Class 11 Notes

Class 11 Mathematics Notes Chapter 3 (Chapter 3) – Examplar Problems (Hindi) Book

Philoid

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Examplar Problems (Hindi)
चलिए, आज हम कक्षा 11 के गणित के अध्याय 3, 'त्रिकोणमितीय फलन' (Trigonometric Functions) का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय सरकारी परीक्षाओं की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि त्रिकोणमिति के सिद्धांत और सूत्र गणित और भौतिकी के कई अन्य क्षेत्रों में उपयोग होते हैं।

अध्याय 3: त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) - विस्तृत नोट्स

1. कोण (Angles):

  • परिभाषा: कोण एक किरण के उसके प्रारंभिक बिंदु के परितः घूमने की माप है। प्रारंभिक स्थिति को प्रारंभिक भुजा और घूमने के बाद अंतिम स्थिति को अंतिम भुजा कहते हैं। घूमने का बिंदु शीर्ष कहलाता है।
  • धनात्मक और ऋणात्मक कोण: यदि घूर्णन वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में होता है, तो कोण धनात्मक होता है। यदि घूर्णन दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में होता है, तो कोण ऋणात्मक होता है।
  • कोण मापने की पद्धतियाँ:
    • डिग्री माप (षष्टिक पद्धति): इसमें, एक पूर्ण परिक्रमण को 360 भागों में विभाजित किया जाता है, प्रत्येक भाग को एक डिग्री (1°) कहते हैं।
      • 1° = 60 मिनट (60')
      • 1' = 60 सेकंड (60")
    • रेडियन माप (वृत्तीय पद्धति): इकाई वृत्त (त्रिज्या = 1 इकाई) में, 1 रेडियन वह कोण है जो केंद्र पर 1 इकाई लंबाई के चाप द्वारा अंतरित होता है।
      • एक पूर्ण परिक्रमण = 2π रेडियन।
  • डिग्री और रेडियन में संबंध:
    • π रेडियन = 180°
    • 1 रेडियन = 180°/π ≈ 57° 16' (लगभग)
    • 1° = π/180 रेडियन ≈ 0.01746 रेडियन (लगभग)
    • रूपांतरण सूत्र:
      • रेडियन माप = (π / 180) × डिग्री माप
      • डिग्री माप = (180 / π) × रेडियन माप
  • चाप की लंबाई (l), त्रिज्या (r) और केंद्र पर अंतरित कोण (θ, रेडियन में) में संबंध:
    • l = rθ

2. त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions):

  • इकाई वृत्त द्वारा परिभाषा: माना एक इकाई वृत्त (केंद्र मूल बिंदु पर, त्रिज्या 1) पर कोई बिंदु P(a, b) है। यदि प्रारंभिक भुजा OX से कोण x रेडियन बनाने वाली रेखा OP है, तो:
    • cos x = a
    • sin x = b
    • चूंकि a² + b² = 1 (वृत्त का समीकरण), इसलिए cos²x + sin²x = 1
  • अन्य त्रिकोणमितीय फलन:
    • cosec x = 1/sin x, (sin x ≠ 0)
    • sec x = 1/cos x, (cos x ≠ 0)
    • tan x = sin x / cos x, (cos x ≠ 0)
    • cot x = cos x / sin x, (sin x ≠ 0)
  • सर्वसमिकाएँ:
    • sin²x + cos²x = 1
    • 1 + tan²x = sec²x
    • 1 + cot²x = cosec²x
  • चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न:
    • प्रथम (I): सभी धनात्मक (All +ve)
    • द्वितीय (II): sin, cosec धनात्मक (+ve)
    • तृतीय (III): tan, cot धनात्मक (+ve)
    • चतुर्थ (IV): cos, sec धनात्मक (+ve)
    • (याद रखने का तरीका: All Students Take Coffee)
  • त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर:
फलन प्रांत (Domain) परिसर (Range)
sin x R (सभी वास्तविक संख्याएँ) [-1, 1]
cos x R [-1, 1]
tan x R - {x : x = (2n+1)π/2, n ∈ Z} R
cosec x R - {x : x = nπ, n ∈ Z} R - (-1, 1)
sec x R - {x : x = (2n+1)π/2, n ∈ Z} R - (-1, 1)
cot x R - {x : x = nπ, n ∈ Z} R

