Class 12 Mathematics Notes Chapter 5 (सांतत्य तथा अवकलनीयता) – Ganit-I Book

प्रिय विद्यार्थियों, आज हम कक्षा 12 गणित के अध्याय 5 'सांतत्य तथा अवकलनीयता' का विस्तृत अध्ययन करेंगे। यह अध्याय आपकी बोर्ड परीक्षाओं के साथ-साथ विभिन्न सरकारी प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए भी अत्यंत महत्वपूर्ण है। इस अध्याय की गहन समझ आपको कैलकुलस के आगे के अध्यायों में भी सहायता प्रदान करेगी। आइए, इस महत्वपूर्ण विषय पर विस्तार से चर्चा करें।

अध्याय 5: सांतत्य तथा अवकलनीयता (Continuity and Differentiability)

यह अध्याय कैलकुलस की नींव रखता है, जिसमें फलनों के सांतत्य (continuity) और अवकलनीयता (differentiability) की अवधारणाओं को समझाया गया है।

1. सांतत्य (Continuity)

परिभाषा:
एक फलन $f(x)$ बिंदु $x=c$ पर सांतत्य (continuous) कहलाता है यदि $f(x)$ का ग्राफ बिंदु $c$ पर बिना किसी रुकावट, उछाल या छेद के खींचा जा सके।
गणितीय रूप से, $f(x)$ बिंदु $x=c$ पर सांतत्य है यदि और केवल यदि निम्नलिखित तीन शर्तें पूरी होती हैं:

1. $f(c)$ परिभाषित हो (अर्थात्, $c$ फलन के प्रांत में हो)।
2. $\lim_{x \to c} f(x)$ का अस्तित्व हो।
3. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ हो।

तीसरी शर्त को अक्सर इस प्रकार भी लिखा जाता है:
$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$
अर्थात्, बायां सीमा (Left Hand Limit) = दायां सीमा (Right Hand Limit) = फलन का मान उस बिंदु पर।
यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो फलन $x=c$ पर असांतत्य (discontinuous) कहलाता है।

एक अंतराल पर सांतत्य:

• खुले अंतराल $(a, b)$ पर सांतत्य: एक फलन $f(x)$ खुले अंतराल $(a, b)$ में सांतत्य कहलाता है यदि यह अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सांतत्य हो।
• बंद अंतराल $[a, b]$ पर सांतत्य: एक फलन $f(x)$ बंद अंतराल $[a, b]$ में सांतत्य कहलाता है यदि:
  1. यह खुले अंतराल $(a, b)$ में सांतत्य हो।
  2. $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (दायां सांतत्य बिंदु $a$ पर)।
  3. $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ (बायां सांतत्य बिंदु $b$ पर)।

सांतत्य के बीजगणित (Algebra of Continuous Functions):
यदि $f$ और $g$ दो सांतत्य फलन हैं, तो:

1. $(f+g)$ भी सांतत्य होता है।
2. $(f-g)$ भी सांतत्य होता है।
3. $(f \cdot g)$ भी सांतत्य होता है।
4. $(f/g)$ भी सांतत्य होता है, बशर्ते $g(x) \neq 0$ हो।
5. $k \cdot f$ भी सांतत्य होता है, जहाँ $k$ एक अचर है।
6. संयुक्त फलन का सांतत्य: यदि $f$ सांतत्य है और $g$ सांतत्य है, तो उनका संयोजन $f \circ g$ भी सांतत्य होगा।

महत्वपूर्ण सांतत्य फलन:

• सभी बहुपद फलन (जैसे $x^2+2x+1$) अपने प्रांत (domain) में सांतत्य होते हैं।
• सभी त्रिकोणमितीय फलन (जैसे $\sin x, \cos x, \tan x$) अपने प्रांत में सांतत्य होते हैं।
• सभी घातांकी फलन (जैसे $e^x, a^x$) अपने प्रांत में सांतत्य होते हैं।
• सभी लघुगणकीय फलन (जैसे $\log x$) अपने प्रांत में सांतत्य होते हैं।
• मापांक फलन $|x|$ भी सांतत्य होता है।

2. अवकलनीयता (Differentiability)

परिभाषा:
एक फलन $f(x)$ बिंदु $x=c$ पर अवकलनीय (differentiable) कहलाता है यदि बिंदु $c$ पर फलन के ग्राफ पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा खींची जा सके। इसका अर्थ है कि ग्राफ में उस बिंदु पर कोई नुकीला मोड़ (sharp turn) या कोना (corner) नहीं होना चाहिए।
गणितीय रूप से, $f(x)$ बिंदु $x=c$ पर अवकलनीय होता है यदि सीमा:
$\lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$ का अस्तित्व हो।
इस सीमा को $f(x)$ का $x=c$ पर अवकलज (derivative) कहते हैं और इसे $f'(c)$ या $\frac{df}{dx}|_{x=c}$ से दर्शाते हैं।

