Class 12 Mathematics Notes Chapter 6 (अवकलज के अनुप्रयोग) – Ganit-I Book

प्रिय विद्यार्थियों, आज हम कक्षा 12 गणित के अध्याय 6, 'अवकलज के अनुप्रयोग' का विस्तृत अध्ययन करेंगे। यह अध्याय न केवल आपकी बोर्ड परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में भी इससे संबंधित प्रश्न पूछे जाते हैं। हम प्रत्येक अवधारणा को गहराई से समझेंगे और उन प्रमुख बिंदुओं पर विशेष ध्यान देंगे जो अक्सर सरकारी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं।

अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)

यह अध्याय अवकलज की अवधारणा को विभिन्न वास्तविक-जीवन की समस्याओं और गणितीय विश्लेषण में लागू करने पर केंद्रित है। अवकलज केवल किसी फलन के परिवर्तन की दर को ही नहीं बताता, बल्कि इसका उपयोग वक्रों की ज्यामितीय विशेषताओं, फलन के व्यवहार (बढ़ना या घटना), और अधिकतम या न्यूनतम मानों को ज्ञात करने में भी होता है।

1. राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of Change of Quantities)

अवकलज dy/dx का अर्थ है y में परिवर्तन की दर x के सापेक्ष। यदि y = f(x) एक फलन है, तो dy/dx बिंदु x पर y के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

• सूत्र: यदि y = f(x), तो dy/dx x के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर है।
• समय के सापेक्ष परिवर्तन की दर: यदि कोई राशि y समय t का फलन है, तो dy/dt समय t के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।
• उदाहरण:
  • एक वृत्त के क्षेत्रफल A = πr² के परिवर्तन की दर त्रिज्या r के सापेक्ष dA/dr = 2πr होती है।
  • एक घन के आयतन V = x³ के परिवर्तन की दर भुजा x के सापेक्ष dV/dx = 3x² होती है।
  • यदि एक कण की स्थिति s समय t का फलन है, तो ds/dt कण का वेग (velocity) और d²s/dt² कण का त्वरण (acceleration) होता है।

महत्वपूर्ण बिंदु (प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए):

• इकाइयों का ध्यान रखें। यदि क्षेत्रफल cm² में और समय s में है, तो dA/dt की इकाई cm²/s होगी।
• अक्सर, किसी विशेष बिंदु पर परिवर्तन की दर पूछी जाती है। जैसे, r = 5 cm पर dA/dr का मान।

2. वर्धमान और ह्रासमान फलन (Increasing and Decreasing Functions)

अवकलज का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई फलन किसी दिए गए अंतराल में वर्धमान (बढ़ रहा है) है या ह्रासमान (घट रहा है)।

• परिभाषाएँ:

  • वर्धमान फलन (Increasing Function): एक फलन f अंतराल (a, b) में वर्धमान कहलाता है यदि x1 < x2 के लिए f(x1) ≤ f(x2) हो, जहाँ x1, x2 ∈ (a, b).
  • सख्त वर्धमान फलन (Strictly Increasing Function): एक फलन f अंतराल (a, b) में सख्त वर्धमान कहलाता है यदि x1 < x2 के लिए f(x1) < f(x2) हो, जहाँ x1, x2 ∈ (a, b).
  • ह्रासमान फलन (Decreasing Function): एक फलन f अंतराल (a, b) में ह्रासमान कहलाता है यदि x1 < x2 के लिए f(x1) ≥ f(x2) हो, जहाँ x1, x2 ∈ (a, b).
  • सख्त ह्रासमान फलन (Strictly Decreasing Function): एक फलन f अंतराल (a, b) में सख्त ह्रासमान कहलाता है यदि x1 < x2 के लिए f(x1) > f(x2) हो, जहाँ x1, x2 ∈ (a, b).