3. संबद्ध कोणों के त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions of Allied Angles):

  • sin(-x) = -sin x
  • cos(-x) = cos x
  • tan(-x) = -tan x
  • sin(π/2 - x) = cos x, cos(π/2 - x) = sin x, tan(π/2 - x) = cot x
  • sin(π/2 + x) = cos x, cos(π/2 + x) = -sin x, tan(π/2 + x) = -cot x
  • sin(π - x) = sin x, cos(π - x) = -cos x, tan(π - x) = -tan x
  • sin(π + x) = -sin x, cos(π + x) = -cos x, tan(π + x) = tan x
  • sin(2π - x) = -sin x, cos(2π - x) = cos x, tan(2π - x) = -tan x
  • sin(2π + x) = sin x, cos(2π + x) = cos x, tan(2π + x) = tan x
  • सामान्य नियम:
    • यदि कोण π/2 या 3π/2 का विषम गुणज ± x हो, तो sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec में बदल जाता है।
    • यदि कोण π या 2π का गुणज ± x हो, तो फलन वही रहता है।
    • चिह्न (+) या (-) उस चतुर्थांश पर निर्भर करता है जिसमें कोण स्थित है (यह मानते हुए कि x एक न्यून कोण है)।

4. योग और अंतर सूत्र (Sum and Difference Formulas):

  • cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y
  • cos(x - y) = cos x cos y + sin x sin y
  • sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
  • sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y
  • tan(x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y)
  • tan(x - y) = (tan x - tan y) / (1 + tan x tan y)
  • cot(x + y) = (cot x cot y - 1) / (cot y + cot x)
  • cot(x - y) = (cot x cot y + 1) / (cot y - cot x)

5. गुणज कोण सूत्र (Multiple Angle Formulas):

  • sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x / (1 + tan²x)
  • cos 2x = cos²x - sin²x = 2 cos²x - 1 = 1 - 2 sin²x = (1 - tan²x) / (1 + tan²x)
  • tan 2x = 2 tan x / (1 - tan²x)
  • sin 3x = 3 sin x - 4 sin³x
  • cos 3x = 4 cos³x - 3 cos x
  • tan 3x = (3 tan x - tan³x) / (1 - 3 tan²x)
  • sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2)
  • cos x = cos²(x/2) - sin²(x/2) = 2 cos²(x/2) - 1 = 1 - 2 sin²(x/2)
  • 1 - cos x = 2 sin²(x/2)
  • 1 + cos x = 2 cos²(x/2)
  • tan x = 2 tan(x/2) / (1 - tan²(x/2))

6. योग और गुणनफलों का रूपांतरण (Transformation Formulas):

  • गुणनफल से योग/अंतर (Product to Sum/Difference):
    • 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y)
    • -2 sin x sin y = cos(x + y) - cos(x - y) या 2 sin x sin y = cos(x - y) - cos(x + y)
    • 2 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x - y)
    • 2 cos x sin y = sin(x + y) - sin(x - y)
  • योग/अंतर से गुणनफल (Sum/Difference to Product):
    • cos C + cos D = 2 cos((C+D)/2) cos((C-D)/2)
    • cos C - cos D = -2 sin((C+D)/2) sin((C-D)/2)
    • sin C + sin D = 2 sin((C+D)/2) cos((C-D)/2)
    • sin C - sin D = 2 cos((C+D)/2) sin((C-D)/2)

7. त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations):