• बायां हाथ का अवकलज (Left Hand Derivative, LHD):
  $LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$
• दायां हाथ का अवकलज (Right Hand Derivative, RHD):
  $RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$
  एक फलन $f(x)$ बिंदु $x=c$ पर अवकलनीय होता है यदि और केवल यदि $LHD = RHD$ हो।

सांतत्य और अवकलनीयता में संबंध:

• प्रमेय: यदि एक फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर सांतत्य भी होगा।
• महत्वपूर्ण बिंदु: लेकिन, इसका विलोम सत्य नहीं है। अर्थात, एक फलन सांतत्य हो सकता है लेकिन अवकलनीय नहीं हो सकता है।
  उदाहरण: फलन $f(x) = |x|$ बिंदु $x=0$ पर सांतत्य है, लेकिन अवकलनीय नहीं है क्योंकि $LHD = -1$ और $RHD = 1$ हैं।

अवकलज के बीजगणित (Algebra of Derivatives):
यदि $u$ और $v$ दो अवकलनीय फलन हैं, तो:

1. योग/अंतर नियम: $\frac{d}{dx}(u \pm v) = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$
2. गुणन नियम (Product Rule): $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$
3. भागफल नियम (Quotient Rule): $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$, जहाँ $v \neq 0$
4. अचर गुणा नियम: $\frac{d}{dx}(cu) = c \frac{du}{dx}$, जहाँ $c$ एक अचर है।

श्रृंखला नियम (Chain Rule):
यह नियम संयुक्त फलनों के अवकलन के लिए उपयोग किया जाता है।
यदि $y = f(u)$ और $u = g(x)$ हैं, तो $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
यह नियम कई फलनों के संयोजन के लिए भी लागू होता है: यदि $y = f(v)$, $v = g(u)$, और $u = h(x)$, तो $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$।

अस्पष्ट फलनों का अवकलन (Differentiation of Implicit Functions):
जब $y$ को $x$ के स्पष्ट फलन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता (जैसे $x^2 + y^2 = 25$ या $\sin(xy) + x = y$), तो हम $y$ को $x$ का फलन मानते हुए समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और फिर $\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करते हैं।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलन (Differentiation of Inverse Trigonometric Functions):

1. $\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, जहाँ $|x| < 1$
2. $\frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$, जहाँ $|x| < 1$
3. $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$
4. $\frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) = \frac{-1}{1+x^2}$
5. $\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$, जहाँ $|x| > 1$
6. $\frac{d}{dx}(\csc^{-1} x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$, जहाँ $|x| > 1$
   इन फलनों के अवकलन में उचित प्रतिस्थापन (substitutions) का उपयोग अक्सर गणना को सरल बनाता है।

लघुगणकीय अवकलन (Logarithmic Differentiation):
यह विधि तब उपयोगी होती है जब फलन की घात में फलन हो (जैसे $y = x^{\sin x}$) या जब फलन कई गुणनफल और भागफल के रूप में हो। इसमें फलन के दोनों पक्षों का लघुगणक लिया जाता है और फिर अवकलन किया जाता है।
उदाहरण: $y = [f(x)]^{g(x)}$ के लिए, $\log y = g(x) \log f(x)$। फिर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = g'(x)\log f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}$।

प्राचलिक फलनों का अवकलन (Differentiation of Parametric Functions):
जब $x$ और $y$ दोनों किसी तीसरे प्राचल (parameter) $t$ (या $\theta$) के फलन के रूप में दिए गए हों (जैसे $x = f(t), y = g(t)$), तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, बशर्ते $\frac{dx}{dt} \neq 0$ हो।

द्वितीय कोटि का अवकलज (Second Order Derivative):
यदि $y = f(x)$ एक अवकलनीय फलन है, तो इसका अवकलज $\frac{dy}{dx}$ या $f'(x)$ कहलाता है। यदि $f'(x)$ भी अवकलनीय है, तो इसके अवकलज को द्वितीय कोटि का अवकलज कहते हैं।
इसे $\frac{d^2y}{dx2}$ या $f''(x)$ या $y''$ से दर्शाते हैं।
$\frac{d^2y}{dx2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$

3. मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorems)

ये प्रमेय अवकलनीय फलनों के व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं।

रोले का प्रमेय (Rolle's Theorem):
यदि एक फलन $f(x)$ बंद अंतराल $[a, b]$ पर:

1. सांतत्य है।
2. खुले अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय है।
3. $f(a) = f(b)$ है।
   तो, खुले अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होगा जहाँ $f'(c) = 0$ होगा।

• ज्यामितीय अर्थ: यदि $f(a) = f(b)$ है, तो वक्र $y=f(x)$ पर $a$ और $b$ के बीच कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जहाँ स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर होगी।

लैग्रेंज का मध्यमान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem - LMVT):
यदि एक फलन $f(x)$ बंद अंतराल $[a, b]$ पर:

1. सांतत्य है।
2. खुले अंतराल $(a, b)$ में अवकलनीय है।
   तो, खुले अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा विद्यमान होगा जहाँ $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ होगा।