• अवकलज परीक्षण (Derivative Test):

  • यदि किसी अंतराल (a, b) में प्रत्येक x के लिए f'(x) > 0 है, तो f उस अंतराल में सख्त वर्धमान है।
  • यदि किसी अंतराल (a, b) में प्रत्येक x के लिए f'(x) < 0 है, तो f उस अंतराल में सख्त ह्रासमान है।
  • यदि किसी अंतराल (a, b) में प्रत्येक x के लिए f'(x) = 0 है, तो f उस अंतराल में अचर फलन है।
  • यदि किसी अंतराल (a, b) में प्रत्येक x के लिए f'(x) ≥ 0 है, तो f उस अंतराल में वर्धमान है।
  • यदि किसी अंतराल (a, b) में प्रत्येक x के लिए f'(x) ≤ 0 है, तो f उस अंतराल में ह्रासमान है।

अंतराल ज्ञात करने की विधि:

1. दिए गए फलन f(x) का अवकलज f'(x) ज्ञात करें।
2. f'(x) = 0 रखकर क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करें। ये बिंदु संख्या रेखा को उप-अंतरालों में विभाजित करते हैं।
3. प्रत्येक उप-अंतराल में f'(x) का चिह्न (धनात्मक या ऋणात्मक) जांचें।
   • यदि f'(x) > 0, तो फलन सख्त वर्धमान है।
   • यदि f'(x) < 0, तो फलन सख्त ह्रासमान है।

महत्वपूर्ण बिंदु (प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए):

• त्रिकोणमितीय फलनों के लिए अंतराल [0, 2π] या (-π/2, π/2) आदि में वर्धमान/ह्रासमान व्यवहार पर विशेष ध्यान दें।
• f'(x) = 0 वाले बिंदु पर फलन न तो सख्त वर्धमान होता है और न ही सख्त ह्रासमान।

3. स्पर्श रेखाएँ और अभिलम्ब (Tangents and Normals)

अवकलज का ज्यामितीय अर्थ किसी वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) है।

• स्पर्श रेखा की प्रवणता: वक्र y = f(x) के बिंदु (x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता m = (dy/dx)_(x₀, y₀) = f'(x₀) होती है।
• स्पर्श रेखा का समीकरण: बिंदु (x₀, y₀) से गुजरने वाली और प्रवणता m वाली रेखा का समीकरण y - y₀ = m(x - x₀) होता है।
• अभिलम्ब की प्रवणता: अभिलम्ब (normal) स्पर्श रेखा के लंबवत होता है। यदि स्पर्श रेखा की प्रवणता m है, तो अभिलम्ब की प्रवणता m_n = -1/m होती है (यदि m ≠ 0)।
• अभिलम्ब का समीकरण: बिंदु (x₀, y₀) से गुजरने वाली और प्रवणता m_n वाली अभिलम्ब का समीकरण y - y₀ = (-1/m)(x - x₀) होता है।

विशेष स्थितियाँ:

• यदि स्पर्श रेखा x-अक्ष के समानांतर हो: m = 0। स्पर्श रेखा का समीकरण y = y₀। अभिलम्ब का समीकरण x = x₀।
• यदि स्पर्श रेखा y-अक्ष के समानांतर हो: m अपरिभाषित (अर्थात् dx/dy = 0)। स्पर्श रेखा का समीकरण x = x₀। अभिलम्ब का समीकरण y = y₀।

दो वक्रों के प्रतिच्छेदन का कोण:
यदि दो वक्र y = f(x) और y = g(x) एक बिंदु (x₀, y₀) पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके बीच का कोण उन बिंदुओं पर उनकी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण होता है।
यदि स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ m₁ = f'(x₀) और m₂ = g'(x₀) हैं, तो उनके बीच का कोण θ निम्न सूत्र से दिया जाता है:
tan θ = |(m₁ - m₂) / (1 + m₁m₂)|

• यदि m₁m₂ = -1, तो वक्र एक-दूसरे को लंबवत (orthogonal) काटते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु (प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए):

• अक्सर, वक्र पर एक बिंदु दिया होता है, या वह बिंदु ज्ञात करना होता है जहाँ स्पर्श रेखा किसी विशेष शर्त (जैसे x-अक्ष के समानांतर, किसी अन्य रेखा के लंबवत) को संतुष्ट करती है।
• dx/dy का उपयोग तब करें जब स्पर्श रेखा y-अक्ष के समानांतर हो।

4. सन्निकटन (Approximations)

अवकलज का उपयोग किसी फलन के मान में छोटे परिवर्तन का सन्निकटन करने के लिए किया जा सकता है।
यदि y = f(x) एक फलन है और Δx में x में एक छोटा परिवर्तन है, तो y में संगत परिवर्तन Δy लगभग dy के बराबर होता है, जहाँ dy = f'(x)Δx।