  • परिभाषा: ऐसे समीकरण जिनमें अज्ञात कोणों के त्रिकोणमितीय फलन सम्मिलित हों, त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं।
  • मुख्य हल (Principal Solutions): समीकरण के वे हल जो अंतराल [0, 2π) में स्थित हों।
  • व्यापक हल (General Solutions): पूर्णांक 'n' (n ∈ Z) के पदों में व्यक्त किया गया हल जो समीकरण के सभी संभव हलों को दर्शाता है।
    • यदि sin x = sin y, तो x = nπ + (-1)ⁿ y, n ∈ Z
    • यदि cos x = cos y, तो x = 2nπ ± y, n ∈ Z
    • यदि tan x = tan y, तो x = nπ + y, n ∈ Z
    • यदि sin²x = sin²y, तो x = nπ ± y, n ∈ Z
    • यदि cos²x = cos²y, तो x = nπ ± y, n ∈ Z
    • यदि tan²x = tan²y, तो x = nπ ± y, n ∈ Z
  • विशेष स्थितियाँ:
    • sin x = 0 ⇒ x = nπ
    • cos x = 0 ⇒ x = (2n+1)π/2
    • tan x = 0 ⇒ x = nπ
    • sin x = 1 ⇒ x = (4n+1)π/2 या 2nπ + π/2
    • cos x = 1 ⇒ x = 2nπ
    • sin x = -1 ⇒ x = (4n-1)π/2 या 2nπ - π/2
    • cos x = -1 ⇒ x = (2n+1)π

परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

  • सभी सूत्रों को अच्छी तरह याद करें और उनका अनुप्रयोग समझें।
  • डिग्री और रेडियन के बीच रूपांतरण में कुशल बनें।
  • विभिन्न चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न याद रखें।
  • त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर को समझें।
  • व्यापक हल ज्ञात करने के सूत्र महत्वपूर्ण हैं।
  • प्रश्नों को हल करते समय बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग भी आवश्यकतानुसार करें।

यह अध्याय अभ्यास मांगता है। उदाहरणों और प्रश्नावली के प्रश्नों को हल करें, विशेषकर NCERT Exemplar के प्रश्नों को, क्योंकि वे अवधारणाओं की गहरी समझ विकसित करते हैं।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

  1. कोण 75° का रेडियन माप क्या है?
    (a) 5π/12
    (b) π/12
    (c) 2π/3
    (d) 3π/4

  2. यदि sin θ = -1/2 और tan θ = 1/√3 है, तो θ किस चतुर्थांश में स्थित है?
    (a) प्रथम
    (b) द्वितीय
    (c) तृतीय
    (d) चतुर्थ

  3. cos(π + x) cos(-x) / [sin(π - x) cos(π/2 + x)] का मान है:
    (a) cot²x
    (b) tan²x
    (c) -1
    (d) 1

  4. sin 15° का मान है:
    (a) (√3 + 1) / 2√2
    (b) (√3 - 1) / 2√2
    (c) √3 / 2
    (d) 1/2

  5. यदि cos x = -3/5 और x तृतीय चतुर्थांश में है, तो sin(x/2) का मान है:
    (a) 1/√5
    (b) -1/√5
    (c) 2/√5
    (d) -2/√5

  6. व्यंजक (sin 3x + sin x) / (cos 3x + cos x) बराबर है:
    (a) tan x
    (b) tan 2x
    (c) cot x
    (d) cot 2x

  7. समीकरण tan x = √3 का मुख्य हल है:
    (a) π/6, 7π/6
    (b) π/3, 4π/3
    (c) π/3, 2π/3
    (d) π/6, 5π/6

  8. समीकरण sin x = 1/2 का व्यापक हल है (n ∈ Z):
    (a) 2nπ + π/6
    (b) nπ + π/6
    (c) nπ + (-1)ⁿ π/6
    (d) 2nπ ± π/6

  9. फलन f(x) = 3 cos(x + π/4) का परिसर (Range) है:
    (a) [-1, 1]
    (b) [-3, 3]
    (c) [0, 3]
    (d) (-3, 3)

  10. 2 sin²(π/6) + cosec²(7π/6) cos²(π/3) का मान है:
    (a) 3/2
    (b) 5/2
    (c) 2
    (d) 1

उत्तर:

  1. (a)
  2. (c)
  3. (a)
  4. (b)
  5. (a) (क्योंकि x तृतीय चतुर्थांश में है, π < x < 3π/2 ⇒ π/2 < x/2 < 3π/4, इसलिए x/2 द्वितीय चतुर्थांश में है जहाँ sin धनात्मक होता है)
  6. (b)
  7. (b)
  8. (c)
  9. (b)
  10. (a)

इन नोट्स और प्रश्नों का अच्छी तरह से अध्ययन करें। शुभकामनाएँ!

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