Class 12 Mathematics Notes Chapter 10 (सदिश बीजगणित) – Examplar Problems (Hindi) Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित के अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय 'सदिश बीजगणित' का विस्तृत अध्ययन करेंगे, जो आपकी विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए आधारभूत है। यह अध्याय न केवल सैद्धांतिक समझ विकसित करता है, बल्कि भौतिकी और अन्य इंजीनियरिंग विषयों में भी इसका व्यापक उपयोग है। आइए, इसके मुख्य बिंदुओं को विस्तार से समझते हैं:

अध्याय 10: सदिश बीजगणित (Vector Algebra)

1. कुछ आधारभूत संकल्पनाएँ

• अदिश राशियाँ (Scalar Quantities): वे राशियाँ जिनमें केवल परिमाण (magnitude) होता है, दिशा नहीं।
  • उदाहरण: द्रव्यमान, तापमान, दूरी, चाल, आयतन, कार्य, समय, ऊर्जा।
• सदिश राशियाँ (Vector Quantities): वे राशियाँ जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
  • उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग।
• सदिश का निरूपण: एक सदिश को एक निर्देशित रेखाखंड (directed line segment) द्वारा दर्शाया जाता है।
  • यदि सदिश का प्रारंभिक बिंदु A और अंतिम बिंदु B है, तो इसे $\vec{AB}$ से निरूपित किया जाता है।
  • इसका परिमाण $|\vec{AB}|$ या AB होता है।
  • किसी सदिश को सामान्यतः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ आदि से भी दर्शाया जाता है।
  • सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}|$ होता है।

2. सदिशों के प्रकार

• शून्य सदिश (Zero or Null Vector): वह सदिश जिसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही होता है। इसका परिमाण शून्य होता है और दिशा अनिश्चित होती है। इसे $\vec{0}$ से दर्शाते हैं।
• मात्रक सदिश (Unit Vector): वह सदिश जिसका परिमाण 1 इकाई होता है। किसी सदिश $\vec{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश को $\hat{a}$ (a-कैप) से दर्शाते हैं और $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ होता है।
• समान सदिश (Equal Vectors): दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान कहलाते हैं यदि उनका परिमाण और दिशा दोनों समान हों।
• संरेख सदिश (Collinear Vectors): दो या अधिक सदिश संरेख कहलाते हैं यदि वे एक ही रेखा के समांतर हों, भले ही उनके परिमाण और दिशा भिन्न हों। यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख हैं, तो $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ जहाँ $\lambda$ कोई अदिश है।
• सह-आदिम सदिश (Co-initial Vectors): वे सदिश जिनका प्रारंभिक बिंदु एक ही होता है।
• ऋणात्मक सदिश (Negative of a Vector): सदिश $\vec{a}$ का ऋणात्मक सदिश वह सदिश है जिसका परिमाण $\vec{a}$ के समान होता है, लेकिन दिशा $\vec{a}$ के विपरीत होती है। इसे $-\vec{a}$ से दर्शाते हैं।
• स्थिति सदिश (Position Vector): मूल बिंदु (origin) O के सापेक्ष किसी बिंदु P की स्थिति को दर्शाने वाले सदिश $\vec{OP}$ को बिंदु P का स्थिति सदिश कहते हैं।
  • यदि $P(x, y, z)$ एक बिंदु है, तो उसका स्थिति सदिश $\vec{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ होता है।
  • यहाँ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ क्रमशः x, y, z अक्षों की दिशा में मात्रक सदिश हैं।
• सदिश के घटक (Components of a Vector):
  • यदि $\vec{a} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, तो $x, y, z$ को सदिश $\vec{a}$ के अदिश घटक (scalar components) और $x\hat{i}, y\hat{j}, z\hat{k}$ को सदिश घटक (vector components) कहते हैं।
  • सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ होता है।
  • दिक् कोसाइन (Direction Cosines): यदि सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ x, y, z अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है, तो $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ को दिक् कोसाइन कहते हैं। इन्हें $l, m, n$ से दर्शाते हैं।
    • $l = \frac{x}{|\vec{r}|}, m = \frac{y}{|\vec{r}|}, n = \frac{z}{|\vec{r}|}$
    • $l^2 + m^2 + n^2 = 1$