• सन्निकटन सूत्र:
  f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx
  या, Δy ≈ dy
  जहाँ dy = (dy/dx) Δx

• उपयोग:

  • वर्गमूल, घनमूल, या किसी अन्य फलन के मान का सन्निकटन ज्ञात करना।
  • उदाहरण: √(49.5) का सन्निकटन ज्ञात करने के लिए, f(x) = √x, x = 49, Δx = 0.5 लें।
    f'(x) = 1/(2√x)
f(49.5) ≈ f(49) + f'(49) * (0.5)
= √49 + (1/(2√49)) * 0.5
= 7 + (1/14) * 0.5 = 7 + 0.0357... ≈ 7.035

महत्वपूर्ण बिंदु (प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए):

• Δx हमेशा छोटा होना चाहिए।
• x का मान ऐसा चुनें जिसका f(x) आसानी से ज्ञात किया जा सके।

5. उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Maxima and Minima)

अवकलज का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग किसी फलन के अधिकतम (highest) और न्यूनतम (lowest) मानों को ज्ञात करना है।

• स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (Local Maxima and Minima):

  • स्थानीय उच्चिष्ठ: एक फलन f का बिंदु c पर स्थानीय उच्चिष्ठ होता है यदि c के किसी खुले अंतराल (a, b) में (जिसमें c शामिल है) f(x) ≤ f(c) हो, सभी x ∈ (a, b) के लिए। f(c) को स्थानीय उच्चिष्ठ मान कहते हैं।
  • स्थानीय निम्निष्ठ: एक फलन f का बिंदु c पर स्थानीय निम्निष्ठ होता है यदि c के किसी खुले अंतराल (a, b) में f(x) ≥ f(c) हो, सभी x ∈ (a, b) के लिए। f(c) को स्थानीय निम्निष्ठ मान कहते हैं।
  • स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ को सामूहिक रूप से स्थानीय चरम मान (local extremum values) कहते हैं।

• क्रांतिक बिंदु (Critical Point): एक बिंदु c फलन f का क्रांतिक बिंदु कहलाता है यदि f'(c) = 0 हो या f'(c) अपरिभाषित हो। स्थानीय चरम मान केवल क्रांतिक बिंदुओं पर ही हो सकते हैं।

• प्रथम अवकलज परीक्षण (First Derivative Test):
  मान लीजिए c एक क्रांतिक बिंदु है।

  1. यदि x = c से गुजरते समय f'(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है (अर्थात् c के बाईं ओर f'(x) > 0 और c के दाईं ओर f'(x) < 0), तो c स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
  2. यदि x = c से गुजरते समय f'(x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है (अर्थात् c के बाईं ओर f'(x) < 0 और c के दाईं ओर f'(x) > 0), तो c स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।
  3. यदि x = c से गुजरते समय f'(x) का चिह्न नहीं बदलता है (अर्थात् c के दोनों ओर f'(x) का चिह्न समान रहता है), तो c न तो स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है और न ही स्थानीय निम्निष्ठ का। ऐसे बिंदु को नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) कहते हैं।

• द्वितीय अवकलज परीक्षण (Second Derivative Test):
  मान लीजिए f(x) एक अवकलनीय फलन है और c एक क्रांतिक बिंदु है जहाँ f'(c) = 0।

  1. यदि f''(c) < 0, तो x = c स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है। f(c) स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
  2. यदि f''(c) > 0, तो x = c स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है। f(c) स्थानीय निम्निष्ठ मान है।
  3. यदि f''(c) = 0, तो परीक्षण विफल हो जाता है। ऐसे में प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करना चाहिए।

• एक बंद अंतराल पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निरपेक्ष निम्निष्ठ (Absolute Maxima and Absolute Minima on a Closed Interval):
  एक बंद अंतराल [a, b] पर एक सतत फलन f के निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निरपेक्ष निम्निष्ठ मान ज्ञात करने के लिए:

