Class 12 Mathematics Notes Chapter 3 (अवकल समीकरण) – Ganit-II Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित की पुस्तक 'गणित-II' के अध्याय 3, 'अवकल समीकरण' का विस्तृत अध्ययन करेंगे। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, अतः प्रत्येक अवधारणा को ध्यानपूर्वक समझें।

अध्याय 3: अवकल समीकरण (Differential Equations)

1. अवकल समीकरण क्या है? (What is a Differential Equation?)

एक समीकरण जिसमें एक स्वतंत्र चर (independent variable), एक परतंत्र चर (dependent variable) और परतंत्र चर के स्वतंत्र चर के सापेक्ष अवकलज (derivatives) शामिल होते हैं, उसे अवकल समीकरण कहते हैं।

उदाहरण:

• $\frac{dy}{dx} = \cos x$
• $\frac{d^2y}{dx2} + y = 0$
• $x \frac{dy}{dx} + y = xy \frac{d^2y}{dx2}$
• $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y = 0$

2. अवकल समीकरण की कोटि और घात (Order and Degree of a Differential Equation)

a) कोटि (Order):
किसी अवकल समीकरण की कोटि, उसमें उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की कोटि होती है।
उदाहरण:

• $\frac{dy}{dx} + y = 0$ की कोटि 1 है।
• $\frac{d^2y}{dx2} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$ की कोटि 2 है।
• $\frac{d^3y}{dx3} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^4 + y = 0$ की कोटि 3 है।

b) घात (Degree):
किसी अवकल समीकरण की घात, उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है, जब अवकल समीकरण अवकलजों में एक बहुपद समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सके।
यदि अवकल समीकरण अवकलजों में एक बहुपद समीकरण नहीं है (जैसे कि अवकलज किसी त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय या घातांकीय फलन के अंदर हो), तो उसकी घात परिभाषित नहीं होती।

उदाहरण:

• $\frac{d^2y}{dx2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + y = 0$
  • उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx2}$ है, जिसकी कोटि 2 है।
  • इसकी घात 1 है (क्योंकि $\frac{d^2y}{dx2}$ की घात 1 है)।
• $\left( \frac{d^3y}{dx3} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^4 + y = 0$
  • उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx3}$ है, जिसकी कोटि 3 है।
  • इसकी घात 2 है (क्योंकि $\frac{d^3y}{dx3}$ की घात 2 है)।
• $\sin \left( \frac{dy}{dx} \right) + y = 0$
  • इसकी कोटि 1 है।
  • इसकी घात परिभाषित नहीं है, क्योंकि यह $\frac{dy}{dx}$ में एक बहुपद समीकरण नहीं है।
• $e^{\frac{d2y}{dx^2}} + \frac{dy}{dx} = 0$
  • इसकी कोटि 2 है।
  • इसकी घात परिभाषित नहीं है।

महत्वपूर्ण बिंदु: घात परिभाषित करने से पहले, सुनिश्चित करें कि अवकल समीकरण अवकलजों में एक बहुपद समीकरण है और सभी अवकलज भिन्नात्मक घातों से मुक्त हैं।

3. अवकल समीकरण का व्यापक और विशिष्ट हल (General and Particular Solutions)

a) व्यापक हल (General Solution):
किसी अवकल समीकरण का वह हल जिसमें उतने ही स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) होते हैं जितनी अवकल समीकरण की कोटि होती है, उसे उस अवकल समीकरण का व्यापक हल कहते हैं। यह हल अवकल समीकरण के सभी संभावित हलों का एक परिवार दर्शाता है।

b) विशिष्ट हल (Particular Solution):
किसी अवकल समीकरण का वह हल जो व्यापक हल से स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है, उसे विशिष्ट हल कहते हैं। विशिष्ट हल प्राप्त करने के लिए अक्सर प्रारंभिक या सीमांत प्रतिबंध (initial or boundary conditions) दिए जाते हैं।