• ज्यामितीय अर्थ: वक्र $y=f(x)$ पर $a$ और $b$ के बीच कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जहाँ स्पर्श रेखा, बिंदुओं $(a, f(a))$ और $(b, f(b))$ को मिलाने वाली जीवा (chord) के समांतर होगी।

4. महत्वपूर्ण अवकलज सूत्र (Important Derivative Formulas)

• $\frac{d}{dx}(c) = 0$ (जहाँ $c$ अचर है)
• $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log_e a$
• $\frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x}$
• $\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \log_e a}$
• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
• $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$
• $\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$
• $\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x$
• $\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$

5. सरकारी परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु:

• सांतत्य की जांच: किसी फलन के सांतत्य की जांच करते समय, हमेशा बाएं हाथ की सीमा, दाएं हाथ की सीमा और फलन के मान की तुलना करें। यदि तीनों बराबर हैं, तो फलन सांतत्य है।
• अवकलनीयता की जांच: अवकलनीयता की जांच के लिए LHD और RHD की गणना करें। यदि वे बराबर हैं, तो फलन अवकलनीय है। याद रखें, अवकलनीयता सांतत्य को इंगित करती है, लेकिन विलोम सत्य नहीं है।
• श्रृंखला नियम का अनुप्रयोग: जटिल फलनों के अवकलन में श्रृंखला नियम का सही ढंग से उपयोग करना सीखें। यह कैलकुलस का एक मूलभूत उपकरण है।
• लघुगणकीय अवकलन: जब फलन की घात में फलन हो या कई फलन गुणन/भाग में हों, तो लघुगणकीय अवकलन का प्रयोग करें। यह गणना को सरल बनाता है।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन: इनके अवकलन के सूत्रों को याद रखें और उन्हें लागू करते समय उचित प्रतिस्थापन (substitutions) का उपयोग करें ताकि अवकलन सरल हो सके।
• मध्यमान प्रमेय: रोले और लैग्रेंज के प्रमेय की शर्तों और निष्कर्षों को ध्यान से समझें। इन प्रमेयों पर सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं।
• द्वितीय कोटि का अवकलज: इसका उपयोग अधिकतम/न्यूनतम मान, वक्रों की उत्तलता/अवतलता आदि में होता है।

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions - MCQs)

1. यदि $f(x) = \begin{cases} kx+1, & x \le \pi \ \cos x, & x > \pi \end{cases}$ बिंदु $x=\pi$ पर सांतत्य है, तो $k$ का मान क्या है?
   (a) $0$
   (b) $1$
   (c) $-2/\pi$
   (d) $1/\pi$

2. फलन $f(x) = |x-1|$ बिंदु $x=1$ पर:
   (a) सांतत्य है और अवकलनीय भी है।
   (b) सांतत्य है लेकिन अवकलनीय नहीं है।
   (c) असांतत्य है लेकिन अवकलनीय है।
   (d) असांतत्य है और अवकलनीय भी नहीं है।

3. यदि $y = \sin(\log x)$, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा?
   (a) $\cos(\log x)$
   (b) $\frac{\cos(\log x)}{x}$
   (c) $-\frac{\cos(\log x)}{x}$
   (d) $\frac{\sin(\log x)}{x}$

4. यदि $x = at^2$ और $y = 2at$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा?
   (a) $t$
   (b) $1/t$
   (c) $a$
   (d) $2a$

5. $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} (\sqrt{x}))$ का मान क्या है?
   (a) $\frac{1}{1+x}$
   (b) $\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$
   (c) $\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$
   (d) $\frac{1}{2(1+x)}$

6. यदि $y = x^x$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा?
   (a) $x^x (1 + \log x)$
   (b) $x^x \log x$
   (c) $x^{x-1}$
   (d) $x^x (1 - \log x)$

7. फलन $f(x) = x^2 - 4x - 3$ के लिए अंतराल $[1, 4]$ में रोले का प्रमेय लागू होता है या नहीं? यदि हाँ, तो $c$ का मान क्या है?
   (a) $2$
   (b) $3/2$
   (c) $5/2$
   (d) रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

8. यदि $y = \log(\cos e^x)$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा?
   (a) $-\tan e^x$
   (b) $-e^x \tan e^x$
   (c) $\frac{-e^x}{\cos e^x}$
   (d) $\frac{1}{\cos e^x}$

9. यदि $x^3 + y^3 = 3axy$ है, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा?
   (a) $\frac{ay - x^2}{y2 - ax}$
   (b) $\frac{ay + x^2}{y2 + ax}$
   (c) $\frac{x^2 - ay}{y^2 - ax}$
   (d) $\frac{x^2 - ay}{ax - y^2}$

10. फलन $f(x) = x^2$ के लिए अंतराल $[2, 4]$ में लैग्रेंज का मध्यमान प्रमेय लागू करने पर $c$ का मान क्या होगा?
    (a) $2$
    (b) $3$
    (c) $4$
    (d) $5$

MCQ उत्तरमाला:

1. (c)
2. (b)
3. (b)
4. (b)
5. (b)
6. (a)
7. (d)
8. (b)
9. (a)
10. (b)