Class 12 Notes

Class 12 Mathematics Notes Chapter 1 (समाकलन) – Ganit-II Book

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Ganit-II
प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित-II के अध्याय 1, 'समाकलन' का विस्तृत अध्ययन करेंगे, जो आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह अध्याय कैलकुलस (कलन) का एक आधारभूत स्तंभ है और इससे संबंधित प्रश्न विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाते हैं।

अध्याय 1: समाकलन (Integration)

समाकलन, अवकलन की व्युत्क्रम प्रक्रिया है। यदि किसी फलन $F(x)$ का अवकलन $f(x)$ है, अर्थात् $\frac{d}{dx} F(x) = f(x)$, तो $f(x)$ का समाकलन $F(x)$ होता है। इसे $\int f(x) dx = F(x) + C$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक (constant of integration) कहलाता है।

समाकलन दो प्रकार के होते हैं:

  1. अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integral): इसमें समाकलन स्थिरांक $C$ आता है।
  2. निश्चित समाकलन (Definite Integral): इसमें समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाएँ होती हैं, और परिणाम एक निश्चित संख्या होती है।

I. अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integral)

A. कुछ मानक समाकलन सूत्र (Some Standard Integration Formulas):

  1. $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, जहाँ $n \neq -1$
  2. $\int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C$
  3. $\int e^x dx = e^x + C$
  4. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$, जहाँ $a > 0, a \neq 1$
  5. $\int \sin x dx = -\cos x + C$
  6. $\int \cos x dx = \sin x + C$
  7. $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
  8. $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
  9. $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
  10. $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$
  11. $\int \tan x dx = \log|\sec x| + C = -\log|\cos x| + C$
  12. $\int \cot x dx = \log|\sin x| + C$
  13. $\int \sec x dx = \log|\sec x + \tan x| + C = \log|\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})| + C$
  14. $\int \csc x dx = \log|\csc x - \cot x| + C = \log|\tan(\frac{x}{2})| + C$
  15. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + C$
  16. $\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \cos^{-1} x + C$
  17. $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x + C$
  18. $\int \frac{-1}{1+x^2} dx = \cot^{-1} x + C$
  19. $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = \sec^{-1} x + C$
  20. $\int \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = \csc^{-1} x + C$

B. समाकलन के गुणधर्म (Properties of Integration):

  1. $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$, जहाँ $k$ एक अचर है।
  2. $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

C. समाकलन की विधियाँ (Methods of Integration):

  1. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution):

    • यह विधि तब उपयोग की जाती है जब समाकल्य (integrand) किसी फलन और उसके अवकलज का गुणनफल हो, या किसी फलन का जटिल रूप हो जिसे सरल बनाया जा सके।
    • प्रक्रिया:
      • समाकल्य में एक उपयुक्त फलन $t = g(x)$ मानते हैं।
      • $t$ के सापेक्ष अवकलन करके $dt = g'(x) dx$ प्राप्त करते हैं।
      • मूल समाकल को $t$ के पदों में परिवर्तित करते हैं।
      • $t$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं।
      • अंतिम परिणाम में $t$ को वापस $g(x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
    • उदाहरण: $\int \sin(ax+b) dx$, यहाँ $ax+b = t$ मानने पर $a dx = dt \implies dx = \frac{1}{a} dt$
      $\int \sin(t) \frac{1}{a} dt = \frac{1}{a} (-\cos t) + C = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$

  2. खंडशः समाकलन (Integration by Parts):

    • यह विधि दो फलनों के गुणनफल के समाकलन के लिए उपयोग की जाती है।
    • सूत्र: $\int u v dx = u \int v dx - \int \left(\frac{du}{dx} \int v dx\right) dx$
      • यहाँ $u$ को पहला फलन और $v$ को दूसरा फलन कहते हैं।
    • पहले और दूसरे फलन का चुनाव (ILATE/LATE नियम):
      • I - Inverse trigonometric functions (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन)
      • L - Logarithmic functions (लघुगणकीय फलन)
      • A - Algebraic functions (बीजगणितीय फलन)
      • T - Trigonometric functions (त्रिकोणमितीय फलन)
      • E - Exponential functions (चरघातांकी फलन)
      • इस क्रम में जो फलन पहले आता है, उसे $u$ (पहला फलन) मानते हैं और दूसरे को $v$ (दूसरा फलन)।
    • कुछ विशेष प्रकार के समाकलन:
      • $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$
      • $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a2}{2}\sin{-1}\frac{x}{a} + C$
      • $\int \sqrt{a^2 + x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2}\log|x + \sqrt{a^2 + x^2}| + C$
      • $\int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$