उदाहरण:
अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \cos x$ का व्यापक हल $y = \sin x + C$ है।
यदि दिया गया है कि $y(0) = 1$, तो $1 = \sin(0) + C \implies C = 1$।
अतः विशिष्ट हल $y = \sin x + 1$ है।

4. अवकल समीकरणों का निर्माण (Formation of Differential Equations)

किसी दिए गए फलन से अवकल समीकरण बनाने के लिए, हम फलन में उपस्थित स्वेच्छ अचरों को अवकलन करके विलुप्त करते हैं।
यदि किसी फलन में $n$ स्वेच्छ अचर हैं, तो हम उसे $n$ बार अवकलित करेंगे और फिर इन $n$ समीकरणों तथा मूल समीकरण की सहायता से स्वेच्छ अचरों को विलुप्त करेंगे। परिणामी समीकरण ही वांछित अवकल समीकरण होगा।

उदाहरण:
फलन $y = Ax + B$ से अवकल समीकरण बनाइए।
यहाँ दो स्वेच्छ अचर (A और B) हैं, अतः हम इसे दो बार अवकलित करेंगे।

1. $\frac{dy}{dx} = A$
2. $\frac{d^2y}{dx2} = 0$
   यह ही वांछित अवकल समीकरण है।

5. अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ (Methods of Solving Differential Equations)

कक्षा 12 में हम तीन प्रकार के प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों को हल करना सीखेंगे:

a) चरों के पृथक्करण वाली विधि (Variable Separable Method):
यदि अवकल समीकरण को $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ या $f(x)dx + g(y)dy = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, तो हम चरों को पृथक करके हल कर सकते हैं।
हल करने के चरण:

1. समीकरण को $f(x)dx = g(y)dy$ के रूप में लिखें।
2. दोनों पक्षों का समाकलन करें: $\int f(x)dx = \int g(y)dy + C$
3. समाकलन के बाद प्राप्त समीकरण ही व्यापक हल होगा।

उदाहरण:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x2}$ को हल करें।
$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + C$
यह ही व्यापक हल है।

b) समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations):
एक प्रथम कोटि का अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = F(x,y)$ को समघातीय कहा जाता है यदि $F(x,y)$ एक समघातीय फलन है, अर्थात $F(tx, ty) = t^n F(x,y)$ (जहाँ $n$ घात है)।
यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ है, तो यह समघातीय होगा यदि $f(x,y)$ और $g(x,y)$ समान घात के समघातीय फलन हों।

हल करने के चरण:

1. समीकरण को $\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$ के रूप में लिखें।
2. प्रतिस्थापन करें: $y = vx \implies \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
3. समीकरण $v + x \frac{dv}{dx} = F(v)$ में बदल जाएगा।
4. चरों को पृथक करें: $x \frac{dv}{dx} = F(v) - v \implies \frac{dv}{F(v)-v} = \frac{dx}{x}$
5. दोनों पक्षों का समाकलन करें।
6. समाकलन के बाद $v$ को $y/x$ से प्रतिस्थापित करके व्यापक हल प्राप्त करें।

यदि समीकरण $\frac{dx}{dy} = G\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप में है, तो प्रतिस्थापन $x = vy$ करें।