  1. अंतराल (a, b) में f'(x) = 0 रखकर सभी क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
  2. इन क्रांतिक बिंदुओं पर फलन के मान ज्ञात करें।
  3. अंतराल के अंत बिंदुओं a और b पर फलन के मान f(a) और f(b) ज्ञात करें।
  4. इन सभी मानों (क्रांतिक बिंदुओं पर और अंत बिंदुओं पर) में सबसे बड़ा मान निरपेक्ष उच्चिष्ठ मान होगा और सबसे छोटा मान निरपेक्ष निम्निष्ठ मान होगा।

महत्वपूर्ण बिंदु (प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए):

• उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ समस्याओं में, अक्सर एक मात्रा को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है, जो एक या अधिक चरों पर निर्भर करती है। आपको एक संबंध का उपयोग करके इसे एक चर का फलन बनाना होगा।
• द्वितीय अवकलज परीक्षण आमतौर पर अधिक सीधा होता है, लेकिन जब f''(c) = 0 हो तो प्रथम अवकलज परीक्षण अनिवार्य हो जाता है।
• बंद अंतराल पर निरपेक्ष मानों के लिए अंत बिंदुओं की जांच करना न भूलें।
• कुछ फलन (जैसे f(x) = x³) में क्रांतिक बिंदु होते हैं लेकिन कोई स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ नहीं होता (नति परिवर्तन बिंदु)।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

यहाँ अध्याय 'अवकलज के अनुप्रयोग' पर आधारित 10 बहुविकल्पीय प्रश्न दिए गए हैं, जो सरकारी परीक्षाओं की तैयारी में सहायक होंगे:

प्रश्न 1: एक वृत्त की त्रिज्या r = 6 cm पर, क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर r के सापेक्ष क्या है?
(A) 10π cm²/cm
(B) 12π cm²/cm
(C) 8π cm²/cm
(D) 6π cm²/cm

प्रश्न 2: फलन f(x) = 3x² - 4x + 7 किस अंतराल में सख्त वर्धमान है?
(A) (-∞, 2/3)
(B) (2/3, ∞)
(C) (-∞, ∞)
(D) (0, ∞)

प्रश्न 3: वक्र y = x³ - x के बिंदु (1, 0) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता क्या है?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

प्रश्न 4: यदि वक्र y = x² के बिंदु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण ax + by + c = 0 है, तो a, b, c में से कौन सा विकल्प सही है?
(A) x + 2y - 3 = 0
(B) x - 2y + 1 = 0
(C) 2x + y - 3 = 0
(D) 2x - y - 1 = 0

प्रश्न 5: √(49.5) का सन्निकटन मान क्या है?
(A) 7.035
(B) 7.005
(C) 7.071
(D) 7.014

प्रश्न 6: फलन f(x) = x³ - 3x² + 3x - 100 के लिए, x = 1 क्या है?
(A) स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु
(B) स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु
(C) नति परिवर्तन बिंदु
(D) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 7: फलन f(x) = sin x + cos x का अंतराल [0, π/2] में अधिकतम मान क्या है?
(A) 1
(B) √2
(C) 2
(D) 1/√2

प्रश्न 8: एक आयत की लंबाई x 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm है, तो आयत के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर क्या है?
(A) 2 cm²/min
(B) 28 cm²/min
(C) -2 cm²/min
(D) -28 cm²/min

प्रश्न 9: वक्र y = x² - 2x + 7 की स्पर्श रेखा जो रेखा 2x - y + 9 = 0 के समानांतर है, का समीकरण क्या है?
(A) 2x - y + 6 = 0
(B) 2x - y + 3 = 0
(C) 2x - y + 1 = 0
(D) 2x - y + 5 = 0

प्रश्न 10: फलन f(x) = x + 1/x का स्थानीय निम्निष्ठ मान क्या है?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -2

उत्तरमाला (Answer Key):

1. (B)
2. (B)
3. (C)
4. (A)
5. (A)
6. (C)
7. (B)
8. (A)
9. (B)
10. (C)

यह विस्तृत नोट्स और अभ्यास प्रश्न आपको 'अवकलज के अनुप्रयोग' अध्याय की गहन समझ प्रदान करेंगे और सरकारी परीक्षाओं की तैयारी में सहायक सिद्ध होंगे। किसी भी संदेह या अतिरिक्त स्पष्टीकरण के लिए आप पूछ सकते हैं।