Class 12 Mathematics Notes Chapter 4 (सदिश बीजगणित) – Ganit-II Book

प्रिय विद्यार्थियों,

आज हम कक्षा 12 गणित की पुस्तक 'गणित-II' के अध्याय 4, 'सदिश बीजगणित' का विस्तृत अध्ययन करेंगे। यह अध्याय विभिन्न सरकारी परीक्षाओं के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, और हम इसे इस प्रकार समझेंगे कि आपके सभी मूलभूत संकल्पनाएँ स्पष्ट हो जाएँ और आप प्रश्नों को आत्मविश्वास से हल कर सकें।

अध्याय 4: सदिश बीजगणित (Vector Algebra)

1. परिचय (Introduction)

भौतिकी और गणित में, राशियों को दो मुख्य श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है:

• अदिश राशियाँ (Scalar Quantities): वे राशियाँ जिनमें केवल परिमाण (magnitude) होता है, दिशा नहीं होती।
  • उदाहरण: द्रव्यमान, लंबाई, समय, तापमान, आयतन, कार्य, दूरी, चाल।
• सदिश राशियाँ (Vector Quantities): वे राशियाँ जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
  • उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग, भार।

एक सदिश को एक निर्देशित रेखाखंड (directed line segment) द्वारा दर्शाया जाता है। यदि एक सदिश P से Q तक है, तो P को प्रारंभिक बिंदु (initial point) और Q को अंतिम बिंदु (terminal point) कहते हैं। सदिश को $\vec{PQ}$ या $\vec{a}$ जैसे अक्षरों से दर्शाया जाता है।

2. कुछ मूलभूत संकल्पनाएँ (Some Basic Concepts)

• सदिश का परिमाण (Magnitude of a Vector): एक सदिश $\vec{a}$ के परिमाण को $|\vec{a}|$ से दर्शाया जाता है। यह सदिश की लंबाई होती है और हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है।
• शून्य सदिश (Zero Vector or Null Vector): एक सदिश जिसका प्रारंभिक और अंतिम बिंदु संपाती होते हैं, उसे शून्य सदिश कहते हैं। इसका परिमाण शून्य होता है और दिशा अनिश्चित होती है। इसे $\vec{0}$ से दर्शाया जाता है।
• मात्रक सदिश (Unit Vector): एक सदिश जिसका परिमाण 1 इकाई होता है, मात्रक सदिश कहलाता है। किसी सदिश $\vec{a}$ की दिशा में मात्रक सदिश को $\hat{a}$ से दर्शाया जाता है और $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ होता है।
• सह-आदिम सदिश (Co-initial Vectors): दो या दो से अधिक सदिश जिनका प्रारंभिक बिंदु एक ही होता है।
• संरेख सदिश (Collinear Vectors): दो या दो से अधिक सदिश जो एक ही रेखा के समांतर होते हैं, चाहे उनकी दिशा समान हो या विपरीत।
• समान सदिश (Equal Vectors): दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समान कहलाते हैं यदि उनका परिमाण और दिशा दोनों समान हों।
• ऋणात्मक सदिश (Negative of a Vector): सदिश $\vec{a}$ का ऋणात्मक सदिश $-\vec{a}$ होता है, जिसका परिमाण $\vec{a}$ के समान होता है लेकिन दिशा $\vec{a}$ के विपरीत होती है।

3. सदिशों का योग (Addition of Vectors)

• त्रिभुज नियम (Triangle Law of Vector Addition): यदि दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाए, तो उनका परिणामी सदिश त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा विपरीत क्रम में दर्शाया जाता है।
  • यदि $\vec{a} = \vec{PQ}$ और $\vec{b} = \vec{QR}$, तो $\vec{a} + \vec{b} = \vec{PR}$।
• समांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law of Vector Addition): यदि दो सदिशों को एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में दर्शाया जाए, तो उनका परिणामी सदिश उस विकर्ण द्वारा दर्शाया जाता है जो उनके उभयनिष्ठ प्रारंभिक बिंदु से होकर गुजरता है।
  • यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं, तो उनका योग $\vec{a} + \vec{b}$ उभयनिष्ठ प्रारंभिक बिंदु से गुजरने वाले विकर्ण द्वारा दिया जाता है।
• सदिश योग के गुणधर्म (Properties of Vector Addition):
  • क्रमविनिमेयता (Commutativity): $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
  • साहचर्यता (Associativity): $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
  • योज्य तत्समक का अस्तित्व (Existence of Additive Identity): $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$
  • योज्य प्रतिलोम का अस्तित्व (Existence of Additive Inverse): $\vec{a} + (-\vec{a}) = (-\vec{a}) + \vec{a} = \vec{0}$

