विशिष्ट फलन और उनके आलेख (Some Specific Functions and Their Graphs)

• (i) तत्समक फलन (Identity Function):
  • f: R → R, f(x) = x द्वारा परिभाषित।
  • प्रांत = R (सभी वास्तविक संख्याएँ)
  • परिसर = R
  • ग्राफ: मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा जो x-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
• (ii) अचर फलन (Constant Function):
  • f: R → R, f(x) = c (जहाँ c एक अचर है) द्वारा परिभाषित।
  • प्रांत = R
  • परिसर = {c} (एकल समुच्चय)
  • ग्राफ: x-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा।
• (iii) बहुपदीय फलन (Polynomial Function):
  • f: R → R, f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a<0xE2><0x82><0x99>xⁿ (जहाँ n एक ऋणेतर पूर्णांक है और aᵢ वास्तविक संख्याएँ हैं) द्वारा परिभाषित।
  • प्रांत = R
  • परिसर: बहुपद की घात और गुणांकों पर निर्भर करता है। (उदाहरण: f(x)=x² का परिसर [0, ∞))
• (iv) परिमेय फलन (Rational Function):
  • f(x) = p(x) / q(x) के रूप के फलन, जहाँ p(x) और q(x) बहुपद फलन हैं और q(x) ≠ 0.
  • प्रांत = {x ∈ R : q(x) ≠ 0}
• (v) मापांक फलन (Modulus Function):
  • f: R → R, f(x) = |x| द्वारा परिभाषित।
  • |x| = x, यदि x ≥ 0
  • |x| = -x, यदि x < 0
  • प्रांत = R
  • परिसर = [0, ∞) (सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याएँ)
  • ग्राफ: V-आकार का होता है।
• (vi) चिन्ह फलन (Signum Function):
  • f: R → R, f(x) = sgn(x) द्वारा परिभाषित।
  • f(x) = 1, यदि x > 0
  • f(x) = 0, यदि x = 0
  • f(x) = -1, यदि x < 0
  • प्रांत = R
  • परिसर = {-1, 0, 1}
• (vii) महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function):
  • f: R → R, f(x) = [x] द्वारा परिभाषित।
  • [x] = x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक।
  • उदाहरण: [3.7]=3, [4]=4, [-1.2]=-2, [0.5]=0
  • प्रांत = R
  • परिसर = Z (सभी पूर्णांकों का समुच्चय)
  • ग्राफ: सीढ़ीनुमा (step-wise) होता है।

5. वास्तविक फलनों का बीजगणित (Algebra of Real Functions)

माना f: X → R और g: X → R कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ X ⊆ R.

• (i) योग (Addition): (f + g): X → R, (f + g)(x) = f(x) + g(x) द्वारा परिभाषित।
• (ii) व्यवकलन (Subtraction): (f - g): X → R, (f - g)(x) = f(x) - g(x) द्वारा परिभाषित।
• (iii) अदिश गुणन (Scalar Multiplication): (αf): X → R, (αf)(x) = αf(x) द्वारा परिभाषित, जहाँ α एक अदिश (वास्तविक संख्या) है।
• (iv) गुणन (Multiplication): (fg): X → R, (fg)(x) = f(x)g(x) द्वारा परिभाषित।
• (v) भागफल (Quotient): (f/g): X' → R, (f/g)(x) = f(x) / g(x) द्वारा परिभाषित, जहाँ X' = {x ∈ X | g(x) ≠ 0}.

ध्यान दें: (f+g), (f-g), (fg) का प्रांत f और g के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) होता है। (f/g) का प्रांत, f और g के प्रांतों के सर्वनिष्ठ में से उन बिंदुओं को हटाकर प्राप्त होता है जहाँ g(x) = 0.

यह अध्याय संबंध और फलन की मूलभूत अवधारणाओं को स्थापित करता है, जो कैलकुलस और गणित के अन्य क्षेत्रों के लिए आधार हैं। एक्सेम्प्लर के प्रश्नों का अभ्यास इन अवधारणाओं को और मजबूत करेगा।

अभ्यास हेतु 10 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

प्रश्न 1: यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं और समुच्चय B = {3, 4, 5} है, तो A × B में अवयवों की संख्या क्या है?
(a) 6
(b) 9
(c) 3
(d) ज्ञात नहीं किया जा सकता

प्रश्न 2: यदि A = {x, y}, B = {1, 2}, तो A × B है:
(a) {(x, 1), (y, 2)}
(b) {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)}
(c) {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
(d) {(x, x), (y, y), (1, 1), (2, 2)}

प्रश्न 3: संबंध R = {(x, y) : y = x + 5, x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} द्वारा परिभाषित है। R का परिसर (Range) क्या है?
(a) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
(b) {5, 6, 7, 8, 9, 10}
(c) {0, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(d) {1, 2, 3, 4, 5}

प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन सा संबंध एक फलन है?
(a) {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)}
(b) {(a, p), (b, q), (c, r), (a, s)}
(c) {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}
(d) {(x, y) : x² + y² = 1}

प्रश्न 5: यदि f(x) = x² - 3x + 1, तो f(-1) का मान क्या है?
(a) -3
(b) 5
(c) -1
(d) 3

प्रश्न 6: फलन f(x) = 1 / (x - 2) का प्रांत (Domain) क्या है?
(a) R (सभी वास्तविक संख्याएँ)
(b) R - {0}
(c) R - {2}
(d) {2}

प्रश्न 7: मापांक फलन f(x) = |x| का परिसर (Range) क्या है?
(a) R
(b) Z (सभी पूर्णांक)
(c) [0, ∞)
(d) (-∞, 0]

प्रश्न 8: महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x] के लिए, f(2.99) का मान क्या है?
(a) 2.99
(b) 3
(c) 2
(d) 0

प्रश्न 9: यदि f(x) = x² और g(x) = 2x + 1, तो (f + g)(2) का मान क्या है?
(a) 8
(b) 9
(c) 5
(d) 4

प्रश्न 10: फलन f(x) = √(4 - x²) का प्रांत (Domain) क्या है?
(a) (-∞, 2]
(b) [-2, 2]
(c) [2, ∞)
(d) R

उत्तरमाला:

1. (b) 9 [n(A)=3, n(B)=3, तो n(A×B)=3×3=9]
2. (b) {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)} [कार्तीय गुणन की परिभाषा से]
3. (b) {5, 6, 7, 8, 9, 10} [x=0, y=5; x=1, y=6; ...; x=5, y=10]
4. (c) {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)} [प्रत्येक प्रथम घटक का केवल एक द्वितीय घटक है]
5. (b) 5 [f(-1) = (-1)² - 3(-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5]
6. (c) R - {2} [हर (denominator) शून्य नहीं हो सकता, x-2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2]
7. (c) [0, ∞) [मापांक मान हमेशा ऋणेतर होता है]
8. (c) 2 [[2.99] = 2.99 से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक 2 है]
9. (b) 9 [(f+g)(2) = f(2) + g(2) = (2)² + (2(2)+1) = 4 + (4+1) = 4 + 5 = 9]
10. (b) [-2, 2] [वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणेतर होनी चाहिए: 4 - x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 4 ⇒ -2 ≤ x ≤ 2]

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। एक्सेम्प्लर पुस्तक के अन्य प्रश्नों को भी हल करने का प्रयास करें। शुभकामनाएँ!