उदाहरण:
$(x^2 + xy)dy = (x^2 + y^2)dx$ को हल करें।
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{x2 + xy}$
यहाँ अंश और हर दोनों 2 घात के समघातीय फलन हैं।
प्रतिस्थापन $y=vx \implies \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{x2 + x(vx)} = \frac{x^2(1+v2)}{x^2(1+v)} = \frac{1+v^2}{1+v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{1+v} - v = \frac{1+v^2 - v(1+v)}{1+v} = \frac{1+v^2-v-v2}{1+v} = \frac{1-v}{1+v}$
$\frac{1+v}{1-v} dv = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करें: $\int \frac{1+v}{1-v} dv = \int \frac{dx}{x}$
$\int \left( \frac{2}{1-v} - 1 \right) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-2 \log|1-v| - v = \log|x| + C$
$v$ को $y/x$ से प्रतिस्थापित करें:
$-2 \log\left|1-\frac{y}{x}\right| - \frac{y}{x} = \log|x| + C$
$-2 \log\left|\frac{x-y}{x}\right| - \frac{y}{x} = \log|x| + C$
$-2 (\log|x-y| - \log|x|) - \frac{y}{x} = \log|x| + C$
$-2 \log|x-y| + 2 \log|x| - \frac{y}{x} = \log|x| + C$
$-2 \log|x-y| + \log|x| - \frac{y}{x} = C$ (यह व्यापक हल है)

c) रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations):
प्रथम कोटि का एक अवकल समीकरण रैखिक कहलाता है यदि यह निम्न रूपों में से किसी एक में हो:
रूप 1: $\frac{dy}{dx} + Py = Q$
जहाँ $P$ और $Q$ केवल $x$ के फलन हैं या अचर हैं।

हल करने के चरण:

1. समीकरण को मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में लिखें।
2. समाकलन गुणांक (Integrating Factor, IF) ज्ञात करें: $IF = e^{\int P dx}$
3. व्यापक हल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $y \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dx + C$

रूप 2: $\frac{dx}{dy} + Px = Q$
जहाँ $P$ और $Q$ केवल $y$ के फलन हैं या अचर हैं।

हल करने के चरण:

1. समीकरण को मानक रूप $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ में लिखें।
2. समाकलन गुणांक (Integrating Factor, IF) ज्ञात करें: $IF = e^{\int P dy}$
3. व्यापक हल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $x \cdot (IF) = \int (Q \cdot IF) dy + C$

उदाहरण (रूप 1):
$\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ को हल करें।
यहाँ $P = 2$ और $Q = \sin x$।
$IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$
व्यापक हल: $y \cdot e^{2x} = \int (\sin x \cdot e^{2x}) dx + C$
दाएँ पक्ष का समाकलन खंडशः समाकलन (integration by parts) द्वारा किया जा सकता है।
$\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a2+b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx))$
यहाँ $a=2, b=1$
$\int e^{2x} \sin x dx = \frac{e^{2x}}{22+1^2}(2 \sin x - 1 \cos x) = \frac{e^{2x}}{5}(2 \sin x - \cos x)$
अतः, $y e^{2x} = \frac{e^{2x}}{5}(2 \sin x - \cos x) + C$
$y = \frac{1}{5}(2 \sin x - \cos x) + C e^{-2x}$ (यह व्यापक हल है)

उदाहरण (रूप 2):
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ को हल करें।
पहले इसे मानक रूप में लाएँ:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का है, जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x \log x$।
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$
व्यापक हल: $y \cdot x^2 = \int (x \log x \cdot x^2) dx + C$
$y x^2 = \int x^3 \log x dx + C$
दाएँ पक्ष का समाकलन खंडशः समाकलन द्वारा करें: $\int u dv = uv - \int v du$
$u = \log x \implies du = \frac{1}{x} dx$
$dv = x^3 dx \implies v = \frac{x^4}{4}$
$\int x^3 \log x dx = (\log x) \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx$
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 dx$
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$
अतः, $y x^2 = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + C$
$y = \frac{x^2}{4} \log x - \frac{x^2}{16} + \frac{C}{x^2}$ (यह व्यापक हल है)

सारांश (Summary)