4. एक सदिश का अदिश से गुणन (Multiplication of a Vector by a Scalar)

यदि $\vec{a}$ एक सदिश है और $k$ एक अदिश है, तो $k\vec{a}$ एक नया सदिश है जिसका परिमाण $|k||\vec{a}|$ है।

• यदि $k > 0$, तो $k\vec{a}$ की दिशा $\vec{a}$ के समान होती है।
• यदि $k < 0$, तो $k\vec{a}$ की दिशा $\vec{a}$ के विपरीत होती है।
• यदि $k = 0$, तो $k\vec{a} = \vec{0}$।
• गुणधर्म:
  • $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
  • $(k+m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$
  • $k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}$
  • $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$
  • $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

5. सदिशों का वियोजन (Resolution of Vectors)

एक सदिश को उसके घटकों (components) में वियोजित किया जा सकता है।

• द्वि-विमीय में (In 2D): एक सदिश $\vec{a}$ को $x\hat{i} + y\hat{j}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष की दिशा में मात्रक सदिश हैं।
• त्रि-विमीय में (In 3D): एक सदिश $\vec{a}$ को $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $\hat{i}$, $\hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः $x$-अक्ष, $y$-अक्ष और $z$-अक्ष की दिशा में मात्रक सदिश हैं।
  • $x, y, z$ को $\vec{a}$ के अदिश घटक (scalar components) कहते हैं।
  • $x\hat{i}, y\hat{j}, z\hat{k}$ को $\vec{a}$ के सदिश घटक (vector components) कहते हैं।
• घटक रूप में सदिश का परिमाण (Magnitude of a Vector in Component Form):
  • यदि $\vec{a} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, तो $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$।
• दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश (Vector Joining Two Points):
  • यदि बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ हैं, तो सदिश $\vec{PQ} = (x_2-x_1)\hat{i} + (y_2-y_1)\hat{j} + (z_2-z_1)\hat{k}$।
• खंड सूत्र (Section Formula):
  • अंतः विभाजन (Internal Division): यदि एक बिंदु $R$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है, तो $R$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$।
  • बाह्य विभाजन (External Division): यदि एक बिंदु $R$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, तो $R$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m-n}$।
  • मध्य बिंदु (Mid-point): यदि $R$ मध्य बिंदु है, तो $m=n=1$, अतः $\vec{r} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$।

6. दो सदिशों का अदिश गुणनफल (Scalar or Dot Product of Two Vectors)

दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल, जिसे $\vec{a} \cdot \vec{b}$ से दर्शाया जाता है, एक अदिश राशि होती है।

• परिभाषा: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$, जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है ($0 \le \theta \le \pi$)।
• गुणधर्म (Properties):
  • क्रमविनिमेयता (Commutativity): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
  • वितरण नियम (Distributive Law): $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
  • यदि $\vec{a} \perp \vec{b}$ (लंबवत हैं), तो $\theta = 90^\circ$, अतः $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (शून्य सदिश के अलावा)।
  • यदि $\vec{a} \parallel \vec{b}$ (समांतर हैं), तो $\theta = 0^\circ$ या $\theta = 180^\circ$।
    • यदि समान दिशा में, $\theta = 0^\circ$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$।
    • यदि विपरीत दिशा में, $\theta = 180^\circ$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| |\vec{b}|$।
  • $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
  • $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$
• घटक रूप में अदिश गुणनफल (Dot Product in Component Form):
  • यदि $\vec{a} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k}$ और $\vec{b} = x_2\hat{i} + y_2\hat{j} + z_2\hat{k}$, तो $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$।
• दो सदिशों के बीच का कोण (Angle between Two Vectors):
  • $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$
• एक सदिश पर दूसरे सदिश का प्रक्षेप (Projection of a Vector on Another Vector):
  • सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
  • सदिश $\vec{b}$ का सदिश $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$

7. दो सदिशों का सदिश गुणनफल (Vector or Cross Product of Two Vectors)

दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल, जिसे $\vec{a} \times \vec{b}$ से दर्शाया जाता है, एक सदिश राशि होती है।