  3. आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions):

    • यह विधि परिमेय फलनों (rational functions) के समाकलन के लिए उपयोग की जाती है, जहाँ समाकल्य $\frac{P(x)}{Q(x)}$ के रूप में होता है और $P(x)$ की घात $Q(x)$ की घात से कम होती है।
    • विभिन्न स्थितियाँ:
      • जब $Q(x)$ के गुणनखंड अनावर्ती रैखिक हों: $\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
      • जब $Q(x)$ के गुणनखंड पुनरावर्ती रैखिक हों: $\frac{P(x)}{(x-a)^n} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_n}{(x-a)^n}$
      • जब $Q(x)$ के गुणनखंड अनावर्ती द्विघात हों: $\frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+c)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$ (जहाँ $x^2+bx+c$ को और गुणनखंडित नहीं किया जा सकता)
    • $A, B, C$ आदि अचरों का मान ज्ञात करके, प्रत्येक आंशिक भिन्न का अलग-अलग समाकलन किया जाता है।

D. कुछ विशिष्ट समाकलन (Some Special Integrals):

  1. $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C$
  2. $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$
  3. $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\frac{x}{a} + C$
  4. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$
  5. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C$
  6. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C$
  • महत्वपूर्ण नोट: यदि समाकल्य में $ax^2+bx+c$ या $\sqrt{ax^2+bx+c}$ प्रकार के पद हर में हों, तो पहले पूर्ण वर्ग बनाकर उन्हें मानक रूपों में परिवर्तित किया जाता है।

II. निश्चित समाकलन (Definite Integral)

निश्चित समाकलन का मान एक निश्चित संख्या होती है। इसे $\int_a^b f(x) dx$ द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ $a$ निचली सीमा (lower limit) और $b$ ऊपरी सीमा (upper limit) है।

A. कलन का आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Calculus):
यदि $F(x)$ एक फलन $f(x)$ का प्रतिअवकलज (antiderivative) है, अर्थात् $F'(x) = f(x)$, तो
$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

B. निश्चित समाकलनों के गुणधर्म (Properties of Definite Integrals):
ये गुणधर्म निश्चित समाकलों को हल करने में बहुत उपयोगी होते हैं, खासकर प्रतियोगी परीक्षाओं में।

  1. $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt$ (चर को बदलने से मान नहीं बदलता)
  2. $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$
  3. $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$, जहाँ $a < c < b$
  4. $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$
  5. सबसे महत्वपूर्ण गुणधर्म (Most Important Property): $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$
    • यह गुणधर्म कई कठिन प्रश्नों को सरल बनाने में मदद करता है।
  6. $\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a-x) dx$
  7. $\int_0^{2a} f(x) dx = \begin{cases} 2\int_0^a f(x) dx, & \text{यदि } f(2a-x) = f(x) \ 0, & \text{यदि } f(2a-x) = -f(x) \end{cases}$
  8. $\int_{-a}^a f(x) dx = \begin{cases} 2\int_0^a f(x) dx, & \text{यदि } f(x) \text{ सम फलन है } (f(-x) = f(x)) \ 0, & \text{यदि } f(x) \text{ विषम फलन है } (f(-x) = -f(x)) \end{cases}$