• अवकल समीकरण: वह समीकरण जिसमें स्वतंत्र चर, परतंत्र चर और उसके अवकलज हों।
• कोटि: उच्चतम कोटि के अवकलज की कोटि।
• घात: उच्चतम कोटि के अवकलज की घात, बशर्ते समीकरण अवकलजों में एक बहुपद हो।
• व्यापक हल: स्वेच्छ अचरों के साथ हल (अचरों की संख्या = कोटि)।
• विशिष्ट हल: प्रारंभिक/सीमांत प्रतिबंधों का उपयोग करके अचरों के विशिष्ट मानों के साथ हल।
• निर्माण: स्वेच्छ अचरों को विलुप्त करके।
• हल करने की विधियाँ:
  • चरों का पृथक्करण: $f(x)dx = g(y)dy$
  • समघातीय: $y=vx$ या $x=vy$ प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
  • रैखिक: $IF = e^{\int P dx}$ या $e^{\int P dy}$ का उपयोग करें।

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions - MCQs)

यहाँ 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं जो आपकी तैयारी में सहायक होंगे:

1. अवकल समीकरण $\left( \frac{d^3y}{dx3} \right)^2 + \left( \frac{d^2y}{dx2} \right)^3 + \frac{dy}{dx} + y = 0$ की कोटि और घात क्या है?
a) कोटि 3, घात 2
b) कोटि 2, घात 3
c) कोटि 3, घात 3
d) कोटि 1, घात 2

2. अवकल समीकरण $y' + e^{y'} = x$ की कोटि और घात क्या है?
a) कोटि 1, घात 1
b) कोटि 1, घात परिभाषित नहीं
c) कोटि 2, घात 1
d) कोटि 2, घात परिभाषित नहीं

3. अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ को हल करने के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन क्या होगा?
a) $y=vx$
b) $x+y=v$
c) $y=x+v$
d) $x=y+v$

4. अवकल समीकरण $y = A e^{3x} + B e^{-2x}$ का अवकल समीकरण क्या है?
a) $\frac{d^2y}{dx2} - \frac{dy}{dx} - 6y = 0$
b) $\frac{d^2y}{dx2} + \frac{dy}{dx} - 6y = 0$
c) $\frac{d^2y}{dx2} - 6y = 0$
d) $\frac{d^2y}{dx2} + \frac{dy}{dx} + 6y = 0$

5. अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x+y}$ किस प्रकार का है?
a) चरों के पृथक्करण वाला
b) समघातीय
c) रैखिक
d) इनमें से कोई नहीं

6. अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ का समाकलन गुणांक (Integrating Factor) क्या है?
a) $x$
b) $\log x$
c) $e^x$
d) $x^2$

7. अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ का व्यापक हल क्या है?
a) $y = Cx$
b) $y = C/x$
c) $y = C \log x$
d) $y = x+C$

8. अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = 0$ का विशिष्ट हल क्या है, यदि $y(1)=1$?
a) $y=x$
b) $y=1/x$
c) $y=x^2$
d) $y=x+1$

9. अवकल समीकरण $(1+x^2)\frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ का मानक रैखिक रूप क्या है?
a) $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x2}$
b) $\frac{dy}{dx} + 2xy = \frac{4x^2}{1+x2}$
c) $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = 4x^2$
d) $\frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$

10. अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^x \sin x$ का हल क्या है?
a) $y = e^x (\sin x - \cos x) + C$
b) $y = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + C$
c) $y = e^x (\sin x + \cos x) + C$
d) $y = \frac{e^x}{2} (\sin x + \cos x) + C$

MCQs के उत्तर:

1. a) कोटि 3, घात 2
2. b) कोटि 1, घात परिभाषित नहीं
3. b) $x+y=v$
4. a) $\frac{d^2y}{dx2} - \frac{dy}{dx} - 6y = 0$
5. b) समघातीय
6. a) $x$
7. a) $y = Cx$
8. a) $y=x$
9. a) $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{4x^2}{1+x2}$
10. b) $y = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + C$

मुझे आशा है कि ये विस्तृत नोट्स और बहुविकल्पीय प्रश्न आपको 'अवकल समीकरण' अध्याय को समझने और प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी करने में सहायक होंगे। शुभकामनाएँ!