• परिभाषा: $\vec{a} \times \vec{b} = (|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta) \hat{n}$, जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है ($0 \le \theta \le \pi$), और $\hat{n}$ एक मात्रक सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों पर लंबवत होता है, और $\vec{a}, \vec{b}, \hat{n}$ एक दक्षिणावर्ती प्रणाली (right-handed system) बनाते हैं।
• गुणधर्म (Properties):
  • गैर-क्रमविनिमेयता (Non-Commutativity): $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
  • वितरण नियम (Distributive Law): $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
  • $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
  • यदि $\vec{a} \parallel \vec{b}$ (समांतर हैं), तो $\theta = 0^\circ$ या $\theta = 180^\circ$, अतः $\sin \theta = 0$, और $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ (शून्य सदिश के अलावा)।
  • यदि $\vec{a} \perp \vec{b}$ (लंबवत हैं), तो $\theta = 90^\circ$, अतः $\sin \theta = 1$, और $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}|$।
  • $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}$
  • $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$
  • $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$, $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$, $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
• घटक रूप में सदिश गुणनफल (Cross Product in Component Form):
  • यदि $\vec{a} = x_1\hat{i} + y_1\hat{j} + z_1\hat{k}$ और $\vec{b} = x_2\hat{i} + y_2\hat{j} + z_2\hat{k}$, तो
    $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2 - y_2z_1)\hat{i} - (x_1z_2 - x_2z_1)\hat{j} + (x_1y_2 - x_2y_1)\hat{k}$
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of Parallelogram):
  • यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं, तो क्षेत्रफल $= |\vec{a} \times \vec{b}|$।
• त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle):
  • यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक त्रिभुज की आसन्न भुजाएँ हैं, तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$।
  • यदि त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ हैं, तो क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(\vec{B}-\vec{A}) \times (\vec{C}-\vec{A})|$।
• दो सदिशों के समांतर होने की शर्त (Condition for Two Vectors to be Parallel):
  • दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर होते हैं यदि और केवल यदि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$।

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions - MCQs)

यहाँ 'सदिश बीजगणित' अध्याय पर आधारित 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं:

1. सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$ का परिमाण क्या है?
(A) $\sqrt{12}$
(B) $\sqrt{62}$
(C) $\sqrt{58}$
(D) $\sqrt{49}$

2. सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ की दिशा में मात्रक सदिश क्या है?
(A) $\frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
(B) $\frac{1}{\sqrt{13}}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
(C) $\frac{1}{14}(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
(D) $2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$

3. यदि सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का मान क्या है?
(A) -1
(B) 1
(C) 3
(D) 0

4. यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो ऐसे सदिश हैं कि $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, तो उनके बीच का कोण क्या है?
(A) $0^\circ$
(B) $45^\circ$
(C) $90^\circ$
(D) $180^\circ$

5. सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ पर प्रक्षेप क्या है?
(A) $\frac{10}{\sqrt{6}}$
(B) $\frac{10}{\sqrt{17}}$
(C) $\frac{6}{\sqrt{14}}$
(D) $\frac{6}{\sqrt{17}}$

6. यदि $\vec{a} = \hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं, तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ का मान क्या है?
(A) $\sqrt{186}$
(B) $\sqrt{190}$
(C) $\sqrt{194}$
(D) $\sqrt{198}$

7. दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर होंगे यदि:
(A) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
(B) $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$
(C) $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$
(D) $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$

8. यदि एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ द्वारा दी गई हैं, तो उसका क्षेत्रफल क्या है?
(A) $2\sqrt{11}$ वर्ग इकाई
(B) $\sqrt{22}$ वर्ग इकाई
(C) $3\sqrt{11}$ वर्ग इकाई
(D) $2\sqrt{22}$ वर्ग इकाई

9. बिंदु $A(2, 3, 4)$ और $B(4, 1, -2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु का स्थिति सदिश क्या है?
(A) $3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
(B) $2\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
(C) $6\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$
(D) $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$

10. यदि सदिश $2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $a\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k}$ संरेख हैं, तो $a$ का मान क्या है?
(A) 4
(B) -4
(C) 2
(D) -2

MCQ उत्तर कुंजी:

1. (B)
2. (A)
3. (A)
4. (C)
5. (A)
6. (C)
7. (B)
8. (A)
9. (A)
10. (B)

मुझे आशा है कि यह विस्तृत नोट्स और बहुविकल्पीय प्रश्न आपकी सरकारी परीक्षाओं की तैयारी में अत्यंत सहायक सिद्ध होंगे। अपनी पढ़ाई जारी रखें और किसी भी संदेह के लिए पूछने में संकोच न करें। शुभकामनाएँ!