3. सदिशों का योग (Addition of Vectors)

• त्रिभुज का सदिश योग नियम (Triangle Law of Vector Addition): यदि दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो संलग्न भुजाओं द्वारा क्रम में निरूपित किया जाए, तो उनका योग (परिणामी सदिश) त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा विपरीत क्रम में निरूपित होता है।
  • यदि $\vec{a} = \vec{AB}$ और $\vec{b} = \vec{BC}$, तो $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}$।
• समांतर चतुर्भुज का सदिश योग नियम (Parallelogram Law of Vector Addition): यदि दो सदिशों को एक समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं द्वारा निरूपित किया जाए, तो उनका योग उस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा निरूपित होता है, जो उन सदिशों के उभयनिष्ठ प्रारंभिक बिंदु से होकर जाता है।
• सदिश योग के गुणधर्म:
  • क्रमविनिमेय नियम (Commutative Law): $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
  • साहचर्य नियम (Associative Law): $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
  • योज्य तत्समक (Additive Identity): $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
  • योज्य प्रतिलोम (Additive Inverse): $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$

4. सदिश का अदिश से गुणन (Multiplication of a Vector by a Scalar)

• यदि $\vec{a}$ एक सदिश है और $\lambda$ एक अदिश है, तो $\lambda \vec{a}$ एक सदिश है जिसका परिमाण $|\lambda| |\vec{a}|$ होता है।
• दिशा:
  • यदि $\lambda > 0$, तो $\lambda \vec{a}$ की दिशा $\vec{a}$ की दिशा के समान होती है।
  • यदि $\lambda < 0$, तो $\lambda \vec{a}$ की दिशा $\vec{a}$ की दिशा के विपरीत होती है।
  • यदि $\lambda = 0$, तो $\lambda \vec{a} = \vec{0}$।

5. दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश (Vector Joining Two Points)

• यदि $P_1(x_1, y_1, z_1)$ और $P_2(x_2, y_2, z_2)$ दो बिंदु हैं, तो सदिश $\vec{P_1P_2}$ होगा:
  • $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$
  • इसका परिमाण $|\vec{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

6. विभाजन सूत्र (Section Formula)

• अंतः विभाजन (Internal Division): यदि एक बिंदु R, दो बिंदुओं P और Q को मिलाने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है, और P तथा Q के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}$ और $\vec{q}$ हैं, तो R का स्थिति सदिश $\vec{r}$ होगा:
  • $\vec{r} = \frac{n\vec{p} + m\vec{q}}{m+n}$
• मध्य बिंदु (Mid-point): यदि R, PQ का मध्य बिंदु है (अर्थात् $m:n = 1:1$), तो R का स्थिति सदिश:
  • $\vec{r} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$

7. दो सदिशों का अदिश (बिंदु) गुणनफल (Scalar or Dot Product of Two Vectors)

• परिभाषा: दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है:
  • $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$
  • जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है ($0 \le \theta \le \pi$)।
• घटक रूप में अदिश गुणनफल:
  • यदि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ और $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$
  • तो $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• अदिश गुणनफल के गुणधर्म:
  • यह क्रमविनिमेय होता है: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
  • यह वितरण नियम का पालन करता है: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
  • $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
  • $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$
  • लंबवत होने की शर्त: यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ शून्येतर सदिश हैं, तो वे परस्पर लंबवत होंगे यदि और केवल यदि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
• दो सदिशों के बीच का कोण:
  • $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
• एक सदिश का दूसरे सदिश पर प्रक्षेप (Projection of a Vector on Another Vector):
  • सदिश $\vec{a}$ पर सदिश $\vec{b}$ का प्रक्षेप $= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$
  • सदिश $\vec{b}$ पर सदिश $\vec{a}$ का प्रक्षेप $= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

8. दो सदिशों का सदिश (वज्र) गुणनफल (Vector or Cross Product of Two Vectors)

