Class 11 Mathematics Notes Chapter 4 (Chapter 4) – Examplar Problems (Hindi) Book

विद्यार्थियों, आज हम कक्षा 11 गणित के Exemplar पुस्तक से अध्याय 4 - 'गणितीय आगमन का सिद्धांत' का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी के दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह प्राकृतिक संख्याओं से जुड़े कथनों को सिद्ध करने की एक व्यवस्थित विधि सिखाता है। भले ही परीक्षा में सीधे-सीधे लंबे प्रमाण वाले प्रश्न कम आएं, लेकिन इस सिद्धांत में उपयोग होने वाले तर्क, श्रेणियों के योग, विभाज्यता के नियम और असमिकाओं की समझ आपके मात्रात्मक योग्यता (Quantitative Aptitude) खंड के लिए बहुत उपयोगी सिद्ध होगी।

अध्याय 4: गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction)

परिचय:
गणितीय आगमन का सिद्धांत एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग हम यह सिद्ध करने के लिए करते हैं कि कोई दिया गया कथन (statement) या सूत्र (formula) सभी प्राकृतिक संख्याओं (natural numbers) या किसी विशेष प्राकृतिक संख्या से शुरू होने वाली सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है।

सिद्धांत का कथन:
मान लीजिए P(n) एक कथन है जो प्राकृतिक संख्या n पर निर्भर करता है। इस कथन को सभी प्राकृतिक संख्याओं n ≥ a (जहाँ 'a' कोई निश्चित प्राकृतिक संख्या है, सामान्यतः a=1) के लिए सत्य सिद्ध करने हेतु हमें निम्नलिखित दो चरणों को संतुष्ट करना होता है:

1. आधार चरण (Base Step): सिद्ध करें कि कथन P(a) सत्य है। (अर्थात्, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 'a' जिसके लिए कथन को सिद्ध करना है, उसके लिए कथन की सत्यता जांचें)। अधिकतर स्थितियों में, हम n=1 के लिए P(1) की सत्यता सिद्ध करते हैं।
2. आगमनात्मक चरण (Inductive Step):
   • (आगमन परिकल्पना / Inductive Hypothesis): मान लें कि कथन P(k) किसी यादृच्छिक (arbitrary) धनात्मक पूर्णांक k ≥ a के लिए सत्य है।
   • (आगमन तर्क / Inductive Reasoning): उपरोक्त परिकल्पना का उपयोग करके यह सिद्ध करें कि कथन P(k+1) भी सत्य है।

निष्कर्ष:
यदि आधार चरण और आगमनात्मक चरण दोनों सत्य हैं, तो गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार, कथन P(n) सभी प्राकृतिक संख्याओं n ≥ a के लिए सत्य माना जाता है।

चरणों की व्याख्या:
इसे समझने के लिए डोमिनोज़ का उदाहरण सोचें।

• आधार चरण: यह सुनिश्चित करता है कि पहला डोमिनो (n=a) गिर सकता है।
• आगमनात्मक चरण: यह सुनिश्चित करता है कि यदि कोई डोमिनो (k) गिरता है, तो वह निश्चित रूप से अपने अगले डोमिनो (k+1) को भी गिरा देगा।
  जब ये दोनों बातें सत्य होती हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पंक्ति के सभी डोमिनोज़ गिर जाएंगे। ठीक इसी प्रकार, गणितीय आगमन सिद्धांत सभी प्राकृतिक संख्याओं (n ≥ a) के लिए कथन की सत्यता स्थापित करता है।

गणितीय आगमन द्वारा हल की जाने वाली सामान्य समस्याएँ:

1. श्रेणियों के योग के सूत्र (Summation Formulas):

   • उदाहरण: सिद्ध करें कि सभी n ∈ N के लिए, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
   • हल की रूपरेखा:
     • P(n): 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2
     • आधार चरण (n=1): P(1): 1 = 1(1+1)/2 => 1 = 1 (सत्य).
     • आगमनात्मक चरण: मानें P(k) सत्य है: 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2.
     • सिद्ध करें P(k+1): 1 + 2 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+1+1)/2.
     • LHS = (1 + 2 + ... + k) + (k+1) = [k(k+1)/2] + (k+1) (परिकल्पना से)
     • = (k+1) [k/2 + 1] = (k+1) [(k+2)/2] = (k+1)(k+2)/2 = RHS.
     • अतः P(k+1) सत्य है जब P(k) सत्य है।
     • निष्कर्ष: गणितीय आगमन से, P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।

2. विभाज्यता संबंधी कथन (Divisibility Statements):