III. सरकारी परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points for Government Exams):

  • सूत्रों को याद करें: सभी मानक समाकलन सूत्र और विशिष्ट समाकलन सूत्र आपकी उंगलियों पर होने चाहिए।
  • अभ्यास: विभिन्न प्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करें। प्रतिस्थापन, खंडशः समाकलन और आंशिक भिन्न की विधियों में महारत हासिल करें।
  • त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ: समाकलन में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके प्रश्नों को सरल बनाना बहुत आम है। जैसे $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ आदि।
  • निश्चित समाकलन के गुणधर्म: इन गुणधर्मों का सही उपयोग करके आप जटिल दिखने वाले प्रश्नों को बहुत कम समय में हल कर सकते हैं। विशेषकर $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ और सम-विषम फलन वाले गुणधर्म।
  • पूर्ण वर्ग बनाना: द्विघात व्यंजकों को पूर्ण वर्ग बनाकर विशिष्ट समाकलनों के रूप में परिवर्तित करना सीखें।
  • समय प्रबंधन: परीक्षा में प्रत्येक प्रश्न के लिए आवंटित समय का ध्यान रखें।

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions - MCQs)

यहाँ समाकलन अध्याय से 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं:

प्रश्न 1: $\int \frac{\sin^2 x}{1+\cos x} dx$ का मान क्या है?
(A) $x + \sin x + C$
(B) $x - \sin x + C$
(C) $\sin x - x + C$
(D) $-\sin x - x + C$

प्रश्न 2: $\int \frac{dx}{x^2 - 16}$ का मान क्या है?
(A) $\frac{1}{8} \log\left|\frac{x-4}{x+4}\right| + C$
(B) $\frac{1}{8} \log\left|\frac{x+4}{x-4}\right| + C$
(C) $\frac{1}{4} \tan^{-1}\frac{x}{4} + C$
(D) $\log|x^2-16| + C$

प्रश्न 3: $\int e^x (\tan x + \sec^2 x) dx$ का मान क्या है?
(A) $e^x \tan x + C$
(B) $e^x \sec x + C$
(C) $e^x \cot x + C$
(D) $e^x \sin x + C$

प्रश्न 4: $\int \frac{1}{x(1+\log x)} dx$ का मान क्या है?
(A) $\log|x| + C$
(B) $\log|1+\log x| + C$
(C) $(1+\log x)^2 + C$
(D) $\frac{1}{1+\log x} + C$

प्रश्न 5: $\int \sin^3 x \cos x dx$ का मान क्या है?
(A) $\frac{\sin^4 x}{4} + C$
(B) $\frac{\cos^4 x}{4} + C$
(C) $\frac{\sin^4 x}{4} \cos^2 x + C$
(D) $\frac{\sin^2 x}{2} + C$

प्रश्न 6: $\int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$ का मान क्या है?
(A) $\pi/4$
(B) $\pi/2$
(C) $\pi$
(D) $0$

प्रश्न 7: $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ का मान क्या है?
(A) $\pi/2$
(B) $\pi/4$
(C) $0$
(D) $1$

प्रश्न 8: $\int x \sin x dx$ का मान क्या है?
(A) $-x \cos x + \sin x + C$
(B) $x \cos x - \sin x + C$
(C) $-x \cos x - \sin x + C$
(D) $x \sin x + \cos x + C$

प्रश्न 9: $\int_{-1}^1 \sin^3 x dx$ का मान क्या है?
(A) $1$
(B) $-1$
(C) $0$
(D) $2$

प्रश्न 10: $\int \frac{dx}{x^2+2x+2}$ का मान क्या है?
(A) $\tan^{-1}(x+1) + C$
(B) $\frac{1}{2}\tan^{-1}(x+1) + C$
(C) $\log|x^2+2x+2| + C$
(D) $\sin^{-1}(x+1) + C$

MCQ उत्तरमाला:

  1. (B)
  2. (A)
  3. (A)
  4. (B)
  5. (A)
  6. (A)
  7. (A)
  8. (A)
  9. (C)
  10. (A)

मुझे आशा है कि यह विस्तृत नोट्स और बहुविकल्पीय प्रश्न आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी में सहायक सिद्ध होंगे। समाकलन एक ऐसा विषय है जिसमें निरंतर अभ्यास से ही निपुणता प्राप्त की जा सकती है। शुभकामनाएँ!

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