• परिभाषा: दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है:
  • $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \hat{n}$
  • जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है ($0 \le \theta \le \pi$) और $\hat{n}$ एक मात्रक सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों पर लंबवत है, और $\vec{a}, \vec{b}, \hat{n}$ दक्षिणहस्त प्रणाली (right-handed system) बनाते हैं।
• घटक रूप में सदिश गुणनफल:
  • यदि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ और $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$
  • तो $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k}$
• सदिश गुणनफल के गुणधर्म:
  • यह क्रमविनिमेय नहीं होता है: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
  • यह वितरण नियम का पालन करता है: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
  • $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
  • $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$
  • $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$, $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$, $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
  • समांतर होने की शर्त: यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ शून्येतर सदिश हैं, तो वे परस्पर समांतर होंगे यदि और केवल यदि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$।
• अनुप्रयोग (Applications):
  • त्रिभुज का क्षेत्रफल:
    • यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ त्रिभुज की दो संलग्न भुजाओं को निरूपित करते हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$।
    • यदि $A, B, C$ त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ या $\frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BA}|$ या $\frac{1}{2} |\vec{CA} \times \vec{CB}|$।
  • समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल:
    • यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं को निरूपित करते हैं, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= |\vec{a} \times \vec{b}|$।

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions - MCQs)

यहाँ 'सदिश बीजगणित' अध्याय से संबंधित 10 महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं, जो आपकी प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी में सहायक होंगे:

1. सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ की दिशा में मात्रक सदिश है:
(A) $\frac{1}{3}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
(B) $\frac{1}{\sqrt{3}}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
(C) $3(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
(D) $\frac{1}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$

2. यदि सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ परस्पर लंबवत हैं, तो $x$ का मान है:
(A) 3
(B) -3
(C) 4
(D) -4

3. सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ के समांतर एक सदिश है:
(A) $4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k}$
(B) $-4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k}$
(C) $-4\hat{i} - 6\hat{j} + 8\hat{k}$
(D) $4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k}$

4. सदिश $\hat{i} - \hat{j}$ का सदिश $\hat{i} + \hat{j}$ पर प्रक्षेप है:
(A) 0
(B) 1
(C) $\sqrt{2}$
(D) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

5. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं:
(A) $\frac{\sqrt{19}}{2}$ वर्ग इकाई
(B) $\frac{\sqrt{21}}{2}$ वर्ग इकाई
(C) $\frac{\sqrt{26}}{2}$ वर्ग इकाई
(D) $\frac{\sqrt{30}}{2}$ वर्ग इकाई

6. सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$ का परिमाण है:
(A) $\sqrt{62}$
(B) $\sqrt{49}$
(C) $\sqrt{58}$
(D) $\sqrt{60}$

7. बिंदुओं $P(2,3,4)$ और $Q(4,1,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश है:
(A) $\frac{1}{3}(10\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k})$
(B) $\frac{1}{3}(6\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})$
(C) $\frac{1}{3}(8\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k})$
(D) $\frac{1}{3}(10\hat{i} + 5\hat{j})$

8. यदि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख हैं, तो कौन सा कथन सत्य है?
(A) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
(B) $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$
(C) $|\vec{a}| = |\vec{b}|$
(D) $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$

9. यदि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$, तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ का मान है:
(A) $6\sqrt{3}$
(B) $3\sqrt{3}$
(C) $12$
(D) $6$

10. सदिशों $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण है:
(A) $\cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$
(B) $\cos^{-1}\left(\frac{10}{14}\right)$
(C) $\cos^{-1}\left(\frac{10}{12}\right)$
(D) $\cos^{-1}\left(\frac{10}{14}\right)$

उत्तरमाला (Answer Key):

1. (A)
2. (A)
3. (B)
4. (A)
5. (C)
6. (A)
7. (D)
8. (B)
9. (A)
10. (A)

प्रिय विद्यार्थियों, सदिश बीजगणित एक ऐसा अध्याय है जिसमें सूत्रों और अवधारणाओं की स्पष्टता अत्यंत आवश्यक है। इन नोट्स का गहन अध्ययन करें और दिए गए बहुविकल्पीय प्रश्नों को हल करके अपनी समझ का परीक्षण करें। नियमित अभ्यास ही आपको इस अध्याय में दक्षता दिलाएगा। शुभकामनाएँ!