   • उदाहरण: सिद्ध करें कि सभी n ∈ N के लिए, n(n+1)(n+2), संख्या 6 से विभाज्य है।
   • हल की रूपरेखा:
     • P(n): n(n+1)(n+2), 6 से विभाज्य है।
     • आधार चरण (n=1): P(1): 1(1+1)(1+2) = 1(2)(3) = 6, जो 6 से विभाज्य है (सत्य).
     • आगमनात्मक चरण: मानें P(k) सत्य है: k(k+1)(k+2) = 6m (किसी पूर्णांक m के लिए).
     • सिद्ध करें P(k+1): (k+1)(k+1+1)(k+1+2) = (k+1)(k+2)(k+3), 6 से विभाज्य है।
     • (k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)
     • = 6m + 3(k+1)(k+2) (परिकल्पना से).
     • चूंकि (k+1) और (k+2) दो क्रमागत पूर्णांक हैं, इनमें से एक सम संख्या अवश्य होगी। अतः, (k+1)(k+2) = 2q (किसी पूर्णांक q के लिए)।
     • इसलिए, (k+1)(k+2)(k+3) = 6m + 3(2q) = 6m + 6q = 6(m+q).
     • चूंकि m+q एक पूर्णांक है, 6(m+q) संख्या 6 से विभाज्य है। अतः P(k+1) सत्य है।
     • निष्कर्ष: गणितीय आगमन से, P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।

3. असमिकाएँ (Inequalities):

   • उदाहरण: सिद्ध करें कि सभी पूर्णांक n ≥ 1 के लिए, 2ⁿ > n.
   • हल की रूपरेखा:
     • P(n): 2ⁿ > n
     • आधार चरण (n=1): P(1): 2¹ > 1 => 2 > 1 (सत्य).
     • आगमनात्मक चरण: मानें P(k) सत्य है: 2ᵏ > k (किसी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए).
     • सिद्ध करें P(k+1): 2ᵏ⁺¹ > k+1.
     • हम जानते हैं 2ᵏ⁺¹ = 2 * 2ᵏ.
     • परिकल्पना से, 2ᵏ > k. दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, 2 * 2ᵏ > 2k => 2ᵏ⁺¹ > 2k.
     • अब हमें सिद्ध करना है कि 2k ≥ k+1.
     • चूंकि k ≥ 1, तो k ≥ 1 => k+k ≥ k+1 => 2k ≥ k+1.
     • अतः, 2ᵏ⁺¹ > 2k और 2k ≥ k+1. इन दोनों से निष्कर्ष निकलता है कि 2ᵏ⁺¹ > k+1.
     • अतः P(k+1) सत्य है।
     • निष्कर्ष: गणितीय आगमन से, P(n) सभी पूर्णांक n ≥ 1 के लिए सत्य है।

महत्वपूर्ण बिंदु एवं सावधानियां:

• जिस कथन P(n) को सिद्ध करना है, उसे स्पष्ट रूप से लिखें।
• आधार चरण (Base Step) अत्यंत महत्वपूर्ण है; इसके बिना प्रमाण अधूरा है। सुनिश्चित करें कि आप सही प्रारंभिक मान (जैसे n=1 या प्रश्न में दिया गया कोई अन्य मान) के लिए जाँच कर रहे हैं।
• आगमनात्मक चरण में, P(k) को सत्य मानना (आगमन परिकल्पना) आवश्यक है और इसी का उपयोग P(k+1) को सिद्ध करने के लिए किया जाना चाहिए।
• P(k+1) को सिद्ध करते समय बीजगणितीय गणना (algebraic manipulation) ध्यानपूर्वक करें। लक्ष्य होता है P(k+1) के व्यंजक को इस तरह बदलना कि उसमें P(k) का रूप दिखाई दे और परिकल्पना का उपयोग किया जा सके।
• याद रखें कि गणितीय आगमन सिद्धांत किसी दिए गए सूत्र या कथन की सत्यता को सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध करता है, यह उस सूत्र को उत्पन्न (derive) नहीं करता है।

सरकारी परीक्षाओं के लिए प्रासंगिकता:
प्रतियोगी परीक्षाओं में, विशेषकर SSC, बैंकिंग, रेलवे आदि में, सीधे गणितीय आगमन से प्रमाण लिखने को नहीं कहा जाता। लेकिन:

• श्रेणियों के योग के सूत्र (जैसे प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, वर्गों का योग, घनों का योग) सीधे पूछे जाते हैं।
• विभाज्यता के नियम और उन पर आधारित प्रश्न संख्या पद्धति (Number System) का अभिन्न अंग हैं।
• असमिकाओं की समझ और संख्याओं की तुलना करना मात्रात्मक योग्यता के लिए आवश्यक है।
• गणितीय आगमन की प्रक्रिया तार्किक सोच (Logical Reasoning) विकसित करती है जो समस्या-समाधान में सहायक होती है।

अभ्यास हेतु बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs):

प्रश्न 1: कथन P(n): 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² को गणितीय आगमन से सिद्ध करने के लिए आधार चरण क्या होगा?
(a) P(k) को सत्य मानना
(b) P(k+1) को सिद्ध करना
(c) P(1) की सत्यता जांचना: 1 = 1²
(d) P(0) की सत्यता जांचना

प्रश्न 2: कथन P(n): "संख्या 7ⁿ - 3ⁿ, 4 से विभाज्य है" को गणितीय आगमन से सिद्ध करने के लिए, यदि P(k) सत्य माना जाए, तो अगला चरण क्या सिद्ध करना होगा?
(a) 7ᵏ - 3ᵏ, 4 से विभाज्य है।
(b) 7¹ - 3¹, 4 से विभाज्य है।
(c) 7ᵏ⁺¹ - 3ᵏ⁺¹, 4 से विभाज्य है।
(d) 7ᵏ⁺¹ + 3ᵏ⁺¹, 4 से विभाज्य है।

प्रश्न 3: गणितीय आगमन सिद्धांत में, "मान लीजिए P(k) किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है" यह चरण क्या कहलाता है?
(a) आधार चरण
(b) आगमन परिकल्पना
(c) निष्कर्ष
(d) आगमन तर्क

प्रश्न 4: यदि P(n) कथन "n(n+1)(n+5) एक 3 का गुणज है" है, तो P(1) क्या दर्शाता है?
(a) 1(1+1)(1+5) = 12, जो 3 का गुणज है।
(b) k(k+1)(k+5) एक 3 का गुणज है।
(c) (k+1)(k+2)(k+6) एक 3 का गुणज है।
(d) P(n) सभी n के लिए सत्य है।

प्रश्न 5: गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए सिद्ध किया जा सकता है कि 1² + 2² + ... + n² का मान क्या होता है?
(a) n(n+1)/2
(b) n(n+1)(2n+1)/6
(c) [n(n+1)/2]²
(d) n²

प्रश्न 6: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, यदि P(1) सत्य है और P(k) के सत्य होने पर P(k+1) भी सत्य होता है, तो निष्कर्ष क्या है?
(a) P(n) केवल n=1 के लिए सत्य है।
(b) P(n) केवल कुछ प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है।
(c) P(n) सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए सत्य है।
(d) P(n) असत्य है।

प्रश्न 7: कथन P(n): 10ⁿ + 3 * 4ⁿ⁺² + 5, किस संख्या से विभाज्य है, यह गणितीय आगमन से सिद्ध किया जा सकता है (n ∈ N)?
(a) 7
(b) 9
(c) 11
(d) 17
(संकेत: n=1 के लिए जांचें)

प्रश्न 8: गणितीय आगमन सिद्धांत का प्रयोग मुख्यतः किस प्रकार के कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है?
(a) केवल समीकरणों को
(b) केवल असमिकाओं को
(c) प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित कथनों को
(d) ज्यामितीय प्रमेयों को

प्रश्न 9: कथन P(n): "n! > 2ⁿ" को गणितीय आगमन से सिद्ध करने के लिए आधार चरण कहाँ से शुरू करना उचित होगा?
(a) n = 1
(b) n = 2
(c) n = 3
(d) n = 4
(संकेत: n=1, 2, 3 के लिए जांचें कि क्या n! > 2ⁿ सत्य है)

प्रश्न 10: गणितीय आगमन के आगमनात्मक चरण में P(k+1) को सिद्ध करने के लिए किसका उपयोग अनिवार्य है?
(a) आधार चरण P(1) का परिणाम
(b) आगमन परिकल्पना P(k)
(c) P(k-1) की सत्यता
(d) उपरोक्त में से कोई नहीं

उत्तरमाला (MCQs):

1. (c)
2. (c)
3. (b)
4. (a)
5. (b)
6. (c)
7. (b) [n=1 के लिए: 10¹ + 3 * 4¹⁺² + 5 = 10 + 3 * 4³ + 5 = 10 + 3 * 64 + 5 = 15 + 192 = 207, जो 9 से विभाज्य है (2+0+7=9)]
8. (c)
9. (d) [n=1: 1! = 1, 2¹ = 2 (1 > 2 असत्य); n=2: 2! = 2, 2² = 4 (2 > 4 असत्य); n=3: 3! = 6, 2³ = 8 (6 > 8 असत्य); n=4: 4! = 24, 2⁴ = 16 (24 > 16 सत्य). अतः आधार चरण n=4 से शुरू होगा।]
10. (b)

मुझे उम्मीद है कि ये नोट्स और प्रश्न आपकी परीक्षा की तैयारी में सहायक होंगे। इस अध्याय के सिद्धांतों को समझने और विभिन्न प्रकार की समस्याओं पर लागू करने का अभ्यास करें। शुभकामनाएँ!